1、第 1 页（共 20 页）2015-2016 学年上海市普陀区高三（上）12 月调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题 56 分）本大题共有 14 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得 4 分，填错或不正确的位置一律得零分）1若全集 U=R，集合 M=x|x（x 2）0，N=1，2，3，4，则 NUM= 2若函数 ， ，则 f（x）+g（x）= 3在（2x1） 7 的二项展开式中，第四项的系数为 4在 ，则函数 y=tanx 的值域为 5在数列a n中，a 1=1， ，则数列 的各项和为 6若函数 f（x）= （x0）的反函数是 f1（x） ，则不等式 f1（x）f（x
2、）的解集为 7设 O 为坐标原点，若直线 与曲线 相交于 A、B 点，则扇形 AOB 的面积为 8若正六棱柱的底面边长为 10，侧面积为 180，则这个棱柱的体积为 9若在北纬 45的纬度圈上有 A、B 两地，经度差为 90，则 A、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 10方程 的解 x= 11设 P 是双曲线 上的动点，若 P 到两条渐近线的距离分别为 d1，d 2，则d1d2= 12如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D，若在其 12 条棱中随机地取 3 条，则这三条棱两两是异面直线的概率是 （结果用最简分数表示）第 2 页（共 20 页）13若 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点
3、Pi（i=1，2，3，10）在抛物线上，且，则 = 14若函数 最大值记为 g（t） ，则函数 g（t ）的最小值为 二、选择题（本大题 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）15下列命题中的假命题是（ ）A若 ab0，则 B若 ，则 0a 1C若 ab0 ，则 a4b 4 D若 a1，则16若集合 ，则“xA” 是“xB”成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件17如图，在四面体 ABCD，AB=CD ，M，N 分别是 BC，AD 的中点，若 AB 与 CD 所成的角的大小为 60，则 MN 和 CD 所成的角的大小为（ ）A30 B60 C30或
4、60 D15 或 6018若函数 ，关于 x 的方程 f2（x）（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：存在这样的实数 a，使得方程由 3 个不同的实根；不存在这样的实数 a，使得方程由 4 个不同的实根；存在这样的实数 a，使得方程由 5 个不同的实数根；第 3 页（共 20 页）不存在这样的实数 a，使得方程由 6 个不同的实数根其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个三、解答题：（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19如图，椭圆 + =1 的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，A 为椭圆的右顶点，点 P 在
5、椭圆上且PF 1F2=arccos（1）计算|PF 1|的值 x（2）求PF 1A 的面积20某种“笼具” 由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 24cm，高为 30cm，圆锥的母线长为 20cm（1）求这种“笼具” 的体积（结果精确到 0.1cm3） ；（2）现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米 8 元，共需多少元？21已知函数 f（x）=2sin 2x+sin2x1（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）设 ，其中 0
6、x 0，求 tanx0 的值第 4 页（共 20 页）22已知 nN*，数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2anSn=1（1）求证：数列a n是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意 ai、a ja1，a 2，a n（其中 1in，1 j n，i、j 均为正整数） ，若 ai和 aj 的所有乘积 aiaj 的和记为 Tn，试求 的值；（3）设 ，若数列c n的前 n 项和为 Cn，是否存在这样的实数 t，使得对于所有的 n 都有 成立，若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由23已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体，存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意
7、x 均有 f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a ，k）为函数 f（x）的“伴随数对”（1）判断 f（x）=x 2 是否属于集合 M，并说明理由；（2）若函数 f（x）=sinxM，求满足条件的函数 f（x）的所有“伴随数对” ；（3）若（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，当 1x2 时，；当 x=2 时，f （x）=0求当 2014x2016 时，函数 y=f（x）的零点第 5 页（共 20 页）2015-2016 学年上海市普陀区高三（上）12 月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题 56 分）本大题共有 14 小题，要求直接将结果填写在答题
8、纸对应的空格中，每小空格填对得 4 分，填错或不正确的位置一律得零分）1若全集 U=R，集合 M=x|x（x 2）0，N=1，2，3，4，则 NUM= 3，4 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求解一元二次不等式化简 M，求出其补集，再由交集运算得答案【解答】解：M=x|x（x2）0=x|0x2， UM=x|x0 或 x2，又 N=1，2，3，4，N UM=3，4故答案为：3，42若函数 ， ，则 f（x）+g（x）= 1 （0x1） 【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】容易求出 f（x） ，g（ x）的定义域，求交集便可得出 f（x）+g（x）的定义域，并可求得 f（x）+g（x）
9、= 【解答】解： ；解 得，0x1； （0x1） 故答案为： 3在（2x1） 7 的二项展开式中，第四项的系数为 560 【考点】二项式系数的性质【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可【解答】解：在（2x1） 7 的二项展开式中，第四项的系数为： =560故答案为：560 第 6 页（共 20 页）4在 ，则函数 y=tanx 的值域为 1，1 【考点】正切函数的图象【分析】根据正切函数的图象与性质，求出 x ， 时函数 y=tanx 的值域即可【解答】解： ，1 tanx1，函数 y=tanx 的值域为1，1故答案为：1 ，15在数列a n中，a 1=1， ，则数列 的各项和为 2 n1
10、 【考点】数列的求和【分析】由 ，变形 an+1+1=2（a n+1） ，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解： ，a n+1+1=2（a n+1） ，数列a n+1是等比数列，首项为 2，公比为 2a n+1=2n，a n=2n1故答案为：2 n16若函数 f（x）= （x0）的反函数是 f1（x） ，则不等式 f1（x）f（x）的解集为 x|x1 【考点】反函数【分析】由 y=f（x）= （x0） ，求出 f1（x）=x 3，x0，由此能求出不等式 f1（x）f（x）的解集【解答】解：设 y=f（x）= （x0） ，则 x=y3，x，y 互换，得 f1（x）=x 3，x0，f 1（x）
11、f（x） ，第 7 页（共 20 页） ，x 9x，x 81，解得 x1不等式 f1（x）f（x）的解集为 x|x1故答案为：x|x17设 O 为坐标原点，若直线 与曲线 相交于 A、B 点，则扇形 AOB 的面积为 【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点） ，y= 时，AOB= ，即可求出扇形 AOB 的面积【解答】解：由曲线 ，得 x2+y2=1（y0）曲线 表示単位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点）y= 时，AOB= ，扇形 AOB 的面积为 = 故答案为： 8若正六棱柱的底面边长为 10，侧面积为
12、 180，则这个棱柱的体积为 450 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积【解答】解：设棱柱的底面边长为 a，高为 h，则 S 侧 =6ah=60h=180，解得 h=3S 底 = =150 正六棱柱的体积 V=S 底 h=450 故答案为：450 9若在北纬 45的纬度圈上有 A、B 两地，经度差为 90，则 A、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 【考点】球面距离及相关计算【分析】求出球心角，然后 A、B 两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出 A、B两地的球面距离与地球半径的比值【解答】解：地球的半径为 R，
13、在北纬 45，第 8 页（共 20 页）而 AB=R，所以 A、B 的球心角为： ，所以两点间的球面距离是： ，所以 A、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 ；故答案为： 10方程 的解 x= log 23 【考点】对数的运算性质【分析】化简可得 4x5=4（2 x2） ，从而可得（2 x） 242x+3=0，从而解得【解答】解： ，4 x5=4（2 x2） ，即（2 x） 242x+3=0，2 x=1（舍去）或 2x=3；x=log 23，故答案为：log 2311设 P 是双曲线 上的动点，若 P 到两条渐近线的距离分别为 d1，d 2，则d1d2= 【考点】双曲线的简单性质【分析】先确
14、定两条渐近线方程，设双曲线 C 上的点 P（ x，y） ，求出点 P 到两条渐近线的距离，结合 P 在双曲线 C 上，即可求 d1d2 的值【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为 x y=0设双曲线 C 上的点 P（x，y） ，则点 P 到两条渐近线的距离分别为 d1= ，d 2=所以 d1d2= = = 故答案为： 第 9 页（共 20 页）12如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D，若在其 12 条棱中随机地取 3 条，则这三条棱两两是异面直线的概率是 （结果用最简分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】正方体 ABCDA1B1C1
15、D，在其 12 条棱中随机地取 3 条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D，在其 12 条棱中随机地取 3 条，基本事件总数 n= =220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数 m=8，这三条棱两两是异面直线的概率是 p= = = 故答案为： 13若 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 Pi（i=1，2，3，10）在抛物线上，且，则 = 200 【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中
16、数据加以计算，即可得到本题答案【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，准线为 x=1，根据抛物线的定义，P i（i=1 ，2，3，2015）到焦点的距离等于 Pi 到准线的距离，即|PiF|=xi+1，可得 1x1+1x2+1x100=0，x 1+x2+x100=100|P 1F|+|P2F|+|P100F|=（x 1+1）+（x 2+1）+（x 100+1）=（x 1+x2+x100）+100=100+100=200故答案为：200第 10 页（共 20 页）14若函数 最大值记为 g（t） ，则函数 g（t ）的最小值为 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简 sin
17、x+ =sinx+3+ 3，从而可得 0sinx+3+ 3 ，从而求得 g（t）=f max（x）= ，从而求值【解答】解：sinx+=sinx+3+ 3，1 sinx1，2sinx+34，3sinx+3+ ，0sinx+3+ 3 ，g（t）=f max（x）= ，当 t= 时，函数 g（t）有最小值为 ；故答案为； 二、选择题（本大题 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）15下列命题中的假命题是（ ）A若 ab0，则 B若 ，则 0a 1C若 ab0 ，则 a4b 4 D若 a1，则【考点】命题的真假判断与应用【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可【解答】解：对于 A，ab0
18、，则 a b， ，正确对于 B， ，则 0，0a 1，正确对于 C，ab 0，a 4b 4，正确；第 11 页（共 20 页）对于 D，a= ， =21，不正确，故选：D16若集合 ，则“xA” 是“xB”成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先分别求出集合 A， B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解： 0，0x3，A=（ 0，3，lg|2x3|0=lg1，|2x3 |1，且 2x30，1x2，且 xB=（1， ）（ ，2） ，“x A”是“xB” 成立的必要非充分条件，故选
19、：B17如图，在四面体 ABCD，AB=CD ，M，N 分别是 BC，AD 的中点，若 AB 与 CD 所成的角的大小为 60，则 MN 和 CD 所成的角的大小为（ ）A30 B60 C30或 60 D15 或 60【考点】异面直线及其所成的角【分析】取 BD 中点 O，连结 MO、NO，由已知得ONM 是 MN 和 CD 所成的角（或补角） ，且MON=60 ，OM=ON，由此能求出 MN 和 CD 所成的角的大小【解答】解：取 BD 中点 O，连结 MO、NO，在四面体 ABCD，AB=CD ，M，N 分别是 BC，AD 的中点，AB 与 CD 所成的角的大小为 60，第 12 页（共
20、20 页）MO ，NO ，ONM 是 MN 和 CD 所成的角（或所成角的补角） ，且MON=60，OM=ON，ONM=60，或ONM=30，MN 和 CD 所成的角为 60或 30故选：C18若函数 ，关于 x 的方程 f2（x）（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：存在这样的实数 a，使得方程由 3 个不同的实根；不存在这样的实数 a，使得方程由 4 个不同的实根；存在这样的实数 a，使得方程由 5 个不同的实数根；不存在这样的实数 a，使得方程由 6 个不同的实数根其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由 f2（x）（a+
21、1）f（x）+a=0 可解得 f（x）=1 或 f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解【解答】解：f 2（x）（a+1）f（x）+a=0，f（x）=1 或 f（x）=a，作函数 的图象如下，第 13 页（共 20 页），当 a=1 时，方程有 3 个不同的实根，故 正确；当 a1 或 a1 时，方程有 6 个不同的实根，故不正确；当1 a1 时，方程有 5 个不同的实根，故正确；综上可知，不存在这样的实数 a，使得方程由 4 个不同的实根；故正确；故选：C三、解答题：（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19如图，椭圆 + =1 的左
22、、右两个焦点分别为 F1、F 2，A 为椭圆的右顶点，点 P 在椭圆上且PF 1F2=arccos（1）计算|PF 1|的值 x（2）求PF 1A 的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）根据椭圆的性质，可得|PF 1|=x，则|PF 2|=10x，|F 1F2|=2 =8，结合已知可余弦定理构造方程，解得 x 值；第 14 页（共 20 页）（2）由出 sinPF 1F2，进而计算PF 1F2 的面积，可得 P 到 x 轴的距离 d，结合PF 1A 的底边|F 1A|=a+c=9，可得三角形面积【解答】解：（1）椭圆 + =1 的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，P 为椭圆上一点，|P
23、F1|=x，则|PF 2|=10x，|F 1F2|=2 =8，PF 1F2=arccos ，故 cosPF 1F2= = ，解得：x=6，（2）由PF 1F2=arccos ，可得：sin PF 1F2= = ，故PF 1F2 的面积 S= （5+ ）（5 ） = ，故 P 到 x 轴的距离 d= = ，由|F 1A|=a+c=9，可得PF 1A 的面积为： =20某种“笼具” 由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 24cm，高为 30cm，圆锥的母线长为
24、 20cm（1）求这种“笼具” 的体积（结果精确到 0.1cm3） ；（2）现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具”，该材料的造价为每平方米 8 元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 （1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆锥的母线长为 l，高为 h1，则2r=24，解得 r=12cmh 1= cm第 15 页（共 20 页）笼具的体积 V=r2h =355211158.9cm 3（2）圆柱的侧面积 S1=2rh=720cm2，圆柱的底面积
25、S2=r2=144cm2，圆锥的侧面积为 rl=240cm2故笼具的表面积 S=S1+S2+S3=1104cm2故制造 50 个这样的笼具总造价为： 元答：这种笼具的体积约为 11158.9cm3，生产 50 个笼具需要 元21已知函数 f（x）=2sin 2x+sin2x1（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）设 ，其中 0x 0，求 tanx0 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【分析】 （1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数 f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）f（x）=2
26、sin 2x+sin2x1=sin2xcos2x= sin（2x ） 由 2k 2x 2k + ，kZ，得 2kx2k，kZ，得 k xk+ ，kZ，即函数 f（x）的单调递增区间是 k ，k+ ，kZ；（2）cos（ +）cos（ ）+sin 2=（cos cos） 2（sin sin）2+sin2= cos2 sin2+sin2= ，即 f（ ）= sin（2 ）= sin（x 0 ）= ，即 sinx0cosx0= ，平方得 2sinx0cosx0= ，0x 0，第 16 页（共 20 页）cosx 00，则 sinx0+cosx0= = ，由得 sinx0= ，cosx 0= ，则 t
27、anx0= = 22已知 nN*，数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2anSn=1（1）求证：数列a n是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意 ai、a ja1，a 2，a n（其中 1in，1 j n，i、j 均为正整数） ，若 ai和 aj 的所有乘积 aiaj 的和记为 Tn，试求 的值；（3）设 ，若数列c n的前 n 项和为 Cn，是否存在这样的实数 t，使得对于所有的 n 都有 成立，若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的极限【分析】 （1）当 n2 时通过 2anSn=1 与 2an1Sn1=1 作差，进而
28、计算可得结论；（2）通过（1）可得 Tn 的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列c n的通项公式，利用并项相加、分 n 为奇数、偶数两种情况讨论即可【解答】 （1）证明：2a nSn=1，当 n2 时，2a n1Sn1=1，两式相减，整理得：a n=2an1（n2） ，又2a 1S1=1，即 a1=1，数列a n是首项为 1、公比为 2 的等比数列，a n=2n1；（2）解：T n=（1+2+2 2+2n1） （1+2+2 2+2n1）= 第 17 页（共 20 页）=4n22n+1， = =1；（3）结论：存在这样的实数 t，使得对于所有的 n 都有 成立理由如下：由（1）可知
29、，1+b n=3log2an=3n3，即 bn=3n4，b n+1=3n1，故 cn=（ 1） n+1bnbn+1=（1） n+1（3n 4） （3n1） ，c n+1=（1） n+2（3n1） （3n+2） ，特别地，当 n 为奇数时，有 n+1 为偶数，此时 cn+cn+1=（3n 4） （3n1） （3n1） （3n+2）=6（3n 1） ，若 n 为偶数，则 Cn=（c 1+c2）+（c 3+c4）+（c n1+cn）=62+8+（3n4）= n（ 3n2） ，由 可知 t （3 ）对所有正偶数 n 都成立，故 t ；若 n 为奇数，则 Cn=Cn1+cn（n2） ，由可知 Cn= （
30、n1） （3n5）+（3n4） （3n1）= n23n ，其中 C1=2 满足上式；由可得实数 t 的取值范围是：t ，所以存在这样的实数 t，使得对于所有的 n 都有 成立23已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体，存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意 x 均有 f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a ，k）为函数 f（x）的“伴随数对”（1）判断 f（x）=x 2 是否属于集合 M，并说明理由；（2）若函数 f（x）=sinxM，求满足条件的函数 f（x）的所有“伴随数对” ；（3）若（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，当 1x2 时，；当
31、 x=2 时，f （x）=0求当 2014x2016 时，函数 y=f（x）的零点第 18 页（共 20 页）【考点】函数与方程的综合运用【分析】 （1）由题意可得（a+x） 2=k（a x） 2，化为（1k ）x 2+2a（1+k）x+（1 k）a 2=0 对xR 成立，需满足条件 ，解方程即可判断；（2）哟题意可得 sin（a +x）=ksin（ax） ，运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对 ”，所以 f（1+x）=f（1x）且f（2+x）= f（2 x） ，可得 f（x）为周期为 4 的函数，求得0x1，1
32、x2，2x3，3x4，x=0，1，2，3，4 的函数解析式，可得2014x2015，2015x2016，x=2014，2015，2016 的解析式，即可得到所求零点【解答】解：（1）由 f（x） =x2 及 f（a+x）=kf（a x） ，可得（a+x） 2=k（a x） 2，即为（1k）x 2+2a（1+k）x+（1 k）a 2=0 对 xR 成立，需满足条件 ，解得 ，故 k=10，a 存在，所以 f（x）=x 2M（2）由 f（x）=sinxM 得：sin （a+x）=ksin（a x） ，sinacosx+cosasinx=k（sinacosxcosasinx） ，所以（1+k）cos
33、asinx+（1k）sinacosx=0，sin（x+ ） =0 对任意的 xR 都成立，只有 k2+2kcos2a+1=0，即 cos2a= （k+ ） ，由于|k+ |2（当且仅当 k=1 时，等号成立） ，所以|cos2a |1，又因为|cos2a|1，故|cos2a|=1 其中 k=1 时，cos2a=1，a=n+ ，nZ；k=1 时， cos2a=1，a=n，nZ故函数 f（x）的“伴随数对” 为（n+ ，1）和（n， 1） ，nZ（3）因为（1，1）和（2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对 ”，第 19 页（共 20 页）所以 f（1+x）=f（1x）且 f（2+x）= f（2 x） ，于是 f（x+4）=f（x） ，故函数 f（x）是以 4 为周期的函数若 0x1，则 12x2，此时 f（x）=f（2x）=cos（ x） ，若 2x3，则 14x2，此时 f（x）=f（4x）=cos（ x） ，若 3x4，则 04x1，此时 f（x）=f（4x）=cos（ x） ，f（x）= 故 f（x）=当 2014x2016 时，函数 f（x）的零点分别为 2014，2015，2016第 20 页（共 20 页）2016 年 7 月 30 日
