1、,返回首页,第2章 单自由度系统-计算固有频率的能量法,Theory of Vibration with Applications,计算固有频率的能量法 2.3 阻尼自由振动,2,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-计算固有频率的能量法,3,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-计算固有频率的能量法,4,返回首页,Theory of Vibration with Applications,等于系统初始时刻的总机械能。,第2章 单自由度系统-计算固有频率的
2、能量法,5,返回首页,Theory of Vibration with Applications,注：以上动能、势能均是振动系统振动元件的动能、势能,第2章 单自由度系统-计算固有频率的能量法,6,返回首页,Theory of Vibration with Applications,瑞利商：,注：以上表达式中的质量、刚度均是等效质量与等效刚度,第2章 单自由度系统-计算固有频率的能量法,7,P18例2.3,8,初始状态系统总机械能为：,运动微分方程的解为：,9,由机械能守恒定律得：,由瑞利商得：,10,阻尼自由振动,返回首页,Theory of Vibration with Applicati
3、ons,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 引言,什么是阻尼？ “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。,12,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 引言,比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变
4、为热能耗散掉。,13,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 引言,振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 最常见的阻尼是 粘性阻尼viscous damping 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping 结构阻尼structural damping 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有阻尼系统就是粘性阻尼系统。,14,粘性阻尼若物体以较大速度在空气或液体中
5、运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比。,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 引言,图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,方程的解为,第2章
6、单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关,强阻尼（nn）情形,临界阻尼(n = pn )情形,运动微分方程,特征根,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,特征方程,临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/n =1，即,z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。,cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由,返回首页,Theory of
7、Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系 统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作 振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发 射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原 来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确 地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种 要求。,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,强阻尼(1)情形,临界阻尼(1)情形,
8、这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减,引入阻尼比,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,特征根,其中,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解,C1=x0,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,另一种形式,这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为 d，衰减速度取决于 n，二者分别为本征值的虚部和实部。,返回首页,T
9、heory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 运动微分方程,衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。 有阻尼的自由振动视为准周期振动。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 衰减振动,T=2p/n为无阻尼自由振动的周期。,欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。,由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。
10、例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 阻尼对振动周期的影响,设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即,两振幅之比为,称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。,返回首页
11、,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 阻尼对振幅的影响,振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示,例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 阻尼对振幅的影响,解：振动衰减曲线的包络线方程为,设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有,当z 21时,此式对估算小阻尼
12、系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 衰减振动,27,28,几种常用材料的对数衰减率,返回首页,Theory of Vibration with Applications,2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动,物体在干燥表面上相对滑动时所受到的摩擦阻力称为库伦阻尼或干摩擦阻尼。它与正压力成比例，而与相对运动速度的方向相反。即库伦阻尼力的大小为Fd = fFN。式中f为摩擦系数，FN为法向约束力的大小。由于这种阻尼力的大小不依赖于质点的位移和速度，所以库伦阻尼是一种常数阻尼。,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 库伦阻尼系统的自由振动,返回首页,Theory of Vibration with Applications,2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动,根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为,第2章 单自由度系统-阻尼自由振动 库伦阻尼系统的自由振动,31,2.18，2.19，2.20,谢谢,
