1、1,通信原理,第11章差错控制编码,2,第11章 差错控制编码,概述纠错编码原理与性能常用的简单编码线性分组码循环码卷积码,3,第11章 差错控制编码,差错控制编码目的 降低误码率 信道分类：随机信道 突发信道 混合信道 差错控制技术的种类检错重发 前向纠错 反馈校验 检错删除 差错控制编码的基本方法 发送端 信息序列 附加 监督码元 接收端 检验 信息码元与 监督码元 之间的关系.,4,概述,差错控制编码：常称为纠错编码 监督码元：在发送端在信息码元序列中增加一些差错控制码元 多余度：就是指增加的监督码元多少。 编码效率(简称码率) ： 设编码序列中信息码元数量为k， 总码元数量为 n， 则
2、比值 k/n 就是码率。 冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。,5,概述,常用差错控制方法,检错重发前向纠错混合纠错,发,收,检错码,应答信号,发,收,纠错码,发,收,纠检错,应答信号,6,概述,ARQ系统: 停发等候重发 返回重发 选择重发,7,概述,ARQ的主要优点：和前向纠错方法相比 监督码元较少即能使误码率降到很低； 检错的计算复杂度较低； 检错编码方法和加性干扰基本无关，适应不同信道。 ARQ的主要缺点： 不能用于单向信道，不能用于广播型通信系统。 因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。 干扰严重时，因不断反复重发而造成事实上通信中断。 实时性能较差,8,概述,AR
3、Q系统的原理方框图在发送端，除立即发送外，还暂存于缓冲存储器中。 接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时，才将信息码元送给收信者，否则在输出中删除接收码元。 未发现错码时，发送端收到不需重发指令，继续发送后一码组，发送端的缓冲存储器中的内容也随之更新。,9,11.2 纠错编码的基本原理,例：3位 二进制数构成的码组表示天气,不能检错、不能纠错,能检1位错、不能纠错,能检测2个错，可纠1位错。,10,11.2 纠错编码的基本原理,分组码 每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码 。 如不用检错，传输4种信息，用两位码就够了，这两位码称为信息位，多增加的称为监督位。在分组码中，监督码元 仅监督本码
4、组中的信息码元。,11,11.2 纠错编码的基本原理,分组码的一般结构分组码的符号：(n, k) N 码组的总位数，又称为码组的长度（码长）， k 码组中信息码元的数目， n k r 码组中的监督码元数目，或称监督位数,12,11.2 纠错编码的基本原理,分组码的 码重 和 码距 最小码距 “000”晴，“011”云，“101”阴，“110”雨,13,11.2 纠错编码的基本原理,码距和检纠错能力的关系 编码的最小码距 d0 的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1,若码组A 中发生两位错码， 则其位置不会超出以O点为圆心，以 e 为半径的圆。
5、因此，只要最小码距不小于e +1,14,11.2 纠错编码的基本原理,为纠正 t 个错码，要求最小码距d0 2t + 1 A和B的距离为5。码组A或B若发生不多于两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位置为圆心的圆。这两个圆是不重叠的。,15,11.2 纠错编码的基本原理,为纠正 t 个错码，同时检测e个错码，要求最小码距检错 e = d0 1 = 5 1 = 4，纠 2个错码 不能同时满足,这种纠错和检错结合的工作方式简称纠检结合。,16,11.3 纠错编码的性能,系统带宽和信噪比的矛盾： 举例 未编码，误码率A点，编码后，误码率B点。 保持误码率10-5，C点，未编码时，D点， 编码后。
6、,17,11.3 纠错编码的性能,传输速率和 Eb/n0 关系若提高传输速率， 信噪比下降 误码率增大。 C点 E点 D点。付出的代价仍是带宽增大。,18,11.4简单的实用编码,奇偶监督码 奇偶监督码分奇数监督码和偶数监督码两种 偶监督码中， 1位监督位，使码组中“1” 为偶数这种编码能够检测 奇数个 错码。 在接收端，按照上式求“ 模2和 ” 结果为“1”就说明有错码，结果为“0”认为无错码。,19,11.4简单的实用编码,二维奇偶监督码（方阵码）a01 a02 a0m 为 m 行奇偶监督码中的 m 个监督位。 cn-1 cn-2 c1 c0为按列进行第二次编码所增加的监督位，它们构成了一
7、监督位行。,可能检测 偶数个 错码构成矩形四角的错码无法检测还可以用来纠正一些错码,20,11.4简单的实用编码,恒比码 “1”的数目与“0”的数目之比保持恒定 这种码在检测时，只要计算接收码组中“1”的数目是否对，就知道有无错码。 正反码能够纠正错码的编码。其中的监督位数目与信息位数目相同 其编码规则为： 信息位有奇数个“1”，监督位是信息位的重复； 信息位有偶数个“1” ，监督位是信息位的反码。,21,11.4简单的实用编码,正反码的解码 在接收码组中 信息位 监督位 = 合成码组 校验码组接收码组信息位有奇数个“1”，合成码组就是 校验码组；接收码组信息位有偶数个“1”，取合成码组的反
8、码作为校验码组。,0000100001=00000,22,11.4简单的实用编码,校验码组和错码的关系若发送码组 11001 11001，接收码组 10001 11001 则合成码组应为 1000111001=01000。校验码组就是10111。,23,11.5 线性分组码,基本概念 代数码：建立在代数学基础上的编码。 线性码：按照一组线性方程构成的代数码。在线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的。 线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码 。本节将以 汉明码 为例引入线性分组码一般原理。,24,11.5 线性分组码,汉明码 构造原理 在偶数监督码中，一位监督位a0，和 信息位构成
9、代数式：在接收端解码时，实际上就是在计算S = 0，认为无错码； S = 1，就认为有错码。,监督关系式,校正子,25,11.5 线性分组码,若监督位增加一位，两个校正子的可能值有4中组合： 00，01，10，11，故能表示4种不同信息。 1种表示无错 其余3种能指示1位错码(2r 1)个可能位置。 码长为 n ，信息位数为 k，则监督位 rnk。 指示1位错码的 n 种可能位置，要求设分组码 (n, k) 中k = 4，为了纠正1位错码， 要求监督位数 r 3。若取 r = 3，则n = k + r = 7。,26,11.5 线性分组码,仅当一位错码在a2 、a4、a5或a6时，校正子S1为
10、1,偶数监督关系 a1、a3、a5和a6构成偶数监督关系：a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系,27,11.5 线性分组码,监督位a2、a1和a0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使S1、S2和S3的值为0:上式经过移项运算，解出监督位,28,11.5 线性分组码,给定信息位后，可以直接按上式算出监督位,29,11.5 线性分组码,接收端收到每个码组后，先计算出S1、S2和S3，再查表判断错码情况。 例如 若接收码组为1101100按监督式计算可得：S1 = 1，S2 = 1，S3 = 0。查表可知在a5位有1错码。 按照上述方法构造的码称为汉明码。表中所列的(7, 4)汉明码
11、的最小码距d0 = 3。这种码能够纠正1个错码或检测2个错码。码效率： k/n = (n - r) /n =1 r/n，当n很大和r很小时，码率接近1。汉明码是一种高效码。,30,11.5 线性分组码,线性分组码的一般原理 线性分组码的构造H矩阵上面(7, 4)汉明码的例子有改写为上式中已经将“”简写成“+”。,31,11.5 线性分组码,矩阵形式简记为H AT = 0T 或 A HT = 0H称为监督矩阵。 只要监督矩阵 H 给定，编码时 监督位 和 信息位 的关系就完全确定了。,32,11.5 线性分组码,H矩阵的性质：1) H 的行数 就是 监督关系式 数，等于 监督位数 r。 每行中“
12、1”的位置表示监督关系。H 矩阵可以分成两部分P 为 r k 阶矩阵，Ir为r r阶单位方阵。我们将具有P Ir形式的H矩阵称为典型阵。,33,11.5 线性分组码,2) H 矩阵各行线性无关，才有 r个独立监督位。 若矩阵能写成形式P Ir，各行一定线性无关G矩阵：汉明码例子中的监督位公式为可以改写成或,Q = PT 信息位的行矩阵乘矩阵Q 就产生出监督位,34,11.5 线性分组码,生成矩阵G由它可以产生整个码组具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组 A中，信息位的位置不变 监督位附加于其后。这种形式的码称 系统码。,35,11.5 线性分组码,G矩阵的性质：
13、1) G矩阵的各行是线性无关的。任一码组 A 都是 G 的各行的线性组合。G 的 k 行线性无关 2k 种不同的码组 A，恰是有 k 位信息位的全部码组。 2) 实际上，G的各行本身就是一个码组。如果已有k个线性无关的码组，则可以用其作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。,36,11.5 线性分组码,错码矩阵和错误图样 A为一个 n 列的行矩阵。 发送的码组就是A。 设接收码组为 n列的行矩阵 B，即发送码组和接收码组之差为B A = E (模2) E 就是传输中产生的 错码 行矩阵 式中错码矩阵有时也称为错误图样。,37,11.5 线性分组码,校正子S当接收码组有错时，E 0，将 B 代入 (
14、A H T = 0)，不一定成立。即 B H T = S将 B = A + E 代入S = (A + E) H T = A H T + E H T= E H TS 称为校正子。它能用来指示错码的位置。S 和E 之间有确定的线性变换关系。,38,11.5 线性分组码,线性分组码的性质封闭性：是指一种线性码中的任意两个码组之和 仍为这种码中的一个码组。若 A1和A2是一种线性码中的两个许用码组，则 (A1+A2)仍为其中的一个码组。 A1 和A2之间的距离 = (A1 + A2)的重量。 码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）,39,11.6 循环码,循环码原理 循环性：任一码组循环一位
15、以后，仍为 该码中的码组。(7, 3)循环码的全部码组,40,11.6 循环码,码多项式 码组的多项式表示法一个长度为 n 的码组表示成（7，3）循环码 第7个码组可以表示为这种多项式中，x仅是码元位置的标记我们并不关心x的取值。,41,11.6 循环码,码多项式的按模运算 一般说来，若一个整数m可以表示为式中，Q 整数，则在模 n 运算下，有m p (模n)在模 n 运算下，一个整数 m 等于它被 n 除得的余数。,42,11.6 循环码,码多项式运算多项式 F(x) 被 n 次多项式N (x)除 = 商式 Q(x) + 余式R(x)按模2 运算，即系数只取 0 和1。,应当注意，由于在模2
16、运算中，用加法代替了减法，故余项不是x2 x + 1，而是x2 + x + 1。,43,11.6 循环码,循环码的生成矩阵G码组生成公式G 是 k 行 n 列的矩阵，若能找到 k 个已知码组，就能构成矩阵 且这 k个已知码组必须是线性在循环码中，一个 (n, k) 码有 2k 个不同的码组。若用g(x) 表示其中前 (k 1) 位皆为 “0” 的码组， 则 g(x)， x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x) 都是码组，而且这k个码组是线性无关的。 因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。,44,11.6 循环码,在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k位均为“0”的码组，即连“0”
17、的长度最多只能有(k - 1)位。 g(x)必须是一个常数项不为“0”的(n - k)次多项式， 且此g(x)还是这种(n, k)码中次数为(n k)的唯一多项式。 我们称这唯一的(n k)次多项式g(x)为码的生成多项式。确定了g(x)，则整个(n, k)循环码就被确定了。 循环码的生成矩阵 G 可以写成,45,11.6 循环码,(7, 3)循环码中，n = 7, k = 3, n k = 4。唯一 (n k) = 4次 码多项式代表的码组是第二码组0010111，对应码多项式 g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入上式，得到不符合G = IkQ的形式，所以它不是典型
18、阵。 不过，将它作线性变换，不难化成典型阵,46,11.6 循环码,写出此循环码组，即所有码多项式T(x)都可被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k 1)的多项式乘g(x)都是码多项式。两个矩阵相乘的结果应该仍是一个矩阵。 上式中两个矩阵相乘的乘积是只有一个元素的一阶矩阵，这个元素就是T(x)。,47,11.6 循环码,寻找 (n, k)循环码 的生成多项式 任一循环码多项式 T(x) 都是 g(x) 的 倍式，可以写成T(x) = h(x)g(x) 而生成多项式g(x)本身也是一个码组，即有T (x) = g(x) 码组T (x)是一个(n k)次多项式，xk T (x)是一个n次多项式
19、。xk T (x)在模 (xn + 1)运算下也是一个码组上式左端分子和分母都是 n 次多项式，故商式Q(x) = 1。,48,11.6 循环码,可以化成将T(x)和T(x) 代入得g(x) 是 (xn + 1) 的一个因子。且为 (n k)次因式。 例 (x7 + 1)可以分解成 (7, 3)循环码的生成多项式g(x) 需要从上式中找到一个(n k) = 4次的因子,都可作为生成多项式,49,11.6 循环码,循环码的编码方法 选定生成多项式g(x)-从(xn + 1)的因子中选一个(n - k)次多项式作为g(x)。 用 xn - k乘m(x)，得到 xn-k m(x) ，其次数小于n。
20、g(x)/xn - k m(x)，得余式r(x)，其次数必小于g(x) 即小于(n k)。 r(x)加于信息位之后作为监督位 将r(x)和xn - k m(x)相加得到码多项式。,50,11.6 循环码,编码步骤： 用xn - k乘m(x)。在信息码后附加上(n k)个“0”。信息码为110，它相当于m(x) = x2 + x 用g(x)除xn - k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即例如，若选定g(x) = x4 + x2 + x + 1，则 上式相当于,51,11.6 循环码,编出的码组T(x)为T(x) = xn - k m(x) + r(x) T(x) = 1100000 +
21、 101 = 1100101，是表中的第7码组。 循环码的解码方法 解码要求：检错和纠错。 检错解码原理：在接收端将接收R(x)用g(x)去除。若码组在传输中发生错误， 则 R(x) T(x)，R(x)被g(x)除时可能除不尽而有余项，即有,52,11.6 循环码,纠错解码原理：要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定余式有一一对应关系。 纠错可按下述步骤进行： 用生成多项式g(x)除接收码组R(x)，得出余式r(x)。 按余式r(x)，用 查表 或 计算 得到错误图样E(x)；例如，通过计算校正子S和查表，可以确定错码的位置。 R(x) - E(x)，便得到已经纠正错码的原发送码组T(x)。
22、一种编码可以有几种纠错解码方法，上述解码方法为捕错解码 目前多采用软件运算实现上述编解码运算。,53,11.6 循环码,截短循环码 截短目的：在设计纠错编码时，纠错能力预先给定的。 不一定有恰好满足这些条件的循环码存在。 截短方法：一个(n, k)循环码，使前i (0 i k)个信息位全为“0”，于是它变成仅有 2k-i 种码组。 删去这i位全“0”的信息位，得到(n i, k i)的线性码。将这种码称为截短循环码。 截短循环码性能：循环码截短前后至少具有相同的纠错能力，并且编解码方法仍和截短前的方法一样。 例：要求构造一个能够纠正1位错码的(13, 9)码。由(15, 11)循环码的11种码
23、组中选出前两信息位均为“0”的码组，构成一个新的码组集合。然后在发送时不发送这两位“0”。于是发送码组成为(13, 9)截短循环码。,54,11.7 卷积码,卷积码是一种非分组码。 更适用于前向纠错，性能优于分组码，运算简单。 一个码组中的监督码元监督着N个信息段本码组 k bit信息段，前 m = (N 1)个码组的信息段。N称为编码约束度， nN称为编码约束长度。 卷积码记作(n, k, N) 码率则仍定义为k / n,55,11.7 卷积码,卷积码的基本原理 编码器原理方框图,56,11.7 卷积码,例： (n, k, N) = (3, 1, 3)卷积码编码器设输入信息比特序列是bi-2
24、 bi-1 bi bi+1，则当输入bi时，此编码器输出3比特ci di ei，输入和输出,57,11.7 卷积码,虚线示出了信息位 bi 的监督位和各信息位之间的约束关系。约束度N = 3 约束长度 nN = 9,58,11.7 卷积码,卷积码的几何表述(3, 1, 3) 码树图,第4级支路开始，码树上半部和下半部相同。从第4个输入信息位开始，输出码元与第1位输入信息位无关，此编码器约束度N = 3。,59,11.7 卷积码,状态图由编码器结构可知，输出码元ci di ei决定于当前输入信息位bi和前两位信息位bi-1和bi-2（即移存器M2和M3的状态）。,60,11.7 卷积码,虚线表示
25、输入信息位为“0”时状态转变的路线； 实线表示输入信息位为“1”时状态转变的路线。-线条旁的3位数字是编码输出比特。,a,b,c,d,111,000,110,101,100,001,011,010,61,11.7 卷积码,网格图将状态图在时间上展开，网格图：图中画出了5个时隙。在第4时隙以后的网格图形完全是重复第3时隙的图形。这也反映了此(3, 1, 3)卷积码的约束长度为3。,62,11.7 卷积码,输入信息位为11010时，在网格图中的编码路径。有了上面的状态图和网格图，就可以讨论维特比解码算法了。,63,11.7 卷积码,卷积码的解码 代数解码： 利用代数结构进行解码，不考虑信道的统计特
26、性。 大数逻辑解码，又称门限解码，对于约束长度较短的卷积码最为有效，而且设备较简单。 概率解码：又称 最大似然解码。它基于信道的统计特性和卷积码的特点进行计算。另一种概率解码方法是 维特比算法。,64,11.7 卷积码,维特比解码算法 基本原理将接收到的序列和所有可能的发送序列比较，选择其中汉明距离最小的序列认为是当前发送信号序列。 若发送一个k位序列，则有2k种可能的发送序列。 当k较大时，存储量太大，使实用受到限制。 维特比算法对此作了简化，使之能够实用。,65,11.7 卷积码,(3, 1, 3)卷积码设现在的发送信息位为1101，为使移存器的信息位全部移出，在信息位后面加入3个“0”，
27、故编码后的发送序列为111 110 010 100 001 011 000。并且假设接收序列为111 010 010 110 001 011 000由于这是一个(n, k, N) = (3, 1, 3)卷积码，发送序列的约束度N = 3，所以首先需考察nN 9比特。 第1步考察接收序列前9位“111 010 010”。由此码的网格图可见，沿路径每一级有4种状态a, b, c和d。每种状态只有两条路径可以到达。故4种状态共有8条到达路径。,66,11.7 卷积码,由出发点状态a经过3级路径后到达状态a的两条路径中上面一条为“000 000 000”。和接收序列“111 010 010”的汉明距离
28、等于5； 下面一条为“111 001 011”,它和接收序列的汉明距离等于3。同样，由出发点a经过3级到达状态b、c和d的路径分别都有两条，故总共有8条路径。,67,11.7 卷积码,将到达每个状态的两条路径比较，将距离小的一条路径保留，称为幸存路径。这样就剩下4条路径了，即表中第2, 4, 6和8条路径。,68,第一次比较后的幸存路径。,111 010 010 110 001,5,3,69,11.7 卷积码,第2步考察后继3个比特“110”。计算4条幸存路径上增加1级后的8条可能路径的汉明距离。最小的总距离等于2，其路径abdc+b，相应序列为111 110 010 100。和发送序列相同，故对应发送信息位1101。,70,11.7 卷积码,路径是汉明距离最小（等于2）的路径。,71,第11章差错控制编码,若把这3个“0”仍然看作是信息位，则可以按照上述算法继续解码。这样得到的幸存路径网格若已知这3个码元是（结尾补充）“0”，则在解码计算时就预先知道在接收这3个“0”码元后，路径必然应该回到状态a。而由图可见，只有两条路径可以回a状态,72,第11章差错控制编码,卷积码的约束度N = 3，需要存储和计算8条路径的参量。 维特比解码算法的复杂度随约束长度N按指数形式2N增长。,
