1、图 论,图基本概念 图、路与连通、最短路、有向图、图的矩阵 Euler图与Hamilton图 树 树、生成树、有向树 平面图 图的着色 平面图、对偶图、顶点着色、面着色 网络 匹配 独立集,平面图,定义1 如果一个图能画在平面上，使得它的边仅在端点相交，则称这个图为平面图，或说它是可平面嵌入的，平面图G的这样一种画法，称为G的一个平面嵌入。平面图G的平面嵌入称为平图。,K3,，K4，K5,定义 一条连续的、自身不相交的封闭曲线称为Jordon曲线。 J的外部，extJ，外点，extJ与J之并称为extJ的闭包，记为ExtJ；另一部分(不含曲线J)称为J的内部，记为intJ，intJ的点称为J的
2、内点，intJ与J之并称为intJ的闭包，记为IntJ。 引理 设J是一条Jordon曲线，任何连接J的内点与外点的曲线必与J相交。,定义 设G是一个平图，则G把平面划分成若干个连通区域，每个连通区域的闭包称为G的一个面，其中恰有一个无界的面，称为外部面。,定理1 若G是连通平图，则f，其中，f是G的面数. (这个公式称为Euler公式)证明 对G的边数用归纳法， ,推论1 给定平面连通图G，则G的所有平面嵌入有相同的面数。,推论 若G是平面简单图，则。证明 设G为连通平图，用d(Fi)表示面Fi的边数， ,推论 若平图G的每个面由至少四条边围成，则24。,推论 K5与K3,3是非平面图。,定
3、理 在平面简单图G中，至少存在一个顶点v0，使d(v0)5。证明 假设一个平面简单图的所有顶点度数均大于，则，矛盾，因此，平面简单图中至少有一个顶点v0，使d(v0)5。,顶点着色,定义 设G是一个图，对G的每个顶点着色，使得没有两个相邻的顶点着上相同的颜色，这种着色称为图的正常着色 若图G的顶点可用k种颜色正常着色，称G为k可着色的 使G是k可着色的数k的最小值称为G的色数，记为(G)，如果(G)k，则称G是k色的。,假设G是简单连通图。 定理1(1)对于完全图Kn，有(Kn)n，(Kn)1。(2)对于n个顶点构成的圈Cn，当n是偶数时，(Cn)2，当n是奇数时，(Cn)3。(3)对于非平凡
4、树T，有(T)。(4)G是二分图，当且仅当(G)。,定理 对于任意连通简单图G，有(G)1(G)。证明 往证 G是1(G)可着色的。对G的顶点数施行归纳法， ,作业,证明 图G是2可着色的，当且仅当G中无奇圈。 一个图G称为临界的，如果对G的每个真子图，有()(G)。k色的临界图称为k临界图。证明若G是k临界图，则k1。 证明 每个k色图至少有k个度不小于k1的顶点。,面着色,定义1 设e是图G的一条边，如果(Ge)(G)，则称e是G的割边。,定义 一个没有割边的连通平图，称为地图。,定义 设G是一个地图，对G的每个面着色，使得没有两个相邻的面着上相同的颜色，这种着色称为地图的正常面着色 地图G可用k种颜色正常面着色，称G是k面可着色的 使得G是k面可着色的数k的最小值称为G的面色数，记为*(G)，若*(G)k，则称G是k面色的。,地图的k面可着色问题，可以转化为平面图的k可着色问题。定理1*(五色定理)任何无自环的平面图G是5可着色的。 证明：对顶点数归纳,作业,证明地图G是面可着色的，当且仅当它是一个欧拉图。,
