1、第十九讲 等腰三角形一、选择题(每小题 4分，共 12分)1.如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，AB 的垂直平分线 DE交 AC于 D，交 AB于 E，下述结论错误的是( )(A)BD平分ABC(B)BCD 的周长等于 AB+BC(C)AD=BD=BC(D)点 D是线段 AC的中点2.(2011巴中中考)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角是( )(A)30 (B)60 (C)150 (D)30或 1503.如图，在ABC 中，AB=20 cm，AC=12 cm，点 P从点 B出发以每秒 3 cm的速度向点 A运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2 cm
2、的速度向点 C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )(A) 2.5秒 (B)3秒 (C)3.5秒(D)4秒二、填空题(每小题 4分，共 12分)4.(2012滨州中考)如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=20，则C=_.5.(2011衢州中考)在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A出发，要到 A地的北偏东60方向的 C处，他先沿正东方向走了 200 m到达 B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地 C(如图)，那么，由此可知，B，C 两地相距_m. 6.如图，已知ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 边上，
3、且AE=CD，AD 与 BE相交于点 F，则BFD=_.三、解答题(共 26分)7.(8分)(2012湘潭中考)如图，ABC 是边长为 3的等边三角形，将ABC 沿直线 BC向右平移,使 B点与 C点重合，得到DCE，连结 BD，交 AC于 F.(1)猜想 AC与 BD的位置关系，并证明你的结论 ；(2)求线段 BD的长.8.(8分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：AB=DC，BE=CE，B=C，BAE=CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.(写出一种即可)已知：求证：AED 是等腰三角形.
4、证明：【探究创新】9.(10分)已知：在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D是 AB的中点，点 E是 AB边上一点.(1)直线 BF垂直于 CE于点 F，交 CD于点 G(如图)，求证：AE=CG；(2)直线 AH垂直于 CE，垂足为 H，交 CD的延长线于点 M(如图)，找出图中与 BE相等的线段，并证明.1.【解析】选 D.在ABC 中，AB=AC，A=36，ABC=C=(180-36)2=72.AB 的垂直平分线是 DE，AD=BD，ABD=A=36，DBC=ABC-ABD=72-36=36=ABD，BD 平分ABC，故 A正确；BCD 的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+A
5、D=BC+AC=BC+AB，故 B正确；DBC=36，C=72， BDC=180-DBC-C=72，BDC=C，BD=BC，AD=BD=BC，故 C正确；BDCD，AD CD，点 D不是线段 AC的中点，故 D错误.2.【解析】选 D.当此等腰三角形为锐角三角形时可以画图，由三角形内角和为 180可得，顶角为 30.当此等腰三角形为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外 面，因为三角形内角和为 180，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 30，三角形的顶角为 150，故选 D.【归纳 整合】等腰三角形其他特有性质(1)等腰三角形两腰上的高相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三
6、角形两底角的平分线相等；(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.3.【解析】选 D.设运动 t秒时，APQ 为等腰三角形.由题可知 BP=3t，AP=20-3t，AQ=2t，CQ=12-2t，当APQ 是等腰三角形时，AP=AQ，所以 20-3t=2t，解得 t=4，即运动时间为 4秒.4.【解析】BAD=20，AB=AD，ABD=ADB=80.AD=CD，C= 12ADB =4 0.答案：405.【解析】如
7、图，由已知可得 AMBN，所以MAC=ALB=60，由ALB=NBCC，NB C=30，得C=30.又BAC=MABMAC=30，所以C=BAC，故 BC=AB=200 m.答案：2006.【解析】ABC 为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA，在ABE和CAD 中，AB=CA，BAE=C，AE=CD，ABECAD，ABE=CAD.BFD=ABE+BAD，BFD=CAD+BAD=BAC=60.答案：607.【解析】(1)ACBD.DCE 由边长为 3的等边ABC 平移而成，ACDE，DC=AB=BC=CE，BDE 为直角三角形，BDE=90，BFC=90，BDAC.(2)在 RtBED 中，BE=6，DE=3，BD= 22BED63.8.【解析】已知：(或或或)证明：在ABE 和DCE 中，CABD， ，ABEDCE，AE=DE，即AED 是等腰三角形.9.【解析】(1)点 D是 AB中点，AC=BC，ACB=90,CDAB，ACD=BCD=45,CAD=CBD=45,CAE=BCG.又 BFCE,CBG +BCF=90,又ACE+BCF=90,ACE=CBG,AECCGB,AE=CG.(2)BE=CM.证明如下：CHHM，CDED,CMA+MCH=90,BEC+MCH=90,CMA=BEC.又 AC=BC，ACM=CBE=45,BCECAM,BE=CM.
