1、5 应用一元一次方程“希望工程”义演1等量关系的确定列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系一般可从以下几个方面确定等量关系：(1)抓住问题中的关键词，确定等量关系如问题中的“和 ”、 “差” 、 “倍” 、 “多” 、 “少”、 “快” 、 “慢”等都是确定等量关系的关键词(2)利用公式或基本数量关系找等量关系(3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系【例 1】 刘成用 150 元买了甲、乙两种书，共 20 本，甲种书单价 10 元，乙种书单价5 元，则刘成买了这两种书各多少本？分析：本题的两个等量关系是：甲种书款乙种书款1
2、50 元，甲种书量乙种书量20 本本题有两个未知数：甲种 书的数量和乙种书的数量因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为 未知数解：(方法 1)设刘成买了甲种书 x 本， 则买了乙种书 (20x)本，根据题意，得 10x5(20 x )150，10x1005x150,5x 50，x10，201010(本)答：刘成买了甲、乙两种书各 10 本(方法 2)设买了乙种书 x 本，则甲种书有(20x) 本根据题意，得 10(20x )5x150，20010x5x150，5x50，x10，201010(本)答：刘成买了甲、乙两种书各 10 本2未知数的设法较复杂的问题，未知量可能有两个或两个
3、以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要未知数设的适当，能给列方程带来简便未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答(1)直接设未知数直接设未知数，就是题目中问什么就设什么对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难(2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程(3)设辅助未知数在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数这些未知数在解方程的
4、过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数_【例 21】 一位老人立下遗嘱：把 17 头牛按 ， 分给他的大儿子、二儿子、三儿1213 19子，问三个儿子各分得多少头牛？分析：解答本题，若直接设三个儿子分 别分得多少头牛来求解比 较困难，因 为遗嘱中规定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为 962，所以可设一份为12 13 19x，然后根据“ 大儿子所分得的牛的头数二儿子所分得的牛的头数小儿子所分得的牛的头数17”列方程求解解：因为 962，所以 设每一份为 x 头牛， 则三人所分得的牛的 头数分别为12 13 199x,6x,2x.根
5、据题意，得 9x6x2x17.解这个方程，得 x1.所以 9x9,6x6,2x 2.答：三个儿子分别分得 9 头、6 头、 2 头牛【例 22】 高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是 48 千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多 20%，而女同学人数比男同学人数多 20%.求男、女同学的平均体重分析：本题中的未知量有四个男、女同学的平均体重和男、女同学的人数，可以设女同学的平均体重为 x 千克，男同学有 y 人两个未知数，根据本题中的相等关系“男女同学的总体重全班同学的平均体重总人数”列出一个方程，其中的未知数 y 在解方程的过程中被约掉了，这里的 y 就是 辅助未知数解：设女同
6、学平均体重为 x 千克，则男同学平均体重为 1.2x 千克，设男同学为 y 人，则女同学为 1.2y 人根据题意，得 1.2xy1.2xy48(y1.2y)合并同类项，得 2.4xy482.2y .y0，方程两 边同除以 2.4y，得 x44.1.2x1.24452.8 ( 千克) 答：男同学的平均体重为 52.8 千克，女同学的平均体重 为 44 千克3几种复杂的应用问题含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：(1)按比例分配问题按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题比例分配问题中的相等关系是：不同成分的数量之和全部数量(2)工程问题工程问题中的相等关
7、系是：工作量工作效率工作时间；甲的工作效率乙的工作效率合作的工作效率；甲完成的工作量乙完成的工作量完成的总工作量解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体 1.找出工作效率(即单位时间内的工作量) 是解答的关键(3)资源调配问题资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关系其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定【例 3】 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做 30 天完成，乙单独做 20 天完成，合同规定 15 天完成否则每超过 1 天罚款 1 000 元，甲、乙两人经商量后签订了该合同(1)正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？(2)现两人
8、合作了该工程的 75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？为什么？分析：(1)设甲、乙两人合作 x 天完成合同，列出一元一次方程求出 x 的值，即可知道甲、乙两人能否完成该合同；(2)因两人已完成了该工程的 75%，分 别计算出甲、乙两人单独做完未完成的 25%各需要多少时间，调走合同期内不能完成任 务的人更合适一些解：(1)设甲、乙两人合作 x 天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为 ， .依题意，得130 120x1.解这个方程，得 x12.因为 1215，所以两人能完成该合同(130 120)(2)调走甲更合适一些理由：设甲单独完成剩下的工程需 x 天，乙单独完成剩下的工程需 y 天依题意，得x175% ， y175%.解得 x7.5， y5.130 120因为两人合作 12 天完成任务，所以完成任 务的 75%需要 1275%9( 天)，所以还剩 6天可以让另一个人单独完成任务而 7.56,56，说明甲不能按期完成任 务，而乙能完成所以调走甲更合适一些
