1、一、调配问题例 1、某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？例 2、整理一批图书，由一个人做要 40h 完成。现计划由一部分人先做 4h,然后增加 2 人与他们一起做 8h,完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？二、销售中的盈亏1、商品原价 200 元，九折出售，卖价是 元.2、商品进价是 150 元，售价是 180 元，则利润是 元.利润率是_3、某商品原来每件零售价是 a 元, 现在每件降价 10%,降价后每件零售价是 元.4
2、、某种品牌的彩电降价 20%以后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价应为 元.5、某商品按定价的八折出售，售价是 14.8 元，则原定售价是 . 例 3、 、某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 25，另一件亏损 25 ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?6、随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为 960 元。其中一台盈利 20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？7、某文具店有两个进价不同的计算器都卖 64 元，其中一个盈利 60%，另一个亏本 20%.这次交易中的盈亏情况8、某商场把进价为 1980 元的商品按标价的八折出
3、售，仍获利 10%, 则该商品的标价为 元我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2005 年涨价 30%后，2007 降价 70%至 a 元，则这种药品在 2005 年涨价前价格为 元.三、球赛积分表例 4、某次男篮联赛常规赛最终积分榜 队名 比赛场次 胜场 负场 积分前进 14 10 4 24东方 14 10 4 24光明 14 9 5 23蓝天 14 9 5 23雄鹰 14 7 7 21远大 14 7 7 21卫星 14 4 10 18钢铁 14 0 14 14问题：从这张表格中，你能得到什么信息问题 2：这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？问题 3：请你说
4、出积分规则.（既胜一场得几分？负一场得几分？） 你是怎样知道这个比赛的积分规则的？问题 4：列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系（提示：胜场数或负场数不确定，可以用未知数来表示）问题 5：有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗四、电话计费问题例 5、 下表给出的是两种移动电话的计费方式月使用费/ 元 主叫限定时间/分主叫超时费元/分被叫方式一 58 150 0.29 免费方式二 88 350 0.19 免费问题 1：设月主叫时间为 t 分钟 ,当 t 在不同时间范围内取值, 列表说明按方式 一和方式二如何计费。问题 2：观察你的表列，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计
5、算验证你的看法。1、用 A4 纸在某印社复印文件，复印页数不超过 20 页时每页收费 0.12 元；复印页数超过20 页 时，超过部分每页收费 0.09 元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费 0.1 元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）2、这个星期周末，七年级段长准备组织学生观看电影，由各班班长负责买票，票价每张20 元，1 班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说： 50 人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一:全体人员可打 8 折;方案二:若打 9 折,有 7 人可免票。2 班有 61 名学生，他该选择哪个方案？1 班班长
6、思考一会儿，说：我们班无论选择哪 种方案，要付的钱是一样的。你知道 1 班有几人吗？ 实际问题与一元一次方程知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答由此可得解决此类 分 析抽 象 求 解检 验题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数
7、；（3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4） “解”就是解方程，求出未知数的值；（5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有
8、： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析3工程问题如果题目没有明确指明总工作
9、量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差倍分问题1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】 解：设油箱里原有汽油 x 公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油 10 公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用
10、去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人 3 张则多 24 张，若平均每人 4张则少 26 张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有 x 名学生，根据题意得：3x+244x-26解得：x50所以 3x+243 50+24174答：这个班有 50 名学生，一共展出了 174 张邮票类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义【答案与解析】解
11、：设火车车身长为 xm，根据题意，得：，12053x解得：x300，所以 1205答：火车的长度是 300m，车速是 30m/s【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1 )所示，此时火车走的路程是桥长 +车长(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长车长由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度整个火车在桥上的速度 举一反三：【变式】某要塞有步兵 692 人，每 4 人一横排，各排相距 1 米向前行走，每分钟走 86 米，通过长 86 米的桥，从第一排上桥到排尾离
12、桥需要几分钟？【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要 x 分钟，列方程得：，69281864x解得：x3答：从第一排上桥到排尾离桥需要 3 分钟2.相遇问题（相向问题） 3小李骑自行车从 A 地到 B 地，小明骑自行车从 B 地到 A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12 点，两人又相距36 千米.求 A、B 两地间的路程.【答案与解析】解：设 A、B 两地间的路程为 x 千米，由题意得：3624x解得： 108答：A、B 两地间的路程为 108 千米.【点评】根据“匀速前进”可知 A、B 的速度不变，进而 A、B 的速
13、度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和时间可得方程举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 A 站 34km，已知甲车的速度是 70km/h，乙车的速度是 52km/h，求 A、B 两站间的距离.【答案】解：设 A、B 两站间的距离为 x km，由题意得： 234705x解得：x=122答： A、B 两站间的距离为 122km.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 2 小时后，一辆轿车从甲地
14、去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理 15 分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了 ，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速13度【答案与解析】解：设卡车的速度为 x 千米/时，由题意得：1122(30)(30)24x x解得：x=24答：卡车的速度为 24 千米/ 时【点评】采用“线示”分析法，画出示意图利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间4.航行问题（顺逆风问题）5(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5 千米/时的航段，从 A 地上船，沿江而下至 B 地，然后溯江而上到 C 地下船
15、，共乘船 4 小时已知 A、C 两地相距 10千米，船在静水中的速度为 7.5 千米/ 时，求 A、B 两地间的距离【思路点拨】由于 C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在 A、B 之间；（2）C 地在 A地上游【答案与解析】解：设 A、B 两地间的距离为 x 千米(1)当 C 地在 A、B 两地之间时，依题意得1047.52.5x解这个方程得：x20 (千米)(2)当 C 地在 A 地上游时，依题意得：x解这个方程得： 203答：A、B 两地间的距离为 20 千米或 千米【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4 小时构建方程求
16、解5.环形问题6环城自行车赛，最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的 3 倍，环城一周是 20 千米，求两个人的速度. 【答案与解析】解；设最慢的人速度为 x 千米/时，则最快的人的速度为 x 千米/时， 由题意得:x -x =20 解得：x=10 答：最快的人的速度为 35 千米/时，最慢的人的速度为 10 千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周 20 千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20 千米. 举一反三：【变式】两人沿着边长为 90m 的正方形行走，按 AB CD A 方向，甲从 A 以65m/min 的速度，
17、乙从 B 以 72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了 x 分钟，则有：72x-65x390（分）270答：乙第一次追上甲时走了 (m) 此时乙在 AD 边上270类型三、工程问题7一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过 x 小时可把水注满由题意得：11()()689x解得： 3042答：打开丙管后 小时可把水放满1【点评】
18、相等关系：甲、乙开 2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割 4 亩，预计若干小时完成，收割 后，改用新式23农机，工作效率提高到原来的 倍，因此比预计时间提早 1 小时完成，求这块水稻田的12面积【答案】解：设这块水稻田的面积为 x 亩，由题意得：21344x解得： 6答：这块水稻田的面积为 36 亩类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8某工程队每天安排 120 个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 m3 或运土 3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排 x 人挖土，则运土的有(
19、120-x)人，依题意得：5x3(120-x)，解得 x45120-4575(人)答：应安排 45 人挖土，75 人运土【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题 】【变式】某商店选用 A、B 两种价格分别是每千克 28 元和每千克 20 元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克 25 元，要配制这种杂拌糖果 100 千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用 A 种糖果 x 千克，则 B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25
20、100解得：x=62.5.当 x=62.5 时，100-x=37.5.答：要用 A、B 两种糖果分别为 62.5 千克和 37.5 千克.要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1利润问题 （1） =10%利 润利 润 率 进 价(2) 标价成本 (或进价)(1利润率 ) (3) 实际售价标价 打折率(4) 利润售价成本 (或进价)成本 利润率注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售2存贷款问题 （1）利息=本金利率期数（2 ）本息和（本利和）本金利息本金本金 利率期数本金(1 利率 期数)（3）实得利息=利息-利息
21、税（4）利息税=利息利息税率（5 ）年利率月利率12（6 ）月利率年利率 123.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为 b， 则这个两位数可以表示为 10b+a4方案问题 选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2 ）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 利润问题例 2】1以现价销售一件商品的利润率为 30%，如果商家在现有的价格基础
22、上先提价 40%，后降价 50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？【答案与解析】解：设该商品的成本为 a 元，则商品的现价为(1+30%) a 元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a(1+40%)(1-50%)=0.91a.0.91 a-a=-0.09a, 100%=-9%.0.9答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为 9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 利润问题例 3】【变式 1】某个商品的进价是 500 元，把它提价 40%后作为标价 .如果商家要想保住
23、12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？【答案】解：设该商品打 x 折，依题意，则：500(1+40%) =500（1+12%）.10x= =8. .24答：该商品的广告上可写上打八折.【变式 2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价【答案】 解：设李明上次购买书籍的原价为 x 元，由题意得：0 .8x+20x-12 ，解这个方程得：x160答：李明上次所买书籍的原价是 160 元类型二、存贷款问题2爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 2.7，五年后取出本息和为17025 元，爸爸开始存入多少元.【答案与解析
24、】解：设爸爸开始存入 x 元.根据题意，得 xx2.75 17025.解之，得 x15000答：爸爸开始存入 15000 元.【总结升华】本息和本金利息，利息本金利率 期数类型三、数字问题3一个三位数，十位上的数是百位上的数的 2 倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大 2，又个位、十位、百位上的数的和是 14，求这个三位数.【答案与解析】解：设百位上的数为 x，则十位上的数为 2x，个位上的数为 14-2x-x由题意得：x+14-2x-x=2x+2解得：x=3 x=3， 2x=6，14-2x-x=5答：这个三位数为 365【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；
25、（ 2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出 x 就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以 100，10 位上的数字乘以 10，然后把所得的结果和个位数字相加举一反三：【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 4，这个两位数又是这两个数字的和的 4 倍，求这个两位数.【答案】解：设十位上的数字为 x，则个位上的数字为（ x） ，由题意得：10(4)()4xx解得：()8答：这两位数是 48.类型四、方案设计问题4为鼓励学生参加体育锻炼学校计划拿出不超过 1600 元的资金再购买一批篮球和排球已知篮球和排球的单价比为 3:2，单价和为 80 元(1)篮球和排球的单价分别是多少
26、元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是 36 个，且购买的篮球数量不少于 26 个请探究有哪几种购买方案?【答案与解析】解：(1)设篮球和排球的单价分别为 3x 元和 2x 元依题意 3x+2x80，解得 x16即 3x48，2x32答：篮球和排球的单价分别为 48 元和 32 元(2)采用列表法探索：类别方案 篮球（x 个）排球（36-x）个 合计（元）(1) 26 10 1568(2) 27 9 1584(3) 28 8 1600(4) 29 7 1616由列表可知，共有三种购买方案：方案一：购买篮球 26 个，排球 10 个；方案二：购买篮球 27 个，排球 9 个；方案三：购买篮球
27、 28 个，排球 8 个【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴采用列表的方法探索方案，值得学习举一反三：【变式】(武昌区期末调考)某校组织 10 位教师和部分学生外出考察，全程票价为 25 元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的 88%购票；方案二：前 20 人购全票，从第 21 人开始，每人按票价的 80%购票(1)若有 30 位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?【答案】 解：设有 x 位学生参加考察按方案一购票费用为：2588%(10+x)22x+220按方案二购票费用为：2025+2580%
28、(x+10-20)20x+300(1)当 x 30 时：22x+220660+220 880(元)20x+300600+300 900(元)答：当有 30 位学生参加考察，选择方案一更省钱(2)设 22x+22020x+300，解得：x40答：参加考察的学生人数为 40 人时，两种方案车费一样多8某校用 56m 长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为 16 m，则宽为_m9小明和他父亲的年龄之和为 54，又知父亲年龄是小明年龄的 3 倍少 2 岁，则他父亲的年龄为_岁10.甲、乙二人在长为 400 米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑 9 米，乙每秒钟跑 7米（1）当两人同时同地背向而行时，经
29、过_秒钟两人首次相遇；（2）两人同时同地同向而行时，经过_秒钟两人首次相遇11某项工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了 x 天，乙工作的天数为_，由此可列出方程_11. A、B 两地相距 216 千米，甲、乙分别在 A、B 两地，若甲骑车的速度为 15 千米/时，乙骑车的速度为 12 千米/时。（1）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距 351 千米？（2）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？（3）甲、乙相向而行，要使他们相遇于 AB 的中点，乙要比甲先出发几小时？（4）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达 B 处，乙到达 A 处都分别立即返回，几小时后相遇？相遇地点距离 A 有多远？12. 甲乙两车间共 120 人，其中甲车间人数比乙车间人数的 4 倍少 5 人.（1）求甲、乙两车间各有多少人？（2）若从甲、乙两车间分别抽调工人，组成丙车间研制新产品，并使甲、乙、丙三个车间的人数比为 1347，那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人？13. 有一件工程，由甲、乙两个工程队共同合作完成，工期不得超过一个月，甲独做需要50 天才能完成，乙独做需要 45 天才能完成，现甲乙合作 20 天后，甲队有任务调离，由乙队单独工作，问此工程是否能如期完工。
