1、- 1 -阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为 x2=2py，称弦 AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边 AB 的中点，Q 为两条切线的交点。性质 1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。性质 2 阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为 。性质 3 抛物线以 C 为中点的弦与 Q 点的轨迹 。性质 4 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德
2、三角形的底边过定点 。性质 5 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 。性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。性质 7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB。性质 8 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合） ，过 I 作抛物线切线交 QA、QB 于 S、T，则QST 的垂心在 上。性质 9 |AF|BF|=|QF|2.性质 10 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 。性质 11 在性质 8 中，连接 AI、BI，则 ABI 的面积是QST 面积的 倍。- 2 -高考题中的阿基米德三角形例 1
3、 （2005 江西卷，理 22 题）如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线2:Cyx=上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于:20lxy-=A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA= PFB.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ，22010(,),)()xx和切线 AP 的方程为： 02;xy-=切线 BP 的方程为：211;解得 P 点的坐标为：001,PPxyx+=所以APB 的重心 G 的坐标为 ， 2220101001014(),3333PpPG xyyxx-+-= =所以 ，由点 P 在直线 l 上运动
4、，从而得到重心 G 的轨迹方程为：24pG- 21()0,(4).3xyxyx+=-+即（2）方法 1：因为2 2010 01(,),(,),(,).244xFAFFBx-=-=-ururur由于 P 点在抛物线外，则 |.Pr201010012()()44cos ,| |xxxFAFPF+-+= =ur urur同理有2010101()()44cos ,| |xxxPBF FPFP+-+= =ru ururxyOABPF l- 3 -AFP =PFB.方法 2：当 所以 P 点坐标为 ，则 P 点到101000,xxxy=时 由 于 不 妨 设 则1(,0)2x直线 AF 的距离为：211|
5、 4;:,2xdBF-=-而 直 线 的 方 程即211()0.4xyx-+所以 P 点到直线 BF 的距离为：221111 |()|()|442xxd-+=+所以 d1=d2，即得AFP = PFB.当 时，直线 AF 的方程：10x20200114(),(),4xyxyx-=-+=即直线 BF 的方程：212114(0),(),4xyxyx-=-+=即所以 P 点到直线 AF 的距离为：，22 20101001001120|()|)()|44( 4xxxxd+- -=+同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 ，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB 奎 屯王 新 敞新 疆102|xd-例
6、 2 (2006 全国卷，理 21 题) 已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 （0） 过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 AF FB（）证明 为定值；FMAB（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf ()的表达式，并求 S 的最小值解：() 由已知条件，得 F(0，1)，0- 4 -设 A(x1，y1) ，B(x 2，y2)由 ，AF FB即得 (x1，1y)(x2，y21)， x 1 x 2 1 y 1 (ySdo(2) 1) )将式两边平方并把 y1 x12，y 2 x22 代入得 y12y2 14 14解、式得 y1，y2 ，且有 x1x2x22
7、4y24，1抛物线方程为 y x2，求导得 y x14 12所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是y x1(xx1) y 1，y x2(xx2)y2，12 12即 y x1x x12，y x2x x2212 14 12 14解出两条切线的交点 M 的坐标为 ( ， )( ，1) 4 分x 1 x 22x 1x 24x 1 x 22所以 ( ，2)(x2x 1，y2y1) (x22 x12)2( x22 x12)0FMABx 1 x 22 12 14 14所以 为定值，其值为 0 7 分FMAB()由( )知在ABM 中，FMAB，因而 S |AB|FM|12|FM| (f(xSdo(1)
8、 xSdo(2),2) ( 2)14x 1 14x 2 12x 1x 2 4 y 1 y 2 12( 4) 4 1 2 1因为|AF|、| BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y1 的距离，所以|AB| AF|BF|y1y22 2( )21 1于是 S |AB|FM|( )3，12 1由 2 知 S4，且当 1 时，S 取得最小值 41- 5 -例 3（2007 江苏卷，理 19 题）如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任xOy(0,)Cc作一直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线2yx=ABAB交于 ，:lyc=-,PQ（1）若 ，求 的值；（5
9、 分）OABurc（2）若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切线；（5 分）Q（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 （4 分）解：（1）设过 C 点的直线为 ，所以 ，即 ，设 Aykxc=+()20xkc=+20xkc-=， = ， ，因为 ，所以()2,xyBOAur()1,()2,ByurOABur，即 ，12+2xkcx()22111xkcx-+所以 ，即 所以2ck-+g20,-=c=舍 去（2）设过 Q 的切线为 ， ，所以 ，即()11ykx-=/2yx12kx，它与 的交点为 M ，又22111yx=-+-c-1,c-，所以 Q ，因为 ,所22,ykPc= ,k1
10、2xc=-以 ，所以 M ,所以点 M 和点 Q 重合，21cx-12,x+-=-也就是 QA 为此抛物线的切线。（3） （2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q ，因为 PQ 轴，,2kc-x所以,Pky因为 ，所以 P 为 AB 的中点。12x+=- 6 -例 4（2008 山东卷，理 22 题）如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上2(0)xpy=M2yp=-任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 MAB，（）求证： 三点的横坐标成等差数列；AB， ，（）已知当 点的坐标为 时， 求此时抛物线的方程；(2)p-， 410（）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，CA
11、BD2(0)xpy=点 满足 （ 为坐标原点） 若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不COAB=+urur M存在，请说明理由解：（）证明：由题意设 221120()xxpp-， ， ， ， ， ，由 得 ，得 ，2xpy=2xy=所以 ， 1MAk2Bp因此直线 的方程为 ，直线 的方程为10()xy+=-MB20()xyp+=-所以 ， 2110()x-220()xp+=-由、得 ，12120+=-因此 ，即 120x012x+所以 三点的横坐标成等差数列AMB， ，（）解：由（）知，当 时，0=将其代入、并整理得：- 7 -， ，22140xp-=2240xp-=所以 是方程 的两根
12、，2，因此 ， ，1x+212x-又 ，所以 21202ABpkxp-+=2ABkp=由弦长公式得 22 21124()416kxxp-+又 ，所以 或 ，410AB=p=因此所求抛物线方程为 或 2xy24（）解：设 ，由题意得 ，3()D， 1212()Cxy+，则 的中点坐标为 ，C1233xQ+，设直线 的方程为 ，AB011()yxp-=-由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上，代入得 Q1212y+， AB03xyp=若 在抛物线上，则 ，3()Dxy，2303xpx=因此 或 即 或 30=30()D，20，（1）当 时，则 ，此时，点 适合题意x120x+=()Mp-，（2
13、）当 ，对于 ，此时 ， ，0x()D，210xCp+， 210CDxk+=2104x- 8 -又 ， ，所以0ABxkp=CD，220114ABCDxp+=-g即 ，矛盾221x-对于 ，因为 ，此时直线 平行于 轴，0p， 210xCp+， CDy又 ，所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾，0ABxk=AB所以 时，不存在符合题意的 点0 M综上所述，仅存在一点 适合题意(02)p-，例 5（2008 江西卷，理 21 题）设点 在直线(0,Pxy上，过点 作双曲线 的两(),01xmy=21-=条切线 ，切点为 ，定点 ( ，0)PAB、 A、 M1m（1）过点 作直线 的垂线，垂足为
14、，试求 的重心 所在的曲线方程；0xy-=NAMG（2）求证： 三点共线、 、证明：（1）设 ，由已知得到 ，且 ， ，12(,)(,)AxyB120y21xy-=21xy-设切线 的方程为： 由 得P11()kx-=-2()kx-=2 21(1)()0kxyxy-从而 ,2 2144()4()0kkxkD=-+-+-=- 9 -解得1xky=因此 的方程为： 同理 的方程为：PA1yx=-PB21yx=-又 在 上，所以 ，0(,)myB、 101mx-20即点 都在直线 上12,(,)xy又 也在直线 上,所以三点 共线(,0)M01x=-AMB、 、（2）垂线 的方程为： ，AN11y+由 得垂足 ，110yx-=+ (,)2xy设重心 (,)G所以 解得11()320xyxmy += 113941xym-=-+由 可得 即 为重心 所在曲线方21x-=(3)(3)2xyxym-+-=2()39xy-=G程.
