1、微积分理论,重积分及其应用,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,一、含参变量积分的连续性,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,证,设 和 是 上的两点，则,这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,就有,于是由（1）式有,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,所以 在 上连续. 定理得证,右端积分式函数 先对 后对 的二次积分.,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,公式（2）也可写成,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的 值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函数.这样,积分
2、,也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广 泛地依赖于参变量的积分的某些性质.,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,证,设 和 是 上的两点，则,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又,其中 是 在矩形 上的最大值. 根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见， 当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零. 于是，当 时，,所以函数 在 上连续. 定理得证,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,下面考虑由积分(*)确定的函数 的微分问题.,二、含参变量的函数
3、的微分,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,为了求 ，先利用公式(1)作出增量之比,由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,这就是说,综上所述有,令 取上式的极限，即得公式（5）.,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,三、莱布尼茨公式,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,证,由(4)式有,当 时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得,其中 在 与 之间. 当 时,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,类似地可证,当 时,因此，令 ，取(8)式的极限便
4、得公式(7).,公式(7)称为莱布尼茨公式.,于是,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,应用莱布尼茨公式，得,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例2 求,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例3 计算定积分,考虑含参变量 的积分所确定的函数,显然， 根据公式(5)得,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,把被积函数分解为部分分式,得到,于是,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,上式在 上对 积分,得到,即,从而,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ；,四、小结,2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；,3、含参变量的积分
5、所确定的函数的微分；,4、莱布尼茨公式及其应用.,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,练 习 题,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,练习题答案,典型例题,习 题 课,教学要求,第八章 重 积 分,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,1. 理解二重积分、三重积分的概念,一、教学要求,2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极,3. 会用重积分求一些几何量与物理量.,了解,重积分的性质.,了解三重积分的计算法（直角坐标、,坐标)，
6、,柱面坐标、球面坐标).,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,1、二重积分的定义,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,性质,性质,（二重积分中值定理）,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区
7、域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,（）极坐标系下,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,5、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3) 重心,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯
8、量,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,6、三重积分的定义,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,9、三重积分的计算,() 直角坐标,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,() 柱面坐标,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,() 球面坐标,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,10、三重积分的应用,() 重心,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,() 转动惯量,微积分理论 冯国臣
9、,2019/2/26,二、典型例题,例1,解,X-型,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例3,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例4,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例5,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例6,证,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例7,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例8,解,利用球面坐标,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例,解,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,例10,证,思路：从改变积分次序入手,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,测 验 题,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,测验题答案,微积分理论 冯国臣,2019/2/26,
