1、第4章 功和能,4.1 功 4.2 动能定理 4.3 一对力的功 4.4 保守力 4.5 势能 4.6 引力势能和弹性势能 4.7 由势能求保守力 4.8 机械能守恒定律 4.9 碰撞 4.10 两体问题,2,4.1 功,定义：力的元功等于质点受力及其元位移的标积：,1、功是元功沿路径的积分，一般与路径有关；,2、质点的位移与参考系有关，因此，功依赖于参考系。,功有正、负之分。在一般情况下：,3.一对力（作用于与反作用）的功与参考系无关（证明见后）。,总功等于元功之和：,3,4.2 动能定理,一、质点的动能定理,由功的定义出发：,有限功：,4,质点由A点移动到B点，力做的功等于函数 的增量。此
2、函数因速度而存在，故以动能名之，记为 . 于是有质点的动能定理：,微分形式的动能定理：,积分形式的动能定理：,推导动能定理时用到了故而它只在惯性系中成立。在非惯性系中必须考虑惯性力的功。,对质点系中各个质点的动能定理求和，得：,二、质点系的动能定理,1. 质点位移不一定都相同，所以内力虽然成对但总功不一定为零。由此知，内力虽然不改变系统的总动量和总角动量，但可以改变系统的总动能。例如炸弹爆炸。,2.动能定理的推导用到了牛顿第二定律，所以只适用于惯性系。,外力的 总功,内力的 总功,系统的 末动能,系统的 初动能,外力与内力的功之和，等于质点系动能增量。此称质点系的动能定理。,此项恒为零。因为在
3、C系中，质心定义为,这是C系中质点系的动能定理。非常有用。证明方法是证明惯性力的功恒为零。设质心加速度为 ,惯性力的总功为:,求质点系的动能常常是一件很困难的事。以下定理很有用：,三、柯尼希定理（动能分解定理）,上述动能分解定理又称柯尼希定理。其推导只用到坐标变换，没有用到牛顿定律，因而对任何坐标系都成立。,定义内动能：,质点系的总动能Ek=质心动能 +系统内动能Ek,in,它就是系统在C系中的动能。,例如：质量为m, 半径为R的细圆环在平地上沿直线作纯滚动，环心速度为vC. 其动能为：,R,m,三、柯尼希定理（动能分解定理）,三、柯尼希定理（动能分解定理）,三、柯尼希定理（动能分解定理）,4
4、.3 一对力的功,一、一对力,它们是一对作用和反作用，满足牛顿第三定律：,两质点间的内力 和 称为一对力。,一对力做功之和，等于其中一个质点m2受的力 沿着该质点相对于另一质点的位移 所做的功。,二、一对力的功之和,可见，一对力作功之和，只与两个质点的相对路径有关，与参考系无关。举例说明如下：,一对力的总功为,s,在恒星上看，物体与地球均有位移。物体与地球从红色位置移到蓝色位置。,一对力的功等于地球观察者看到的物体重力的功mgh。,12,4.4 保守力,13,一、下述两个定义是等价的,容易验证：定义1与定义2可以互为因果。,定义2. 一质点相对另一质点沿任意闭合路径移动一周时,它们间的作用力的
5、功恒为零，则此力为保守力。,14,二、有心力是保守力,作功与路径无关，只与始末位置有关保守力。,.,有心力：方向沿两质点联线，大小只是两质点距离的函数,例如：,静电力：,弹性力：,引力：,4.5 势能,对多质点系统，只要这些质点间的内力是保守力，同样可以定义系统的势能。,1. 定义两状态的势能差值,在系统由状态AB的过程中，保守力所作的功等于势能的减少(势能增量的负值):,两质点间保守力的功与路径无关，只决定于两质点的始末相对位置（状态）。因此可定义一个状态的函数该两质点系统的势能。,16,2.选择势能零点，确定势能值,若选B为势能零点，则状态A的势能为,势能值与势能零点（零状态）选择有关，但
6、与参考系无关。当我们说空间某点的势能值是多少时，必定意味着指定了某空间点为势能零点。有物理意义的是两点间的势能差，而非某点的势能值。,3.势能属于整个系统,系统处于任意状态时的势能，等于从此状态改变到势能零状态过程中，保守力所做的功。,17,一.引力势能,选 r 为势能零点,4.6 常用力场的势能函数,在r为有限值时，引力势能恒为负，原因是选取了两质点相距无限远时为势能零点。,引力势曲线,18,二.重力势能,在地球附近的物体相对于地球表面的引力势能的差为,19,选取势能零点：x = 0,三、弹簧的弹性势能,线性弹簧（弹力正比于形变量x的一次方的弹簧）的势能函数。它的数学形式取决于势能零点的选择
7、。,保守力沿 方向的分量 fl，等于与此保守力相应的势能函数沿l 方向的方向导数的负值:,20,4.7 由势能求保守力,上述过程的逆过程，即对势能函数沿路径求导，应得到保守力。以 表示沿路径的元位移，则保守力的元功,保守力场及其势能函数互为因果：保守力对路径积分，给出势能函数Ep(x)。,此处,21,在直角坐标系中,引入梯度算符：,保守力等于相应势能函数的负梯度：,22,1.由弹性势能求弹性力,2.由引力势能求引力,23,3.势能曲线告诉我们什么？,平衡点，相互作用力为零；,点：,力为负，原子相吸；,力为正，原子相斥。,24,4.8 机械能守恒定律,定义系统的机械能动能势能,一.功能关系,功能
8、关系只适用于惯性系。对非惯性系还应考虑惯性力做的功。,质点系在运动过程中，它所受的外力做的功与系统内非保守力做的功的总和，等于它的机械能的增量:,注意：势能属保守力互作用双方共有，因而保守力必是内力。所以，外力一定是非保守的。所有非保守力的功，等于系统机械能的增量。,（功能关系）,25,因为它牛顿定律的推论，故只适用于惯性系。,功能关系的证明：,由质点系的动能定理（惯性系）：,将内力的功分为两部分,再将保守内力的功写成势能差：,于是得功能关系：,（内外力的总功=系统机械能增量）,26,保守系统：各质点间的作用力都是保守力的质点系。,二、机械能守恒定律,【思考】系统对某一惯性系的机械能守恒，对另
9、一惯性系该体系的机械能也一定守恒吗？,在外力的功为零或外力不做功的情况下，保守系统机械能守恒。,当外力的功和非保守内力的功为零，即只有保守内力做功情况下，质点系的机械能不变。保守内力作功只起势能与动能相互转化作用。,27,【例】质量为 m的小球，线长为 l ，从线处于水平位置释放，求摆下 角时小球的速率和线的张力。,三种解法的比较：,1. 用牛顿第二定律微分方程求解,2. 用功和动能的概念求解,3. 用势能和机械能概念求解,解法1：,T,mg,切向方程,法向方程,(1),(2),s,28,T,mg,切向方程,法向方程,(1),(2),改写方程(1)的右方：,s,代入（1）式右方，得,约去m，分
10、离变量：,积分：,得：,(3),代入（2）解出,29,解法2：,由积分计算功：,由动能定理：,将上式代入动能定理：,由法向方程得出：,30,解法3：,机械能守恒：,外力 不做功.,内力（重力）为保守力。,系统包括单摆系统+地球。,T由法向方程（2）给出。,31,三、质心系中的功能关系,2.质心系中的功能关系,1.质点系的内能,内动能和质点间势能的和，称为质点系的内能，即质点系在质心坐标系内的机械能，记为Ein:,相对于质心系，外力做的功和非保守内力做的功的和，等于质点系内能的增量：,质心系是非惯性系时也是这样，不必考虑惯性力做的功，因为此时惯性力做的总功为零。证明如下：,先将（1）式左边两项化
11、成另外的形式，然后相加：,（1）,32,C,o,mi,C系中外力的元功,o系中外力的元功,外力对质心做的元功,（2）,（1）,(1)左边第1项：,33,（柯尼希定理）,（内力为成对力，每一对的功与参考系无关）,C,o,mi,（3）,(2)+(3)得：,系统机械能元增量,质心机械能元增量,（1）,(1)左边第2项：,（2）,质心系动能元增量,势能元增量,质心系机械能元增量,定理得证。质心有加速度也成立。,34,4.9 碰撞,两物体接近或接触，在较短时间内发生强烈相互作用的过程称为碰撞。,微观领域的碰撞是指入射粒子与靶粒子发生相互作用，测量出射粒子分布，反推相互作用的性质或粒子的结构。,35,1.
12、完全非弹性碰撞 资用能 对撞机,完全非弹性碰撞：,按柯尼希定理: 二体系统的动能E=质心动能 +内动能Ek,in,在微观粒子碰撞中，这一份能量被用来引起粒子的转变，称为资用能。质心运动动能不能充作资用能。,碰后不再分开,初态记为：,末态：不再分开，共同速度为 ：,内动能就是系统内部相对运动动能。碰后既然合二为一，相对运动消失，内动能成为零，系统成了一个整体。因无外力作用，质心速度不变。系统因碰撞而损失的动能就是内动能：,36,靶静止情况,对撞机,为全部利用碰撞前粒子的总动能引起粒子转变，让质量和速率相等的粒子对撞对撞机。,质心动能 Ec “浪费掉了”。,资用能：,碰前动能,碰前动能,碰后动能,
13、碰后动能,M,Ec=0,资用能：,37,2.弹性碰撞：,初态：m1 ，v10 ，m2 ，v20,末态：m1 ，v1 ， m2 ， v2,速度共线,碰撞前后总动能没有损失者称为弹性碰撞。求对心碰撞后两体的速度？,动量守恒（无外力或忽略外力）：,动能不变：,38,1、 m1=m2 ：,两球互相交换速度。,【演示实验】两质量相同球的弹性碰撞,2、受碰球v20= 0, 原来静止,m1 m2：,m1 m2：,m1 m2：,39,设碰撞后：,动量守恒：,动能不变：,即证。,证明：,【例】在无摩擦平面两相同的球做非对心弹性碰撞，其中一球开始时静止，另一球速度为 ，证明：碰撞后两球速度总互相垂直。,40,4.
14、10 两体问题,方程是耦合的，求解困难化成单体问题.,一、两体问题化成单体问题,41,单体问题：,约化质量：,42,质点m2相对m1的运动，和约化粒子 在原点取在m1上的惯性系中受同样力时的运动是一样的,作为牛顿定律的推论，关于约化粒子的动量和能量的定律，仍取惯性系中的形式，尽管原点m1有加速度。,43,如果m1，则以m1为原点的参考系近似为惯性系，约化粒子就近似地等于m2了,约化粒子是“等效粒子”。约化质量 和m2的差别，来源于“以m1为原点的参考系不是惯性系”这一事实。,举例：物体与地球，氢原子中的电子与质子。,44,二、用约化粒子如何描述真实的两体运动？,1、两体相对运动用约化粒子的运动代表,2、两体内动能等于约化粒子动能,因此，两体的内能为,例：氢原子内能,45,证明：,46,47,证明：,证毕。,48,1、用约化粒子概念求解,49,对于约化粒子，关于能量的定律与惯性系中的形式相同。,最大压缩长度：,内动能 Ein,k0 时弹簧压缩最大,机械能守恒：,2、在桌面系求解,机械能守恒：,
