1、1直角三角形的边角关系适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级适用区域 北师大版本 课时时长（分钟） 120 分钟知识点 锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形及应用教学目标 复习和巩固三角函数的关系，联系勾股定理教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦、正切和余切的意义，并能举例说明；2.能用 sinA、cosA 、tanA、cotA 表示直角三角形两边的比；3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学过程一、复习预习复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是 0.618，台风问题等等二、知识讲解1.直角三角形
2、的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）： ；（2）角的关系： =C=90 0；2（3）边角关系： ：0912CBAA：锐角三角函数： A 的 = ；Aasin=c 的 对 边 ， 即斜 边A 的 = ,bo 的 邻 边 ， 即斜 边A 的 = Aatn=b 的 对 边 ， 即 的 邻 边注：三角函数值是一个比值2.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 。(2) 异名三角函数的大小比较tanASinA，由定义知 tanA= ，sinA= ；因为 bc，所以 tanA
3、sinAcotA cosA由定义知 cosA= ，cotA= ；因为 ac，所以 cotAcosA3若 0 A45 ，则 cosAsinA，cotAtanA；若 45 A90 ，则 cosAsinA，cotAtanA3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题1、实际问题中有关名词、术语的意义：仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .如图 1. 坡角与坡度：坡面与 的夹角叫做坡角，图 2 中的 是坡角；坡面的垂直高度h 和 的比叫做坡度.即坡度 tanlhi3、例题精析【例 1】等腰三角形底边长为 10，周长为 36cm，那么底角的
4、余弦等于（ ） （A） （B ） （C） （D）53123103512课堂训练题4在ABC 中，若三边 BC ,CA,AB 满足 BC：CA ：AB=5：12： 13，则 cosB= （ ）A. B. C. D.1251352【例 2】已知 ，且 A 为锐角，则A=（ ）1sin2A.30 B.45 C.60 D.75课堂训练题cos30=( )A. B. C. D.1232【例 3】王英同学从 A 地沿北偏西 60 方向走 100 m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地，此时王英同学离 A 地 （ ）（A） m （B ）100 m （C）150 m （D） m 35
5、0 310【解题思路】作出如图所示的图形，则BAD90 6030，AB100 ，所以 BD50，cos30 ，A所以 AD50 ，3CD200 50150 ，在 RtADC 中，AC 100 .2ADC2(503)135课堂训练题在一次夏令营活动中，小霞同学从营地 点出发，要到距离 点 的 地去，先沿AA10mC北偏东 方向到达 地，然后再沿北偏西 方向走了 到达目的地 ,此时小霞70B205在营地 的（ ）AA. 北偏东 方向上 B. 北偏东 方向上 23C. 北偏东 方向上 D. 北偏西 方向上400【例 4】如图，已知ABC 中，ABC=45，F 是高 AD 和 BE的交点，CD=4，则
6、线段 DF 的长度为( )A B4 C D23242课堂训练题如图 6-32，在菱形 ABCD 中， ADC=120，则 BDAC 等于（ ）（A） （B） （C）1 2 （D）2:33: 1:2【例 5】如图，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45,则船与观测者之间的水平距离 BC= 米6课堂训练题如图，孔明同学背着一桶水，从山脚 出发，沿与地面成 角的山坡向上走，送水到山A30上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（ 处） ， 米，则孔明从 到 上升的高B8AB度 是 米BC【例 6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度.已知在离地面
7、 1500 m，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60和 45，求隧道 AB 的长.7OA ， OB=OC=1500，350130tan15AB= (m).68即隧道 AB 的长约为 635m. 课堂训练题某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距 CD 一定距离的 A处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 ，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 测得 A，B 之间的距离为 4 米， ， ，试求建tan1.6tan1.2筑物 CD 的高度ACDBEF G8【例 7】如图，一条小船从港口 出发，沿
8、北偏东 方向航行 海里后到达 处，然后A402B又沿北偏西 方向航行 海里后到达 处问此时小船距港口 多少海里？（结果精确301CA到 1 海里）友情提示：以下数据可以选用： ， ，sin40.628 cos40.76， tan40.8391 .732解：过 点作 ，垂足为点 ；过 点分别作 ，BEAPECDAP，垂足分别为点 ，则四边形 为矩形CFDF， F， ， DC， 30QB60B， ； 2040AB， cos42.715.3AE sin.6281.5.9E ，100BCF，； sin61.86.8.7A co0.5BF CQBFAE北 409 12.957.CDEFB，8.715.3
9、24.0A由勾股定理，得 2.79638.4125CAD 即此时小船距港口 约 25 海里.课堂训练题如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 ，在 M 的30南偏东 方向上有一点 A，以 A 为圆心，500 米为半径的圆形区域为居民区，则 MN 上60另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 .已知 米，通过计算回答，如果不改变方7540B向，输水路线是否会穿过居民区？ 北 东 AN【例 8】如图，某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以
10、40 海里/时的速度由 A 向北偏西 60方向移动.距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1 ） 问 B 处是否会受到台风的影响？请说明理由.10（2 ） 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用的数据： 1.4， 1.7）23【参考答案】解：（1）过点 B 作 BDAC，垂足为 D.依题意得：BAC=30 ，Rt ABD 中，BD=AB=2016=160200， B 处会受到台风的影响 .（2 ）以点 B 为圆心， 200 海里为半径画圆交 AC 于 E、F（如图） ，由勾股定理可求得：DE=120，AD=160 ，3AE=ADDE=160 120
11、， 3 =3.8（小时）4012 6该船应在 3.8 小时内卸完货物.课堂训练题如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东航行，在 A 点测得该岛在北偏东 60方向上，航行半小时后到 B 点，测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁.（1 ） 试说明 B 点是否在暗礁区域外；（2 ） 若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.11课后自我检测A 类题（10 道题）1.在 RtABC 中，C90 ，若 ，则 sinA（ ）43tanA. B. C. D.345532.在 ABC 中， C90 ，AB2，BC ，则 tan .323.计算 的值是（ ）3cos60ct12A.
12、 B. C. D.276523234.在 RtABC 中，C90 ， ，AC6，则 BC 的长为（ ）31tanAA.6 B.5 C.4 D.25.ABC 中， A、 B 均为锐角，且 ，试确定 ABC 的形0)3sin2(3tan2AB状.6.已知正方形 ABCD 的两条对角线相交于 O，P 是 OA 上一点，且CPD60 ，则 POAO .7.在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高线，已知ACD 的正弦值是 ，则 的值是（ 32ABC）A. B. C. D.52532532138.如图，在 RtABC 中，C90，sinA ，D 为 AC 上一点，BDC 45，DC 6，求 AB5
13、2的长. 9.某水库大坝横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD3 米，斜坡 AD16 米，坝高 8 米，斜坡 BC的坡度 1 3，求斜坡 AB 的坡角和坝底宽 AB.i10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点 A 处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得CAD45，在距离 A 点 30 米的 B 处测得CBD30 ，求河宽 CD（结果可带根号）.14B 类题（10 道题）1.某人沿倾斜角为 的斜坡前进 100 米，则他上升的高度为（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米sin10sin10cos10cos102.若 ，则锐角 的度数是（ ）3ta()A.20 B.30 C.
14、40 D.503.已知 cos 0.5，那么锐角 的取值范围是（ ）A.60 90 B.0 60 C.30 90 D.0 30 4.ABC 中，ACB90 ，CD 是 AB 边上的高，则 等于（ ）CBDA.cosB B.tanA C.cosA D.sinA5.已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC18cm ，sinABC ，AC 与 BD 相交于点352O， BOC120 ，试求 AB 的长.156.如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米.现将梯子的底端 A 向外移动到 ，使梯子的底端 到墙根 O 的距离等于A3 米，同
15、时梯子的顶端 B 下降到 ，那么 （ ）BA.等于 1 米 B.大于 1 米 C.小于 1 米 D.不能确定7.如图，已知四边形 ABCD 中， ABBC2 ， ABC120 ， BAD75 ，D60 ，求 CD 的长. 168.如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 45和 60，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）.（参考数据：1.41421 ， 1.73205 ）239.如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO450 米，且A、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 ，
16、 ，求大桥 AB3045的长（精确到 1 米，选用数据： 1 .41， 1.73）231710.一艘渔船正以 30 海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 60方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 30方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？C 类题（10 道题）1.在 RtABC 中， C90 ，下列式子不一定成立的是（ ）A.cosA cosB B.cosAsinBC.sinAcosB D. 2cossinBAC2.已知，在ABC
17、中， A60 ， B45 ，AC 2 ，则 AB 的长为 .3.如图，两条宽度都是 1 的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）A. B.sin1cosC. D.14.在 RtABC 中， C90 ， A、B 的对边分别是 、 ，且满足 ，则ab022batanA 等于（ ）A.1 B. C. D.251251251185.如图，在ABC 中， A30 ，E 为 AC 上一点，且 AEEC31，EF AB 于 F，连结 FC，则tanCFB（ ）A. B. C. D.3612346.已知 ， ，则 与 的关系是（ ）mcosinncosimA. B. C. D.12n12n21
