1、第七章 应力和应变分析强度理论7.1 应力状态概述应力的基本特性：1、 应力是位置的函数2、对于确定点的应力，过该点不同方向截面上其应力的表示一般也是不同的应力状态：一点的应力状态是指过该点所有不同方向截面上其应力大小和方向组成的集合由于是微元体，假设表面上的应力是均匀的且等于该截面上的应力。单元体内平行面上的应力或相同或相反单元体表面上的应力分解为正应力和切应力，切应力在相应的表面内再分解成两个切应力正应力符号：拉为正，压为负切应力符号：对内点求矩，顺时针为正，逆时针为负由剪应力互等定理可知 ij= - ji单元体上仅有六个独立量： x , y , z , xy( yx) , xz( zx)
2、 , yz( zy) 应力分量主平面：一点的应力状态，切应力等于 0 的面主平面上的正应力称为该点的主应力；主平面的法向称为该点的主应力方向对于一点的应力状态，主平面（主应力，主应力方向）总是存在的；且总是存在有相互垂直的三个主应力方向。一般情况下，三个主应力方向是唯一的应力状态的分类简单应力状态1、 单向应力状态：三个主应力中仅有一个不等于零例如：杆的简单拉压问题；梁的纯弯曲问题复杂应力状态2、 平面（二向）应力状态：三个主应力中仅有两个不等于零例如：圆柱的扭转问题；梁的剪切弯曲问题3、 空间（三向）应力状态：三个主应力皆不等于零通常用 1 、 2 、 3 代表该点的三个主应力，且 1 2
3、3（包括符号）7.3 二向应力状态分析解析法 2cos2sininxyyx xyyx正应力 的极值点、最大值和最小值极值点： yxtg20在极值点 a0 处正应力 ( 0 2 ) 取最大值或最小值最大主应力和最小主应力： 2minax xyyxyx 在约定 x y（包括符合）后，则在极值点 a0（两个）中，绝对值较小的一个确定了 max 所在的平面（选择坐标时要保证这一点）若 x = y 且 xy ( yx) = 0，则最大主应力和最小主应力相等二向均匀应力状态在 Oxy 平面上任意一对相互垂直的方向均为主应力方向（对应的截面为主平面） ，这时两个主应力方向不能唯一确定。切应力 的极值点、最大
4、值和最小值极值点： xytg21最大切应力和最小切应力： 22minax2mina xyyx面内最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为 450 ，即 a1 = a0 4 xy：第一个角标 X 表示切应力作用平面的法线的方向；第二个角标 Y 表示切应力的方向平行于 Y 轴。 （ yx 同理）例：圆直杆扭转时在杆表面上点 K 的应力状态解：首先建立坐标系，在圆直杆扭转时横截面上仅存在切应力，其杆表面上点 K 的切应力为 =Me/Wt x = y = 0 , xy = 2mina2xyyxyx 00 yxtg43,0圆截面铸铁扭转时，由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏注
5、：所产生的裂纹与受拉方向垂直（课本 P220 图）在钢筋混凝土梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸，所以应使钢筋尽可能地沿主拉应力迹线的方向放置。7.4 二向应力状态分析图解法 22xyyxyx 若以 表示横坐标， 表示纵坐标，则圆心的坐标为 ，圆周的半径为0,2yx2xyyx该圆周称为应力圆1、首先建立坐标系 O ，画出 A 、D 、B 和 D四个点，其坐标分别为 ( x ,0) 、 ( x , xy ) 、 ( y , 0)和 ( y , yx )2、以 D D与 轴的交点 C 为圆心，D D为直径画出应力圆3、对于斜截面上的正应力 和切应力 ，以 D 点为起点在应力圆上逆时针旋转 2 角度得到应力
6、圆上 E 点，E 点的坐标为(OF，EF )，则 = OF, = EF4、最大主应力 max 和最小主应力 min 分别为应力圆与 轴的交点 A1 和 B1（横坐标的值） ，最大主应力 max 的方向与 x 轴的夹角 a0 取决于 D 到 A1 的夹角 2a0 和走向（是逆时针还是顺时针，且转角为 2a0）5、面内最大剪应力 max 和最小剪应力 min 分别为 C 点平行于 轴的直线与应力圆的交点 G1 和 G2（纵坐标的值） ，面内最大剪应力 max 的方向与 x轴的夹角 a1 取决于 D 到 G1 的夹角 2a1 和走向（是逆时针还是顺时针）7.5 三向应力状态仅讨论当三个主应力已知时，
7、如何计算任意斜截面上的应力问题根据约定 2 3 ，任意斜截面上的正应力 n和切应力 n 组成的坐标点（ n , n）位于三个圆的交集之中注意：一点的最大和最小切应力分别为（与平面应力分开）231minax作图就是先求出 、 2、 3，再按以上方法分别画处 3 个圆平行于 、 2、 3 的平面上的应力分别与 、 2、 3 无关。分析二向应力与三向应力公式：1、假设 max0， min0， min0 =max， 2=min， 3=0与公式不符合21minaxminax只有 、 异号时这点的最大切应力等于这个面的最大切应力axmin求点的最大切应力一定要用 2minaxmax这是因为二向应力状态公式
8、将一个方向的主应力看作为 0 导致错误7.6 位移与应变分量在直角坐标系 Oxyz 下，已知一点 M 的位移分量为 u(x,y,z), v (x,y,z), w (x,y,z)；应变分量为 x , y , z , xy( yx) , yz( zy) , zx( xz) 。它们之间的关系为： zwvuyx )( )(,zuxwywvxzz zyy 线应变的正负号规定为：伸长为正，缩短为负切应变的正负号规定为：角度增大为正，角度减少为负一点的应变状态可以由应变分量 x , y , z , xy( yx) , yz( zy) , zx( xz)确定，即该点任意方向的线应变以及任意两个相互垂直方向的切应变均可以由这六个应变分量表示出来7.7 平面应变状态分析 2cos2sin2 inxyyx xyx平面应变状态与平面应力状态情况下的对应计算公式是相似的（ 对应 ）2在平面应变状态中，一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变取极值（分别为最大值和最小值）而相应的切应变等于零。此方向的线应变称为主应变，该方向称为主应变方向 yxtg0222minax2xyyxy应变的实测 2sin2coxyyxyx只有测出三个角度的应变量便可联立方程求出 、 、 （应变花）xyx避免将应变片贴在中性轴，因为中心轴无线应变7.8 广义胡克定律
