1、2.12定积分一、选择题(每小题 6分，共 36分)1. （2013福州模拟)函数 f(x)=x2+2x+m(x,mR)的最小值为-1，则 f(x)dx等于（ ）21(A)2 (B) (C)6 (D)7132.求曲线 y=x2与 y=x所围成图形的面积，其中正确的是( )(A)S= (x2-x)dx10(B)S= (x-x2)dx(C)S= (y2-y)dy10(D)S= (y- )dyy3.若某产品一天内的产量是时间 t的函数，若已知产量的变化率为 a= ，那么从第 3小时到第 636t小时期间内的产量为( )(A) (B)3-1232(C)6+3 (D)6-34.曲线 y=sinx与直线
2、x=0、x= 、x 轴所围成的图形的面积为( 23(A) (B)12(C) (D)235求由 y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择 x为积分变量，则积分区间为( )(A)0，e 2 (B)0，2(C)1，2 (D)0，16.给出如下命题： dx= dt=b-a(a,b为常数且 a1,若 (2x+1)dx=t2,则 t=_.t1三、解答题(每小题 15分，共 30分)10 （易错题）求曲线 y=log2x与曲线 y=log2(4-x)以及 x轴所围成的图形的面积.11.(2012佛山模拟)已知 y=ax2+bx通过点(1,2),与 y=-x2+2x有一个交点，交点横坐标为 x1
3、,且 a0)与直线 x+y-6=0及 y=0所围成的图形的面积.【解析】由题意,作出图形(如图所示),解方程组 得 或 (舍去),2y8x,602y4x18所以 y2=8x(y0)与直线 x+y-6=0的 交点为(2,4),所以所求面积为 S= dx+2062xd= +(6x- x2)832|16|= +(66- 62)-(62- 22)16= +8= .34011.【解析】(1)由 y=ax2+bx通过点(1,2)可得 a+b=2,即 b=2-a,由 y=ax2+bx与 y=-x2+2x联立方程组,解得 x1= .a则 y=ax2+bx与 y=-x2+2x所围的面积 S与 a的函数关系为S=
4、 (ax 2+bx)-(-x2+2x)dx1x0= (ax 2+2x-ax)-(-x2+2x)dx1= (a+1)x3- ax2 1x0|= (a+1)( )3- a( )2=- .1aa326a(2)求导可得 S=- 162341=- =- 164324a24a1由 S0 得-3a-1,由 S0 得-1 a0或 a-3,所以当 a=-3时，S 取得极小值,即最小值.此时 b=2-a=5,最小值 S(-3)= .98【探究创新】【解析】面积 S1等于边长为 t与 t2的矩形的面积去掉曲线 y=x2与 x轴、直线 x=t围成的面积，即S1=tt 2- = t3.面积 S2等于曲线 y=x2与 x轴、x=t，x=1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长t0xd分别为 t2，(1-t)，即S2= -t2(1-t)= t3-t2+ .t 1所以阴影部分面积 S=S1+S2= t3-t2+ (0t1)，4由 S(t)=4t 2-2t=4t(t- )=0，得 t=0或 t= .经验证知，当 t= 时，S 最小.
