1、高阶方程的降阶技巧目 录一高阶方程的引入及定义1二几类常见的可降阶的高阶 微分方程2（一） 型的微分方程2()yfx（二） 型的微分方程 3,（三） 型的微分方程4()yfy（四）二阶方程的幂级数解5三其他情况的高阶微分方程 7四总结12参考文献12高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。关键词:线性微分方程，降阶，非零特解1一高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数. 函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知
2、函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需
3、再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程（1）(,)0ndyFxx的左端为 y 及 的一次有理整式。则称（1）为 n 阶线性微分方程.不,ndyx是线性方程的方程称为非线性微分方程.如果函数 代入方程（1）后,能使它变为恒等式.则称函数 为方() ()yx程（1）的解.我们把含有 n 个独立的任意常数 的解 称为 n 阶方12,nc 12(,)nyc程（1）的通解.所谓 n 阶微分方程(1)的初值条件是指如下的 n 个条件:当 时, 0x 1(1)(1)000,nndyyxdx这里 是给定的 n+1 个常数
4、,初值条件有时写为(1)(1)00,nxy21(1) (1)000(),nndyxdyxyx求微分方程满足定解条件的解.二几类常见的可降阶的高阶微分方程二阶微分方程的求解：(一) 型的微分方程()yfx特点:等式右端不含 ,仅是 x 的函数.y解法:将 作为新的未知函数,然后对原方程降阶, 令 ,则有y zyz，方程两边同时积分得()zfx 1()zfxdc即 1()yf再积分得 12()fxdcx同理对于 ,令 ,积分得:()nyfx(1)()nzyzf() 1xc则原方程变形为 n-1 阶,对其继续积分得(2) 12()nyfd则方程变为 n-2 阶,如此连续积分 n 次即得原方程的含有
5、n 个任意常数的通解.例 1 解三阶方程: sicox解:： 等式两端同时积分 (in)ydxd1cosc再积分 1(sin)ydxxd312sincoxxc再积分 12(si)yddx 213cosncxxc这就是所给方程的通解.(二) 型的微分方程(,)yfx特点:右端不含 y.解法:降阶.令 代入原方程得:py（2）(,)dpfx若 为如下一些一些类型,可分别求得（2）降阶式的解.()fxi. 通解: )(xqypd()()pxdpxdycqeii. , 通解: nx0,1)()(1)(1(1)npxdnpxdnycxee (方法两边同时除以 ,将 拿到 中,即 )nyyiii. 令 ,
6、则 ,即求出 u 与 xdygxuuxxdux的关系,再将 u 代回,即得答案.iv. 1122abycydx若 , 则令 2112c2uaxby若 ,则令 2112ab11220(,)cxy再令 ,XxYy12()abdYgX已上求得的解为 .回代 ,得 变量可分离的一阶方程,积1(,)pcyp1dxc4分得 12(,)yxcd例 2200(1)|,|3xxyy解: 令 ，则 , 则方程变为:p dp,2(1)xxp2dpd因为 , , 则21()ypcx0|3xy1c,因为 , 32x0|1x, 所以所求特解为: .2 3(三) 型的微分方程()yfy特点:右端不含 x.解法:降阶.令 .
7、由复合函数求导法则得:ddpxxydpy代入原方程得: (,)dpf这是一个关于 y,p 的一阶方程,若以求得它的通解为: 1(,)yyc变量可分离的一阶方程,积分得: 21(,)dxyc即原方程得通解.例 3 求 满足 的特解2()y (0),()y解: 令 ，则 ,则方程变为:p dpy52()pdy即(1)(0)y分离变量得: ,等式两端同时积分化简得:12dpy,即 , 把 时, 代入上式得 ，21ypc1c 2y1c则方程化为,21ydx分离变量得: 2dxy积分得: 22tan()arctnycc将 代入解得 , 故原方程的特解为:(0)1y244taxy(四) 二阶线性方程的幂级
8、数解对带初值条件的二阶齐次线性方程这里 ,否则可引进新变量002 )(,)(,)()( yyxqdypx 0x化为 .有如下定理0tti.定理 若方程中系数 或 能展成收敛区间为 的幂级)(,xqp)(,2xqpxR数,则二阶齐次线性方程有收敛区间为 的幂级数特解R0nnyax或 00annnyxx这里 为待定常数.6iin 阶贝塞尔方程 22()0dyxxny(n 为非负常数),有特解,210(1) ()!knkky Jxn.220() ()!1knk nk xn 阶贝塞尔方程有通解 ,其中 为任意常数.12()()nnycJx12,c(或 )是由贝塞尔方程所定义的特殊函数,成为 n(或-n
9、)阶(第一)Jxn类)贝塞尔函数. 的定义:当 时 ;当 时且非整数 .(s0s10()sxed0s1()s有性质: ;对正整数 n,有)(1(1)!n一般情况(一) 型的微分方程()()(1),.,nknyfxy特点:不显含未知函数 及 .(1).,ky解法:令 ,则()kyz(1)()(),knkyzy() (1).nfx求得 z,将 连续积分 k 次,可得通解.()kyz(二) 型的微分方程()()(1),.,nknfy特点:右端不显含自变量 x.解法:设 ,则()ypdpydpyx7,22dpyy 代入原方程得到新函数 p(y)的 n-1 阶方程,求得其解为: 11(),.)ndypy
10、cx原方程通解为: 11(,.)nnxyc(三) 齐次方程特点: () ()(,.(,.nk nFxtyttFxy 解法: 可通过变换 将其降阶,得新未知函数 .zdxe xz, ,2,()zdx zdxyye () 1)(.zxnn代入原方程并消去 kzdxe得新函数 z(x)的 n-1 阶方程 (1)(,.,0nfz例 4 求方程 的通解.22)xyxy解: 设 ,代入原方程,得 ,解得其通解为 ,zde 21zx12czx原方程得通解为 1 12()2ccdxx xyee注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：一般情况，边解边定常数计算简便；遇到开平方时，要根据题意确定正负号。三其他情况
11、的高阶微分方程N 阶微分方程一般地可写为 ()(,.0nFtx下面讨论几类特殊方程的降阶问题。8.方程不显含未知函数 x，或更一般地，设方程不含 ，即方程(1),.,kx呈形状 ()1)(),.0,1)knFtxkn可降低 k 阶.令 ,方程降为 y 的 n-k 阶方程 .若求()kyx ()(,.,0nkFty得上面所示方程的通解,12(,.)nktc即,()12,.)k nkxt再经过 k 次积分得到,12(,.)ntc其中 为任意常数 .可以验证,这就是方程 的通解.12,.nc ()(.,0nFtx例 5 求方程 的解.5410dxtt解: 令 ,则方程化为 ,即方程化为一阶方程.4y
12、t 10dyt方程积分后得 ,即 ,ct4xct4321245xctt其中 为任意常数,这就是原方程的通解.345,c.不显含自变量 t 的方程 ()(,.,0nFx令 y=x,视 x 为新自变量，而视 x 为新自变量,则方程就可可降低一阶，事实上,在所作的假定下, ,采用22, .dydyydxt x数学归纳法可以证明, 可用 表出( ).将这些表达式代入()kx1,.,kxn原式可得 .1(,.,)0ndyFx9.齐次线性微分方程.11().()0nnndxxatatxt其求解问题归结为寻求方程的 n 个线性无关的特解,但如何求这些特接呢?没有普遍的方法可循.这是与常系数线性微分方程的极大
13、差异之处.但是我们指出,如果知道方程的一个非零特解,则利用变换,可将方程降低一阶;或更一般地,若知道方程的 k 个无关的特解,则可通过一系列同类型的变换,使方程降低 k 阶.并且得到的 n-k 阶方程也是齐次线性的.设 是上述方程的 k 个线性无关解,显然 不恒等于 0(i=1,2,k),12,kx ix令 ,直接计算可得ky,xx2,kkkyy yxxnxx nknkknkn )()2()1()()( 将这些关系式代入 中,可得1().()0nnndatatt,() (1)()(1)1.0n nkkkkknkxyxyxaxy这是关于 y 的 n 阶方程,且各项系数是 t 的已知函数,而 y
14、的系数恒等于零,因为是此方程的解.因此,如果引入新未知函数 ,并在 的区间上用 除k zkk方程的各项,我们便得到形状如 (1)(2)(2)(1).0nnnnzbtzbttz的 n-1 阶齐次线性微分方程.因有关系 或 .因此,对于上述方程我们就知道它的kxzdtkxyk-1 个线性无关解 .iikx1)-,2=(事实上， 是 的解,假121,.z()(2)1(2)(1).0nnnnzbtzbtztz设这 k-1 个解之间存在关系式,121.0kkaxax10或,112.kkkkxxaaa其中 是常数,那么就有121,.ka,121 .kkkkkxxxaaa或,121.0kkxx由于 线性无关
15、, 故必有 .这就是说 是12,.kx2.a121,.kz线性无关的.因此,若对 仿上做法,可进一步令(1)(2)(2)(1).0nnnnzbtzbtztz,则可将方程化为关于 u 的 n-2 阶齐次线性微分方程1kzudt,(2)(3)12.()nnnctctu并且还知道方程此方程的 k-2 个线性无关解,1iikzu,1ki利用 k 个线性无关特解当中的一个解 ，可以把方程x11().()0nnndxdatatxt降低一阶,成为 n-1 阶齐次线性微分方程(1)(2)(2)(1).nnnnzbtzbtzbtz并且知道它的 k-1 个线性无关解;而利用两个线性无关解 ,则又可以把方kx程 1
16、1().()0nnndxdxatatt降低两阶，成为 n-2 阶齐次线性微分方程,(2)(3)12.()0nnnuctctu同时,也知道了它的 k-2 个线性无关解.依此类推,继续上面的做法,若利用了方11程的 k 个线性无关解 ,则最后就得到一个 n-k 阶的齐次线性微分方程.kx,21这就是说把降低了 k 阶.对于二阶齐次线性微分方程来说,如果知道它的一个非零特解,则方程的求解问题就解决了.设 是二阶齐次线性微分方程10x2()()0dxptqtx的解,则由上面讨论知道,经变换 1xydt后,方程就化成 1112()0dptt解得 ()21ptdycex,已知非零特解 时,方程可解.其通解
17、为1x(3)()121ptdxcex其中 为任意常数 .1,c当取 得到方程0,2()()0dxptqtx的一个特解.()12ptdxe例 6 已知 是方程 的解,试求方程的通解.sintx0xt解 这里 ,由(3)可得:2()pt21sin1)sintxcdtt1(ot)(cos12其中 是任意常数 ,这就是方程的通解1,c四总结：高阶微分方程的求解技巧，一般是借助定积分进行变量代换，降为可处理的微分方程，然后对方程求解，最后变量带回，求得原方程的通解。参考文献王高雄等编。 常微分方程（第三版） 高等教育出版社 2006E卡姆克编。 常微分方程手册 科学出版社 1977孙清华等编。 常微分方程内容方法与技巧 华中科技大学出版社 2006窦霁红 常微分方程考研教案（第二版）西北工业大学出版社 2006
