1、1,例1、（生产计划问题）某厂在一个计划期内拟生产甲、乙两种大型设备，生产过程中有A、B两种原材料的供应受到严格限制。可供原料总量、每台设备所需原料的数量及利润如下表所示，问该厂应如何安排生产使总利润最大。,第3章 整数线性规划,2,3,例2、某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内 所需司机和乘务人员数如下： 班次 时间 所需人数6：00 10：00 6010：0014：00 7014：0018：00 6018：0022：00 2022：002：00 202：00 6：00 30设司乘人员在各时间段一开始时上班，并连 续工作8小时，问该公司线路至少应配备多少司 乘人员。,4,解：设x1， x2
2、，x3，x6为各班新上班人数。 目标函数：minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：,5,一、整数规划问题 1、整数规划模型的一般形式：,整数规划分为： （1）纯整数规划； （2）混合整数规划； （3）0-1整数规划 。,6,、解的特点,结论：PIP的最优解“不优于”其松弛问题的最优解。,7,二、割平面法,1、基本思想：先不考虑整数约束，求解松弛问题LP，若不是整数解，则不断增加约束，割掉原可行域中不含整数解的部分，最终得到一个具有若干整数顶点的可行域，其中有一个顶点为LP的整数解。适用于求解纯整数规划问题。 2、基本步骤： （1）求解松弛问题，若为整数解或无解，停止； （2）增加
3、线性约束，对可行域进行“切割”，去掉不含整数的可行域。,8,3、求法：,9,例1、用割平面法求解整数规划问题：,10,最优表：,（2）构造割平面方程：,11,12,13,14,4、切割的几何意义：,15,16,三、分枝定界法可解：纯整数规划、混合整数规划问题基本思路：先求松弛问题的最优解，若不是整数解，则添加两个约束条件，舍弃一部分非整数的可行解，并将原松弛问题分解为两个子问题。分枝后，某些整数点就有可能处于可行域的边界上，有机会找到最优解。,17,例1、用分枝定界法求解整数规划问题：,解：（1）求解松弛问题L：最优解：,18,（2）分枝：对L分别增加约束：将 L 分解为两个子问题 L1，L2
4、原可行域 D 变为 D1，D2,19,（3）继续对L1分解： 添加约束：将 L1 分解为两个子问题 L3，L4,20,（4）继续对L2分解： 添加约束：将 L2 分解为两个子问题 L5，L6,21,22,优点：可解纯整数规划、混合整数规划问题。 优于穷举法，仅在一部分可行的N解中寻找最优解。 缺点：若变量数目很大，计算工作量很大，可结合割平面法使用。,23,四、01整数规划一般表示式：,24,例1、（投资选择问题）某公司有n个拟选择的投资项目，其中项目j所需投资额为aj，期望收益为cj ，j=1,2,n。项目之间有下述联系：（）项目，和至少选两项； （）选项目，则必选项目，反之不一定； （）项
5、目与项目要么同时选中，要么同时不被选中。该公司总共筹集资金为万元，问怎样选择项目，才使收益最大？ 解：,25,01整数规划的解法：（只介绍小规模的）1、穷举法：n个变量，2n个组合。2、隐枚举法：不全检查，只检查一部分。,26,例2、求解01整数规划：,27,最优解： x2=0 ，x1 =1，x3 =1,28,五、指派问题指派n个人去完成n项不同的任务，如何给每个人分配任务，使总效率最高。,29,例1、今欲指派甲乙丙丁四人加工ABCD四种不同的零件， 每人加工四种零件所需要的时间如下表所示，问应该派谁加 工何种零件，可使总的花费时间最少。,30,31,32,33,第六章 图与网络分析,例1、哥
6、尼斯堡七桥问题,34,一、图的概念： 1、图：点和线所组成的图形，记为G=(V,E)，其中V是 点的集合，E是边的集合。 2、端点、关联边： 联结点vi,vj的边记作e=(vi,vj)，称vi,vj为e的端点，也称e为vi,vj的关联边。 、相邻点、相邻边： 具有同一条关联边的点为相邻点，具有公共端点的边为相邻边。 4、环： 一条边的两个端点相同，则称该边为环（自回路）。,6.1 图与网络的基本概念,35,5、多重边： 若两端之间有多于一条边相关联，称这些边为多重边。6、简单图与多重图：不含环和多重边的图称为简单图，无环但含有多重边的图称为多重图。 7、次： 点v的关联边个数称为点v的次，记作
7、d(v)。 8、悬挂点、悬挂边： 称次为1的点为悬挂点，悬挂点所关联的边为悬挂边。,36,定理： 图G=(V,E)中，所有点的次数之和等于边数的两倍。 二、连通图 1、链、圈： 在无向图G=(V,E)，称一个点和边交替的序列 vi1,ei1,vi2,ei2,vit-1,vit为连接vi1和vit的一条链。 简记为vi1,vi2,vit。其中eik=(vik,vik+1),k=1,2,t-1。 点边序列中没有重复的点称为初级链。 若链首尾两端点重合，则称为圈。,S1=v6,v5,v1,v5,v4,v3 S2=v6,v5,v1,v4,v3,37,2、连通图：如果图中任意两点间至少有一条链相连，则称
8、此图为连通图。 任何一个连通图都可以分为若干个连通子图，每个连通子图称为由原图的分图。,38,例2、有5名运动员参加游泳比赛，问如何安排比赛，才能使每位运动员都不连续地参加比赛？,39,三、子图：,e4,40,四、有向图： 1、弧、有向图： 带有方向的边称为弧，记作a= (vi,vj)。 由一些点和弧组成的集合称为有向图，记作D=(V,A) 。A表示G中弧的集合。 、路： 在有向图D=(V,A)中，称链vi1,vi2,vit为一条从vi1到vit的路。若vi1=vit，则称之为回路。,S1=v6,v5,v1,v5,v4,v3 S2=v1, v5,v1,41,6.2 树与最小生成树,一、树的概念
9、： 树：无圈的连通图。 二、树的性质： （1）树枝数等于顶点数减1； （2）树的任意两个顶点之间有且仅有一条初级链。 （3）去掉树的任一树枝，便得到一个非连通图； （4）在树中任意两个顶点间添上一条边，恰好得到一 个初级圈。 （5）在所有连通的生成子图中，生成树的边数最少。,42,三、根树（有向树）： D=(V,A)中，v到D的任一顶点都有路，则v称为D的根，D称为以v为根的根树或有向树。 四、图的生成树：,43,定理2： 图G有生成树的充要条件是图G是连通图。 寻找生成树的方法： 、破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉圈上的任意一条边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。 、避圈法：每次增加
10、一条边，且与已有边不构成圈，直至恰有p-1条边为止。,44,例、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。,45,6.3 最小树问题,一、赋权图： 与点或边有关的某些数量指标，通常称之为“权”。 定义：图G中,如果每条边(弧) (vi,vj)都被赋予一个权数wij, 则称G为赋权图. 权可以表示为：距离、费用、通过能力（数量）等。 与无向图和有向图相对应，赋权图可分为无向赋权图和 有向赋权图，分别记为G=(V,E,W)和D=(V,A,W)。,46,二、最小生成树（最小树）： 定义：在给定连通赋权图G=(V,E,W)中，
11、求G的生成树T=(V,E)，使E各边权Wij(0)的总和最小的问题称为最小树问题。其数学模型为：,其中T*称为最小树。许多网络问题都可归结为最小树问题，如设计长度最小的公路网把若干城市联通；设计用料最省的电话线网把有关单位联系起来。,47,求最小树的方法： 、破圈法(管梅谷算法) ： （）先从图G任取一个圈，并从圈中去掉一条权最大的边。若 在同一圈中有几条都是权最大边，则任选其中一边去掉。 （）在余下的子圈中，重复上述步骤，直至没有圈止。 、避圈法(Kruskal算法) ：开始选一条权最小的边，以后每 步从未选的边中选取一条权最小的边，使它与已选边不构成圈，直至选够q1条边止。,48,例、今要
12、在七个城市之间修筑一个公路网，每个城市之间的公路修筑费用就是各条边上的权，试求总修筑费用最小的公路网。,49,6.4 最短路问题,最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一，许多优化问题可以使用这个模型，如管道铺设，设备更新，线路安排等。给定D=(V,A,W)，其中wijW，表示弧(vi,vj)的权（可以是费用、时间、距离等）。设vs和vt是D中任意两顶点，求一条路，使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路。其数学模型为：,50,求最短路的狄克斯特Dijkstra标号法（Wij0） 1、基于以下原理：若序列vs,vi1,vik,vt是从vs到vt的最短路，则序列vs,vi1,vik必为从vs到
13、vik的最短路。2、Dijkstra标号法的基本思想是采用两种标号：T标号与P标号，T标号为临时性标号(Temporary Label)，P标号为永久性标号(Permanent Label)。从vs开始，逐步向外探寻最短路。给vi点P标号时，表示从vs到vi点的最短路权，vi的标号不再改变。给vi点T标号时，表示从vs到vi点的最短路权上界的估计。凡没有得到P标号的点都有T标号。标号法每一步都是把某一T标号点改为P标号，当终点vt得到P标号时，计算全部结束。如果点vj不能由T标号变为P标号，则说明vs到vj不存在路。,51,3、步骤：(1)给vs以P标号，P(vs)=0，其余各点给T标号，且T
14、(vi)=+。(2)若vi点为刚得到P标号的点，考虑T标号点vj,(vi,vj)A。对vj的T标号进行如下的更改： T(vj)=minT(vj),P(vi)+wij (3)比较所有具有T标号点，把最小者改为P标号，即：P(vjo)=minT(vj) vj为T标号若全部点均为P标号。则停止。否则以vjo代vi，返回(2),52,（1） P(v1)=0 , T(vi)=+ , i=2,3,4,5,6,7,8T(v2)=min+,0+3=3， k(v2)=v1T(v3)=min+,0+5=5， k(v3)=v1T(v4)=min+,0+6=6， k(v4)=v1 （2） P(v2)=3 T(v3)=
15、min5,3+1=4， k(v3)=v2T(v5)=min+,3+7=10， k(v5)=v2T(v6)=min+,3+4=7， k(v4)=v2,53,（3） P(v3)=4 T(v4)=min6,4+1=5， k(v4)=v3T(v6)=min7,4+2=6， k(v6)=v3 （4） P(v4)=5T(v6)=min6,5+3=6， k(v6)=v3T(v7)=min+,5+5=10， k(v7)=v4 （5） P(v6)=6T(v5)=min10,6+2=8， k(v5)=v6T(v7)=min10,6+1=7， k(v7)=v6T(v8)=min+,6+9=15， k(v8)=v6,
16、54,（6） P(v7)=7 T(v8)=min15,7+5=12， k(v8)=v7 （7） P(v5)=8T(v8)=min12,8+6=12， k(v8)=v7 （8） P(v8)=12 （9） 反向追踪找最短路径：vvvvvv,55,例、（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业都要决策下一年度是购买一台新设备呢，还是继续使用这台设备。若购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，就要支付维修费。设备在各年初的价格和不同年限使用的修理费用如下表所示，是确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。,56,30,59,23,41,22,30,22,23,31,41,16,
17、17,17,16,18,57,41,30,59,23,41,22,30,22,23,31,16,17,17,16,18,18,23,53,41,31,v,v,v,v,v3v4,点v5：d(v5)=18， v5v6 点v4：d(v4)=min17+18,23=23， v4v6 点v3：d(v3)=min17+23,23+18,31=31， v3v6 点v2：d(v2)=min16+31,22+23,30+18,41=41， v2v6 点v1：d(v1)=min16+41,22+31,30+23,41+18,59=53，v1v3或v1v4 v1v3v或v1v4v6,58,k=1时，P15（1）=
18、v1v5，w（P15（1）=9；k=2时，P15（2）= v1v2v5，w（P15（2）=7；k=3时，P15（3）= v1v3v2v5 ，w（P15（3）=2；k=4时，P15（4）= v1v3v2v4v5 ，w（P15（4）=1； 基本思想：采用“弧数不超过k”这种限制条件，让k的值从1开始，每步增加1，最多到k=n-1，则当v1 到vj的最短路Pij存在时，一定有Pij（n-1）= Pij。,Ford算法,59,60,d15 = 2 - 1 = d14 + w45， v5v4d14 = -1 +3 = d12 + w24， v4v2d12 = 3 - 4 = d13 + w32， v2v3d13 = 0 + 3 = d11 + w13， v3v1P15 = v1v3v2v4v5 ，w（P15）= 1。,
