1、第15章 结构的塑性分析与极限荷载,第17章 结构的极限荷载,17-1 概述,弹性设计方法没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实上，由塑性材料组成的结构当某一局部的max达到了屈服极限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有时不够经济合理。 塑性设计方法塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。,理想弹塑性模型,残余应变,当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹性的。当应力减小为零时，应变为P，P是塑性应变，又称残余应变。,17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态,随着M的增大，梁截面应力的变化为：,屈服弯矩、极限弯
2、矩,以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：,图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限s ，弯矩M为：,屈服弯矩,图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。,图c）塑性流动阶段，y00。相应的弯矩M为：,极限弯矩 是截面所能承受的最大弯矩。,可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状和尺寸有关。,设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为梁是没有轴力的，所以:,可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。,由此，极限弯矩的计算方法:,极限弯矩的计算,例已知材料的屈服极限 ，试求图示截面的极限弯矩。,解:,A1的面积形心距等
3、面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:,图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。 跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了“塑性铰”。 这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载称为“极限荷载”，记作FPu。,塑性铰、极限荷载,塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角，卸载时消失。,都江堰市都江之春大厦,底层柱顶塑性铰,柱端塑性铰比较严重,结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。,破坏机
4、构可以是整体性的，也可能是局部的。,破坏机构,不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。,对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。,超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。,结构的极限受力状态应满足的条件（P273）：,平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； 局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； 单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。,【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试求极限荷载。,解：,（1）唯一性定理：极限荷载FPu值
5、是唯一确定的。,（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。,可破坏荷载：,基本定理：,对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称为可破坏荷载，常用FP+ 表示。,确定极限荷载的方法：,静力法利用静力平衡求极限荷载的方法。,虚功法（机动法）沿荷载方向假设单向破坏机构，利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。,多采用机动法。,一单跨超静定梁的极限荷载,17-3 超静定梁的极限荷载,为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。,弹性阶段，A截面弯矩最大。,例 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。,结构在A、C截面出现塑性铰。,解：计
6、算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构,令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为。,得:,列出刚体虚功方程：,例 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。,虚功方程：,解：,计算刚体虚功：,由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。,解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。,由虚功方程可得：,计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即塑性铰的数量及位置。,二多跨连续梁的极限荷载计算（重点）,连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。,连续梁在竖向向下荷载作用下
7、，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现。,【例17.3】,解：,图示连续梁，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩为 ，CD跨的正极限弯矩为 ；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求连续梁的极限荷载,AB跨破坏时,BC跨破坏时,CD跨破坏时,连续梁极限荷载的计算方法： 对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载； 取其中的最小值为极限荷载。,例 试求连续梁的极限荷载。,1) 第一跨破坏时,解：,2) 第二跨破坏时,17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理,所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。荷载只是单调增大，不出现卸载现象。,1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一局部都保
8、持平衡。,2结构的极限状态应当满足的条件,1. 比例加载,2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即MMu 。,3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载方向作单向运动。,解：,A端出现塑性铰,另一个塑性铰有待确定。设坐标为x，列虚功方程,求q的最小值,1. 极限分析的目的是什么？,答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。,2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。,答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰；塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角；塑性铰可传递弯矩，普通
9、铰不能传递弯矩。,极限荷载复习题,1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。,2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。,3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。,4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。,答案：错误,答案：正确,答案：正确,答案：正确,5、塑性铰处的弯矩值可以小于极限弯矩值 。,6、当截面的弯矩达到极限值极限弯矩时，该截面的应力（ ）。 A 继续增加； B 不再增加 C 迅速增加 D 缓慢增加,7、当结构中最大弯矩所在截面的边缘应力达到屈服应力时，如果
10、继续加载，则结构（ ）。A. 处于弹性阶段 B. 进入塑性阶段C.进入弹塑性阶段 D.处于弹性阶段终点,答案：错误,B,C,8、塑性铰的性质是（ ）。A 单向铰，不能传递弯矩； B 单向铰，能够传递弯矩；C 双向铰，能够传递弯矩； D 双向铰，不能传递弯矩,B,9、极限荷载应满足的条件是（ ）。A 单向机构条件、屈服条件； B 屈服条件、平衡条件；C 单向机构条件、平衡条件； D 单向机构条件、屈服条件、平衡条件,10、在计算超静定结构的极限荷载时，需要考虑的因素有（ ）。A 变形条件； B 温度变化； C 支座移动； D 平衡条件,答案：D,答案：D,则：,F-12.3 试验证工字型截面的极
11、限弯矩为,由图可得静矩：,解：,忽略高阶项可得：,F-12.7(类似题目) 试计算图示梁的极限荷载FPu。,若第一跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。,解：,用虚功方程可得：,可解得可破坏荷载为：,若第二跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。,用虚功方程可得：,可解得可破坏荷载为：,综上,则极限荷载为:,解： 机构一：AC跨破坏., 机构二：CD跨破坏。C端出现塑性铰,另一个塑性铰有待确定。设坐标为x。, 计算极限荷载.,【练习】试计算图示结构的极限荷载qu。,虚功方程：,矩阵位移法结构的动力计算结构的稳定计算结构的极限荷载,本学期目录:,掌握单元刚度矩阵（局部坐标系、整体坐标系）、连续梁的整体刚度
12、矩阵、刚架的整体刚度矩阵及等效结点荷载的求解.熟悉对连续梁、刚架、桁架进行整体分析.理解组合结构整体分析.,矩阵位移法主要考点,动力自由度的判断单自由度体系的相关计算固有频率、周期的计算；强迫振动中动内力、动位移的计算；两个自由度体系的相关计算固有频率、主振型的计算；对称性的应用；动力计算的基本方法刚度法柔度法,结构的动力计算主要考点,稳定分析中的几个基本概念失稳、临界状态、临界荷载、两类失稳问题、稳定自由度.稳定自由度的判断静力法计算临界荷载一个自由度结构；两个自由度结构；无限个自由度结构.能量法计算临界荷载一个自由度结构；两个自由度结构.复杂体系的简化,结构的稳定计算主要考点,极限荷载分析
13、中的几个基本概念屈服弯矩、极限弯矩、塑性铰、破坏机构、极限荷载.比例加载时有关极限荷载的几个定理极小定理；唯一性定理.单跨梁极限荷载的计算静力法利用静力平衡条件；机动法利用虚功原理.连续梁极限荷载的计算机动法利用虚功原理.,结构的极限荷载主要考点,复 习(),第九章 矩阵位移法,1、单元刚度矩阵的形式,2、转角方向的规定,是整体坐标系以按顺时针转至局部坐标系为正。,3、转换矩阵的形式,P-9.9 图示连续梁，各杆刚度为EI，忽略轴向变形，写出其整体刚度矩阵。, 连续梁单元的刚度矩阵.,解：, 单元定位向量., 单元集成整体刚度矩阵.,P-9.10 图示刚架，各杆刚度为EA、EI，写出其整体刚度
14、矩阵。,局部坐标系下的单元刚度矩阵.,解：, 单元定位向量., 整体坐标系下的单元刚度矩阵., 单元集成整体刚度矩阵.,F-9.4 计算图示连续梁的刚度矩阵K（忽略轴向变形影响）。,2,解：,分析：上述结构有四个位移，因此总刚矩阵为44阶。, 计算单元刚度矩阵：,1,3,4, 形成总刚矩阵：, 各杆单元定位向量：,F-9.7 试求图示刚架的等效结点荷载列阵。,解：, 计算综合等效结点荷载., 编总码.,直接等效结点荷载：,综合等效结点荷载：,固端力列阵：,间接等效结点荷载：,F-9.8 计算图示连续梁的结点转角和杆端弯矩。,解：,分析：总刚矩阵为2阶。,（1）计算单元刚度矩阵( ),（2）各杆
15、单元定位向量：,（3）形成总刚矩阵：,（4）计算等效结点荷载：,单元上无荷载，对单元有：,（5）解方程求位移：,可解得：,（6）计算杆端弯矩：,对单元有：,（7）弯矩图如下：,M图（kNm）,对单元有：, 局部坐标系下刚架单元的刚度矩阵.,例 试求图示结构总刚度矩阵中的元素k11、k22、k13，各杆EI相同（忽略轴向变形影响） 。,解： 定坐标系，编码., 单元定位向量., 所求元素., 整体坐标系下刚架单元的刚度矩阵.,1.单自由度体系的自振频率、自振周期：,3. 简谐动荷载作用在质量体上的相关计算,2.单自由度体系的自由振动的方程:,动荷载,动力系数,荷载幅值引起的静位移,第十章 结构动
16、力学,4.体系阻尼比的确定,5. 对强迫振动，阻尼起着减小动力系数的作用； 简谐荷载作用下有阻尼共振时的动力系数为:,6. 二自由度体系的自由振动刚度法,其系数行列式等于零:,频率的计算公式为:,第一主振型：,第二主振型：,7.二自由度体系的自由振动柔度法,其系数行列式等于零:,频率的计算公式为:,8.二自由度体系的自由振动主振型,解： 两个动力自由度，采用刚度法.,例 试求图示结构的频率和振型。, 计算刚度系数., 计算结构自振频率.,可解得：,例 试求图示体系的自振频率。,解： 两个动力自由度., 利用对称性，取半边结构，分解为两个单自由度体系.,因此：, 计算两个单自由度体系的自振频率.,谢 谢 大 家,
