1、第九章 常微分方程数值解,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,第二节 高精度的单步法,第三节 线性多步法,第四节 一阶微分方程组的解法,第五节 边值问题的打靶法和差分法,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距
2、节点，即取 hi = h (常数)。,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,数值解,(9-1),一、初值问题的数值解,求解(9-1)最基本的方法是单步法,单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的 ，是一种逐点求解的离散化方法。,典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:,例9-1:求解常微分方程初值问题,由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.,二、构造初值问题数值方法的基本途径,以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径,1. 数值微分法,用差商代替微商,1. 数值微分法,用差商代替微商,亦称为欧拉折线法,2. Taylor展开法,得
3、到Euler公式,忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式,3. 数值积分法区间,将 区间 积分,1、隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,三、Euler公式的改进及梯形公式,2、梯形公式 /* trapezoid formula */,- 显、隐式两种算法的平均,3、 中点欧拉公式 /* midpoint formula */,中心差商近似导数,2、梯形公式
4、 /* trapezoid formula */,4、改进的欧拉法 /* modified Eulers method */,Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出,Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到,此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,例9-2 用改进的Euler方法解初值问题,解：利用可得,四、单步法的误差分析和稳定性,1. 整体截断误差和局部截断误差,整体截断误差: 数值解 和精确解 之
5、差,整体截断误差除与 步计算有关外,还与 的计算有关.,分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:,其中 称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数,欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开:,欧拉法具有 1 阶精度。,类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度,改进的Euler方法具有2阶精度,2. 收敛性和整体截断误差,定义9-2 若某算法对于任意固定的 x = x0 + n h，当 h0 ( 同时 n ) 时有 yn y( xn )，则称该算法是收敛的。,例9-3：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xn = nh ，
6、有,关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理,定理9-1: 对IVP(9-1)式的单步法 若局部截断误差为 ,且函数 对y满足Lipschitz条件,即存在L0,使得,对一切 成立,则该方法收敛,且有,由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶,对改进的Euler法,于是有,设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得,限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.,3. 稳定性,一般分析时为简单起见，只考虑模型方程,常数，可以是复数,一般分析时为简单起见，只考虑模型方程,当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以
7、后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定， 的全体构成绝对稳定区域。我们称方法A 比方法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。,例：考察显式欧拉法的稳定性,例：考察梯形的稳定性,可见绝对稳定条件是：,显式欧拉法的稳定性条件是,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法好。,解：,两式相减，得,隐式欧拉公式是一阶方法,例：对于常微分方程初值问题 证明隐式欧拉公式 是一阶方法。,解：,隐式欧拉公式是一阶方法,第二节 高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、基本原理,Runge-Kutta法的一般形式,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,两点说明:,R-K方法的绝对稳定区域,五、变步长的龙格库塔方法,习题九：P350-5，8,
