1、1第一章 三角函数（ 授课时间大约一个月）4-1.1.1 任意角（1）教学目标：要求学生用“旋转”理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角，高考要求：了解任意角的概念，会表示“象限角” “终边相同的角”教学过程：一、情景引入 1、 背景引入：初中接触过三角函数，仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。2、实例引入：你的手表慢了 5 分钟，你怎么调？ 若快了 5 分钟又怎么调？三角函数也是高中数学的
2、一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。二、讲授新课1回忆：初中是怎么定义角的-（1）从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形初中定义概念的优点：是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”我们已接触了 0 360 角，直角、锐角、钝角、平角、周角.（2）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。把旋转引出来是高中课本的定义角的关键如图 1，一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB，就形成角 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边，OB 叫终
3、边，射线的端点 O 叫做叫 的顶点。 举例：1、在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体 720o” （即转体 2 周） ， “转体 1080o”（即转体3 周） ；2、如时钟快了 5 分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了 5 分钟，又该如何校正？ 逆时针旋转 300；顺时针旋转 300.3、比如（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。还有很多例子自己找。现实中的实例能使学生感到数学就在我们周围，数学是有用的，并不是很陌生，对数学的学习产生自信心。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出角的定义，
4、并研究这些角的分类及记法BO A图 1O A图 1BO A图 122.新课：角的概念的推广：定义和表示：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角3正角、负角、零角概念画图表示以 OA 为始边的角 =-150 0，=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。4.象限角A：今后的学习中，常在直角坐标系内讨论角,同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？ 老师给出定义学生思考：思考这么三个问题：注 1.定义中说：角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行，为
5、什么？注 2.定义中角的始边，角的终边含端点吗？注 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：给学生思考-后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点） ； 2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。要求：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生互动讨论：按照象限角定义，图中的 300，390 0，-330 0角，都是第一象限角；300 0，-60 0角，都是第四象限角；585 0角是第三象限角。师：（1）锐角是第一象限角吗？第
6、一象限角是锐角吗？为什么？师：（2）锐角就是小于 900的角吗？师：（3）锐角就是 0090 0的角吗？ 学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）420 0； （2）-75 0； （3）855 0； （4）-510 0.5.终边相同的角的表示法 画图说明师：观察下列角你有什么发现? 390 330 30 1470 1770师:请同学们思考为什么？能否再举三个与 300角同终边的角？生：图中发现 3900，-330 0与 300相差 3600的整数倍，例如，390 0=3600+300，-3300=-3600+3
7、00；与 300角同终边的角还有 7500，-690 0等。师：同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差 3600的整数倍。例如：750 0=23600+300；-690 0=-23600+300。那么除了这些角之外，与 300BO A3角终边相同的角还有：33600+300 -33600+30043600+300 -43600+300， ，由此，我们可以用 S=|=k360 0+300，kZ来表示所有与 300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角 ，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S=|=+k360 0，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的
8、和。6.例题讲评例 1 设 ，第 一 象 限 的 角 锐 角 ，的 角 小 于 GF9oE，那么有（ D ） A B C （ ） D 例 2 用集合表示：（1）各象限的角组成的集合 （2）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360 ok360 o+90o,kZ,其他学生自己写2）分析： 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 例 3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_|k360 o+120o ,kZ ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_45 o,225o_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_|k360 o45 o k3
9、60 o+120o ,kZ 图示题要求：认真观察，先找出边界所对应的角在表示数形结合思想的体现在直角坐标系中最常见三、课堂练习： （1）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角（2）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合； 终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合说明：例 4 在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几4象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1）老师讲解，要求书写格式。（2）学生实践（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；
10、负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大 1，以使余数为正值课堂练习： （1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_（2）集合 M=k ，kZ中，各角的终边都在（C ）o90A 轴正半轴上， B 轴正半轴上，C 轴或 轴上， D 轴正半轴或 轴正半轴上（3）设 ， C |= k180 o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_BD，CE_四.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，学习终边相同的角的表示法。5总结 1：判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第
11、几象限， 就是第几象限角。总结 2：判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：， 这种模式（ ） ，然后只要考查 的相关问题即可总结 3：数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法引申思考：1、若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；2、若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线五.作业:课本4-1.1.1 任意角（ 2）教学目标：进一步要求学生用“旋转”理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义
12、教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念高考要求：“象限角” “终边相同的角”的表示教学过程：一、复习师：推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。所有与 角终边相同的角的集合的表示法，板书S=|=+k360 0，kZ这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。二、例题选讲例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式-3600720 0的元素 写出来：（1）60 0； （2）-21 0； （3）363 014，6解：（1）S=|=60 0+k3600，kZS 中适合-360 0720 0的元素
13、是600+（-1）360 0=-3000 600+03600=600 600+13600=4200.（2）S=|=-21 0+k3600，kZ S 中适合-360 0720 0的元素是-210+03600=-210 -21 0+13600=3390 -210+23600=6990说明：-21 0不是 00到 3600的角，但仍可用上述方法来构成与-21 0角终边相同的角的集合。（3 说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。例 2写出终边在下列位置的角的集合(1)x 轴的负半轴上；（2）y 轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即 ，然
14、后在后面加上 k3600即可。解：（1）在 0 360 间，终边在 x 轴负半轴上的角为 1800，终边在x 轴负半轴上的所有角构成的集合是|=180 0+k3600，kZ （2）提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：S1=|=90 0+k3600，kZ =|=90 0+2k1800，kZ （1）S 2=|=270 0+k3600，kZ =|=90 0+1800+2k1800，kZ =|=90 0+（2k+1）180 0，kZ （2）师：在（1）式等号右边后一项是 1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是
15、 1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为 1800的所有整数倍， （1）式和（2）式可统一写成 900+n1800（nZ） ，故终边在 y轴上的角的集合为S= S1S 2 =|=90 0+2k1800，kZ |=90 0+（2k+1）1800，kZ =|=90 0+n1800，nZ 处理：师生讨论，教师板演。提问：终边落在 x 轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（思考后）答：|=k180 0，kZ ,|=k90 0，kZ 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？答：|=45 0+n1800，nZ 推广：|=+k180 0，kZ ， 有
16、何关系？（图形表示）处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。例 1 若 是第二象限角，则 ， ， 分别是第几象限的角？23师： 是第二象限角，如何表示？解：（1）（2） ，)(901824580Zkkk 处理：先将 k 取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3） ，再归纳出以下规律：7当 时， ， 是第一象限的)(2Znk )(9036245360Zkn 2角；当 时， ， 是第三象)(1 )(7n 限的角。 是第一或第三象限的角。2说明：配以图形加以说明。在此了解整数的分类。若是 ，如何考虑,34L所在象限？,34（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。
17、（ 是第一或第二或第四象限的角）进一步求 是第几象限的角（ 是第三象限的角） ，学生练习，教师校对答案。三、例题小结1要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；2要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以 k 取不同的值讨论型如=a+k120 0（kZ）所表示的角所在的象限。四、课堂练习练习 2 若 的终边在第一、三象限的角平分线上，则 的终边在 y 轴的非负2半轴上.练习 3 若 的终边与 600角的终边相同，试写出在（0 0，360 0）内，与 角的3终边相同的角。 （20 0，140 0，260 0）（备用题）练习 4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角的集合，
18、并指出-950 012， 是否是该集合中的角。（| 120 0+k3600250 0+k3600，kZ；是）可补充试题探究活动 经过 5 小时又 25 分钟，时钟的分针、时针各转多少度？五、作业A 组: 1与 终边相同的角的集合是_，它们是第_象限的角，其中最小的正角是_，最大负角是_ 2在 0o360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）265 （2）1000 o （3）843 o10 （4）3900 oB 组3写出终边在 x 轴上,直线 y=x 上，直线 y=-x 上的角的集合。4写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式1200 yOx25008360 o360 o 的元素写出来：(1)60o (2)75 o (3) 824 o30 (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o C 组： 5、若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？6、角的终边在 y=x 上与角的终边在 y=-x 上，这样的角它的终边有何对称关系？你还能找出这样的角吗？
