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运筹学第7章 图与网络分析(精简).ppt

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资源描述

1、第7章 图与网络分析,主讲人:晋琳琳 jinlinlin_,引例,哥尼斯堡七桥问题,环球旅行问题:,环球旅行问题的解,另一个著名的问题: 中国邮路问题,第1节 图与网络的基本知识,图可以用来做什么: 管理当中,事物及事物间的联系可以用图来描述,五只球队的比赛情况,工作分配问题,图已经应用于物质结构、交通、信息传递等的描述,图与网络的基本概念(1),图:这里讨论的图由点以及点与点间的连线构成,与平面几何的图不同,这里只关心图中有多少个点,点与点间有无连线,至于点与点间的连线是直线还是曲线,点的相对位置,则是无关紧要的。,图与网络的基本概念(2),定义1 一个图是由点集V=vi和V中的元素的无序对

2、的一个集合E=ek所构成的二元组,记为G=(V, E),V中的元素vi叫做顶点,E中的元素ek叫做边。,V=v1,v2,v3,v4,v5 E=e1,e2,e3,e4,e5,e6,e1=(v1,v1), e2=(v1,v2),例,图与网络的基本概念(3),相邻:图中的两点间存在连线(边),则称这两点相邻,并称它们是这条边的端点;若两条边有公共的端点,则称这两条边相邻,并称它们是其公共端点的关联边。,边数:m(G)=|E| 顶点数:n(G)=|V|,图与网络的基本概念(4),无向边与无向图:若图中任一条边的端点无序,即(vi, vj)与(vj, vi)是同一条边,则称它为无向边,此时图称为无向图。

3、 有向图:若图中边(vi, vj)的端点是有序的,则称它是有向边(或弧),vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点,相应的图称为有向图。,图与网络的基本概念(5),v2,v1,v5,v3,v4,e2,e1,e3,e4,e5,e6,环(自回路),多重边,定义2 不含环和多重边的图称为简单图。含多重边的图称为多重图。,简单图,图与网络的基本概念(6),定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图;有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。 有n个顶点的无向完全图记作Kn 完全图顶点数n与边数m间有如下关系: m=n(n-1)/2,图与网络的基本概念(7),定义4 图G=(V

4、, E)的点集V可以分为两个非空子集X,Y,即X Y =V,X Y=,使得E中的每条边的两个端点中必有一个属于X,另一个属于Y,则称G为二部图(偶图),有时记为G=(X, Y, E),图与网络的基本概念(8),定义5 以v为端点的边数,叫做点v的次(degree),记作deg(v), 或简记为d(v)。,d(v1)=4,d(v2)=3,悬挂点,孤立点,悬挂边,偶点,奇点,图中顶点次的性质,定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。,定义6 在有向图中,以顶点v为始点的边数称为顶点v的出次,记为d+(v);以v为终点的边数称为v的入次,记为d-(v

5、)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。,图与网络的基本概念(10),有时需要用图来表示事物及事物之间的定量的联系,这时图中除了顶点与边外,还有与点或边有关的某些数量指标,常称它们为“权”,权在图中可以表示距离、费用、通过能力等。这种点或边带权的图称为网络(或赋权图),连通图(1),定义8 无向图中一个点、边交错的序列,序列中的第一个和最后一个元素都是点,若其中每条边以序列中位于它之前和之后的点为端点,则称这个点边序列为图中连接其第一个点与最后一个点的链。链中所含的边数称为链长。,链,但只是简单链而非初等链,简单链:没有重复边;初等链:既无重复边也无重复点。对有向图可类似定义链,如果各边的方向

6、一致,则称为道路。,连通图(2),定义9 若在无向图中,一条链的第一个点与最后一个点重合,则称这条链为圈。只有重复点而无重复边的圈为简单圈,既无重复点又无重复边的圈为初等圈。,初等圈,非简单的圈,连通图(3),道路(边的方向一致),不是道路,连通图(4),定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连,则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图,每一个称为原图的一个分图。,连通图,非连通图,欧拉回路(1),定义13 连通图G中,若存在一条道路,经过每边一次且仅一次,则称这条道路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次也仅一次,则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图(E

7、图)。,定理3 无向连通图G是欧拉图,当且仅当G中无奇点,欧拉回路(2),推论1 无向连通图G为欧拉图,当且仅当G的边集可以划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G中有欧拉道路,当且仅当G中恰好有两个奇点。,A,B,C,D,哥尼斯堡七桥问题无解,一笔画问题,可否一笔画?,日 中 田 目,可否一笔画?,欧拉回路(3),定理4 连通有向图G是欧拉图,当且仅当它的每个顶点的出次等于入次。 连通有向图G有欧拉道路,当且仅当这个图中除了两个顶点外,其余每个顶点的出次等于入次,且这两个顶点中,一个顶点的入次比出次多1,另一个的入次比出次少1。,树树的概念,定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中次为

8、1的点称为树叶,次大于1的点称为分枝点。,树树的性质,定理6 T=(V, E), |V|=n, |E|=m, 则下列关于树的说法是等价的。 (1)T是一个树(即T是不含圈的连通图),树树的性质,(2)T无圈,且m=n-1,树树的性质,(3)T连通,且m=n-1,树树的性质,(4)T无圈,但每加一新边就得到唯一的一个圈,T是边数最多的无圈图,树树的性质,(5)T连通,但任舍去一边就不连通,T是边数最少的连通图,树树的性质,(6)T中任意两点有唯一一条链相连,图与网络的基本概念,定义7 图G=(V, E), 若E是E的子集,若V是V的子集,且E中的边仅与V中的顶点相关联,则称G = (V, E)为

9、图G的一个子图,特别地,若V =V, 则称G为G的一个生成子图(支撑子图)。,生成树概念,定义15 若图G的生成子图是一棵树,则称该树为图G的生成树(支撑树),或简称为图G的树。,定理7 图G有生成树的充分必要条件是图G是连通的,生成树解法(1),避圈法,这种方法是每步从连通图中选出一条边,使得它与已经选出的边不构成圈,直到选够n-1条边为止。,一个图的生成树不是唯一的。,避圈法的另一种表述,先去掉图G中所有边,只留下点,每次任意放回一条边,使之与已经放回的边不构成圈,反复进行,直到有(n-1)条边为止。,5个顶点, 4条边,生成树解法(2),破圈法,这种方法是每步从连通图中选一个圈,并去掉该

10、圈的一条边,直到图中不含圈为止。,破圈法,/,/,/,/,最小生成树概念,定义16 连通图G=(V, E), 每条边上有非负权L(e),一棵生成树上各边的权之和,称为这棵生成树的权,具有最小权的生成树,称为最小生成树(最小支撑树),简称最小树。,例如 如何用造价最省的电话线网将各有关单位连起来的问题,就归结为求最小生成树的问题。,3,5,4,3,6,7,1,2,4,非最小树,最小生成树解法1(Kruskal算法),避圈法: 这种方法每步从图中挑选一条边,满足:(1)它与已经选出的边不构成圈;(2)它是满足条件(1)的权最小的边,直到选够n-1条边为止。,9个顶点,8条边,避圈法另一种表述,先去

11、掉图G的所有边,只留下顶点,每次放回一条权最小的边,使之与已经放回的边不构成圈,反复进行,直到有(n-1)条边为止。,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,4,2,3,3,1,6个顶点,5条边,最小生成树解法(2),破圈法: 这种方法每步从图中任选一个圈,然后去掉该圈中权最大的边,直到图中没有圈为止。,1,4,1,2,1,3,1,4,4,5,5,3,2,4,5,2,9个顶点,8条边,破圈法举例,最小生成树的权= 9,/,/,/,/,破圈法举例,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,9,4,8,2,3,3,3,7,9,1,6个顶点,5条边,最短路问题,最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之

12、一,许多优化问题,如设备更新、管道铺设、线路安排等都可以化为最短路问题求解。 最短路问题的提法:设G=(V, E)为连通图,图中的各边(vi, vj)有非负权lij (lij=表示vi, vj间无边), vs, vt是图中任意两点,求一条道路,使它是从vs到vt的所有道路中总权最小的道路。,Dijkstra算法,原理:若(vs, v1, , vn-1, vn)是vs到vn的最短路,则(vs, v1, , vn-1)是vs到vn-1的最短路。 思路:采用标号法。使用两种标号,T标号和P标号,一个点的P标号是永久性标号,表示起点到该点最短路的权,它一旦给出就不再改变;而点的T标号是临时性的标号,表

13、示对起点到该点最短路的权的估计值,当得到更精确的估计值时要修改原来的T标号,此外算法的每一步要把某一个点的T标号改成P标号,当得到终点vt的P标号时算法结束。,Dijkstra算法步骤,第一步:给vs点P标号P(vs )=0, 其余点T标号T(vi)=+ 第二步:若vi为刚获得P标号的点,则修改以vi为起点的各边终点的T标号为下两个数中的较小者:一个是vi的P标号与该边权之和,另一个是该终点原来的T标号。 第三步:取所有具有T标号的点中T标号值最小的点,将其T标号改为P标号。若本次得到P标号的点为终点,算法终止,否则返回上一步。,例,给起点P标号0,其余点T标号(在下面的求解过程中,粉色的数字为P标号),修改以刚获得P标号的点为起点的边的终点的T标号;然后将最小的T标号改成P标号,4,6,5,4,4,7,7,9,6,5,5,4,1,0,4,9,6,8,最短路线见图,Dijkstra算法的适用条件: 1、用于赋权有向图。对于赋权无向图的处理 2、权数 wij 0,

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