1、第三章 离散系统的时域分析,连续系统与离散系统的比较,连续系统,常系数线性微分方程 卷积积分,离散系统,常系数线性差分方程 卷积和,LTI离散系统的响应单位序列和单位序列响应卷积和,本章要点：,差分与差分方程前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解 零输入响应和零状态响应,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,1、前向差分与后向差分,一阶后向差分,一阶前向差分,2、前向差分与后向差分的关系,3、差分方程的一般形式,将各阶差分写为y(k)及其各移位序列的线性组合：,常系数差分方程，用来描述LTI离散系统； 变系数差分方程
2、,1、用迭代法求差分方程的数值解 差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解 当差分方程阶次较低时可以使用此法,二、差分方程的解,例3.11 若描述某离散系统的差分方程为,已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k),解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得,对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得,依次迭代可得,特点：便于用计算机求解,例3.11,若单输入-单输出的LTI系统的激励为f(k),全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可
3、写为：,2、差分方程的经典解,解由齐次解和特解两部分组成：,1）齐次解：齐次方程,的解称为齐次解.,它的n个根i（i=1,2, ,n)称为差分方程 的特征根,令y(k)=Ck,均为单实根时的齐次解：1为r重根，其余(n-r)为特征单根：有一对共轭复根1 、2=a+jb Yh(k)=kCcos(k)+Dsin(k) （其中=arctan(b/a)，=(a2+b2)1/2,几种典型激励函数相应的特解,激励函数f(t),响应函数y(t)的特解,选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。,3）全解,代入初始条件求出待定系数Ci ，于是得到完全解的闭式 见书P88,解：方程的特征方程为,例
4、3.1-2,若描述某系统的差分方程为,已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解,特征根为1 22，为二重根，齐次解为,由题意，设特解为,将yp(k)代入到原方程得,全解为：,将已知条件代入，得C11,C2=1/4,自由响应,强迫响应,1、解形式,零状态响应，仅由激励引起,零输入响应，激励为零时的响应,三、零状态响应和零输入响应,当特征根均为单根时，有：,czii 由初始状态决定，czsi由激励决定，且ci=czii+czsi,由于yzs(k)为零状态响应，k0时激励还没有接入，所以有： yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0而，y(k)=yz
5、i(k)+yzs(k)，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n)-系统的初始状态,2、求初始值,初始值：y(0),y(1)y(n-1) 可由差分方程推出,例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为,已知f(k)=0,k0,初始条件y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应,解：零输入响应满足,初始状态：,求初始值,差分方程的特征方程为：,齐次解为：,将初始值代入得：,作业P110 3.6 (2) (5),3.2 单位序列和单位序列响应,一、离散系统的零状态响应 二、复习离散信号有关知识三、单位序列和单位阶跃序列四、单位序列响应和阶跃响应,一、
6、离散系统的零状态响应,零状态响应： 当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应。用yzs(k)表示，满足如下方程：,若特征根均为单根，则有,Czsj为待定系数，yp(k)为特解。,例3.1-5，若描述离散系统的差分方程为,注意：零状态响应的初始状态yzs(-1), yzs(-2), yzs(-n)为零，但其初始值yzs(0)， yzs(1)， yzs(2)，, yzs(n-1)不一定为零。,其中，f(k)=2k,k0,求该系统的零状态响应。,解：零状态响应满足,下一步？,令k=0,1，并将初始状态值代入，得,由（1）式可求得解为：,方程的特征根为1-1, 2-2,所以有：,将初始值代入
7、，可求得,小结：一个初始状态不为零的离散系统，在外加激励的作用下，其完全响应为,若特征根都为单根，则全响应为：,齐次方程解的形式？,二、基本离散信号,定义：连续信号是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f (tk)。 离散信号表示： （a）图形表示：,（tkt(k1)） 在图a中为变数；在图b，c中为常数,（b）解析表示：,三、单位序列和单位阶跃序列,1. 单位序列（单位脉冲序列或单位样值序列）：,位移单位序列：,加： (k) +2 (k) 3(k),运算：,乘： (k) (k) = (k),延时：,0,取样性质：f (k) (k) =
8、 f (0) (k),2. 单位阶跃序列： (k),(1)定义：,(2)运算：,3) (k)与(k)的关系：(k)=(k)= (k)- (k-1) 差分表示，对应的微分(t)=d(t)/dt(k)= 对应的是连续系统的积分,式中，令 i=k-j,则当 i=-时，j= ;当 i=k时，j=0,故,四、单位序列响应和阶跃响应,单位序列响应 当LTI离散系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应为单位序列响应，用h(k)表示。和连续系统的h(t)相类似。 求h(k)的方法：解差分方程；z变换法（第六章） 由于(k)仅在k=0时等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应
9、的函数形式相同。 因此，求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。,例题,例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,见书p96,（2）h(k)满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(-1)=h(-2)=0(3)求初始值：用迭代法h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k)h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 (4) k0时, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0h(k)=c1(-1)+c2(2)h(0)=c1+c2=1 ； h(1)=-c1+2c2=1 得 c
10、1=1/3;c2=2/3 所以,（1）列写差分方程： y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),阶跃响应：g(k)1).定义：g(k)=T0, (k) 2).h(k)与g(k)的关系：,经典法;由h(k)求出 例：同例3.2-1经典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k)g(-1)=g(-2)=0对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1齐次解：gn(k)=c1 (-1)k +c2(2)k 特解：gp(k)=p0=- ,求g(k)的方法,g(k)= c1 (-1)k + c2(2)k - k0,见书P87，表32,g(-1)= -c1+2c2- =0g(-2)=
11、c1+ c2- =0所以：c1 =1/6; c2=4/3,利用h(k)求g(k):,g(k)=1/6 (-1)k + 4/3(2)k - (k),3.3 卷积和,1. 卷积和的定义:f(t) yzs(t)=h(t)*f(t)(t) h(t)f(k) yzs(k)=h(k)*f(k)(k) h(k),f(k）的分解：k=-2, f(-2)* (k+2)k=-1, f(-1)* (k+1)k=0, f(0)* (k)k=1, f(1)* (k-1) k=i, f(i)* (k-i),3.一般定义:,i:求和变量 ：-+ ；k:参考量：-+,3.3 卷积和,1 .序列的时域分解 任意离散序列f(k)
12、 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + ,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变 量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,例题,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h
13、(k),当i k时，(k - i) = 0,这种卷积和的计算方法称为：解析法。,例2 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即,证: 先计算x(k)*y(k)，考虑到(k)的特性，有,再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得,求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。,所以,例3：求 (k) * (k),解：,例4：求ak (k) * (k 4),解：,考虑到(i)的特性，可将上式表示为,例 设f1(k)=e-k( k
14、)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。,解 由卷积和定义式得,显然，上式中k0，故应写为,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为i得f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。,例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,（1）换元 （2） f2(i)反转得f2( i) （3） f2(i)右移2得f2(2i) （4） f1(i)乘f2
15、(2i) （5）求和，得f(2) = 4.5,解：画出f1(i),f2(i),f2(-i),?,列表法求卷积和,f(k) =f1(k)*f2(k)= f1(i)f2(k-i),序号：i+k-i=k,f(k),卷积和长度: N=L+M-1 (L+M是原序列长） 见书p104,四、卷积和的性质,1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0),4. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 求卷积和是本章的重点,与 (k) 卷积和:,证明:,(或用图形卷积法证明),三个LTI系统响应相同,例子,?例示：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：,(1),x(n),y(n),(2),已知系统（1）的h1(n)=(n),系统（2）h2(n) (n)- (n-1),求系统（1）的输出y1(n)、系统（2）的输出y2(n)以及系统输出y(n),系统（1）和系统（2）单独分开，系统（1）的输出,设系统（2）的输入为x(n),输出为y2(n),有,可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若将系统1和系统2级联成一系统，有,系统输出为,恒等系统,
