1、平面向量数量积及其应用,知识回顾,知识回顾,1定义：平面内两个非零向量的数量积（内积）的定义 = 向量夹角的概念：平移两个非零向量使它们起点重合，所成图形中0180的角称为两个向量的夹角 规定 与任何向量的数量积为0,2向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积 3两个向量的数量积的性质：设 ， 为两个非零向量， 是单位向量， 是 与其它向量的夹角 （1） ； （2） ； （3） 特别的 或 ； （4） = ；,（1）设 则 = （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量 = 0 （注意与向量共线的坐标表示区别）,4.平面向量数量积的坐标表示：,（
2、1） （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量 = 0 （注意与向量共线的坐标表示区别）,5.平面向量数量积的应用 （1）把几何学问题转化为向量问题 ：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向量等 （2）把物理学问题转化为向量问题 ：数学中的向量就是物理中的矢量，所以利用向量可以解决物理学问题,例一 .,解：,=,=1-,设向量 ， ， 是单位向量，且 =0 ， 求 的最小值,例一.数量积一第9题,思考：设向量 是两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 =0，求 的最大值.,答案：,小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大家平时在学
3、习时不妨用这个方法给自己出出题，以更好的理解知识点.,例二.（数量积一第15题第2问）,已知 且向量 与 的夹角为 ，试 求 的取值集合，使（ ）与（ ） 的夹角为钝角,例二.数量积一第15题第2问,分析：两向量 的夹角公式为则当两向量的夹角为钝角时有-1 0,解右边不等式可得 0,但左边不等式解答比较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情况，即去掉两向量平行的情况，所以本题的解答如下：,由题意： （ ）（ ）0 且（ ）与（ ）不平行 即 且 且 且 ,思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？,小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于化繁为简，有时，稍作变动就
4、能大大简化计算，使问题得以更好的解决.,例三. 数量积二第10题,已知向量 = ，向量 = ，求 的最大值.,解法一（代数方法）,例三.数量积二第10题,解法二（几何方法）,x,y,o,B,如图，用 表示 ， 以O为圆心，2为半径作圆，则2 可看成以O为起点，终点在圆O上的向量，由向量减法的几何意义可知答案为4,小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合可使问题的解决更加方便,例四.数量积二第15题,已知： ，存在实数 和 ，使 得 ，且 ，试求 的 最小值。,分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示，转变为关于其中一个字母的函数来处理 .,解答
5、如下: 由条件得： ， ，由 ，得=0，即=0，则有 则 = 则当 =-2时， 有最小值,小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都稍作化简，联系“已知的是什么?”,“所求的是什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题往往从（1）基本不等式（2）等量代换这两个方面去考虑.,例五 .向量应用第10题,在 中， 为中线 上的一个动点，若=2，求 的最小值,A,B,C,M,O,分析：如图，因为 为 的中点，所以 , 则本题可转化成两个反向 向量数量积的最小值问题， 解答如下：,=
6、2 =-2 由基本不等式，得 =1 , 所以，所求最小值为-2,小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利于计算.,例六 .向量应用第15题,给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 . 如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,求 的最大值 .,O,A,B,C,分析：因为三个向量的模均为1，且已知 与 的夹角，所以，本题可以考虑利用向量数量积将向量转化为实数，同时可将 用三角函数表示出来，解答如下：,设 ，则有即 ，则,小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为实数计算，从而有利于问题的解决.,小结,小结：,平面向量数量积是高考的重点考察内容，直接考察的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以填空题的形式出现，在解题时除了要熟练掌握基本知识外，也要注重利用数形结合解决问题。,
