1、1,模糊集理论及其应用,陈水利厦门 集美大学 理学院,2,第一章 模糊集合及其运算,1.1 经典集合与特征函数( P34)1.2 模糊集合与隶属函数( P511)1.3 模糊集合的运算( P1214)1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P1524),3,5,10,15,3,第一章 模糊集合及其运算,所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体设 为所讨论对象的全体，称之为论域显然，论域 是一个集合论域 中的每个对象 u 称为 的元素如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经典集合.设 A 为论域上的一个集合，则 u， uA or uA ，二者必居且仅居其一这种关系可用如下二值函数表示之：
2、A ： 0，1， 1， uA u A ( u ) =0， uA 称 A 为集合A的特征函数反之，给定一个二值函数 A ： 0，1， u A ( u ) 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = u， A ( u ) = 1 ,1.1 经典集合与特征函数,1.1 经典集合与特征函数(1/2),目 录,4,由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是一一对应的 由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够
3、刻划模糊现象和解决模糊性问题。,1.1 经典集合与特征函数(2/2),目 录,5,1.2.1 模糊集合的定义为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与控制论专家，California 大学 Buckely 分校.adeh 教授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下:定义1.2.1 设 为论域，则称由如下实值函数A ： 0，1 ， u A ( u ) 所确定的集合 A 为 上的模糊集合，而称A 为模糊集合A 的隶属函数，A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。,1.2 模糊集合与隶属函数,1.2 模糊集合与隶属函数(1/5),目 录,6,由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念，
4、其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数A来认识和掌握 A A(u)的数值的大小反映了论域 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而(u)的值越接近于，表示u隶属于 A 的程度越低特别地， 若A(u) =，则认为u完全属于A ； 若A(u) =，则认为u完全不属于A因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合 换言之，模糊集合是经典集合的推广。,7,若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合的全体，则P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集，而称F ( U )为U 的模糊幂集
5、。由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达，故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即 A(u) A(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加区分,1.2 模糊集合与隶属函数(2/5),目 录,8,1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U =u1 , u2 , , un，则 A F ( U ) 可表示为这里 不表示为“分数”，而是表示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ；符号“+”也不表示加号，而是一种联系符号。,1.2.2 模糊集合的表示方法,1.2 模糊集合与隶属函数(3/5),目 录,9,例1.2.1：设U =u1 , u2 , u3 , u4 ,
6、 u5 ，则表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。,10,(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶属度对应关系的一个总括。例1.2.2 以年龄作为论域，取U =0，200， Zadeh给出“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为用Zadeh表示法就是,1.2 模糊集合与隶属函数(4/5),目 录,11,1.2.2 模糊集合的表示方法2. 向量表示法当论域U
7、 =u1 , u2 , , un 时， A F ( U ) 也可用如下向量来表示：A=(A(u1 ) ，A(u2)， ，A( un) (1-2-3)例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56)由于A( ui ) 0,1(i=1，2，n )，故称式(1-2-3)所示的向量为模糊向量。,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,12,1.3.1 经典集合的运算及其性质由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如下：定义1.3.1 设 A,B P ( U )，则( i ) A B iff uU
8、 , A(u) B(u);( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u);(iii) AB: uU , AB (u) = max A(u) ,B(u);(vi) AB: uU , AB (u) = min A(u) ,B(u);( v) A: uU, A(u) = 1A(u) .利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.,1.3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,13,1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设 A , B , C P ( U )，则 (1) 幂等律：AA =
9、A , AA = A ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ),( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ),A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB ) = AB , ( AB ) = AB ; (9) 排中律(互补律)： AA =
10、U , AA = . 由此可见， (P ( U ) , , , )构成一个布尔代数。,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,14,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),1.3.2 模糊集合的运算及其性质由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出发，引入模糊集合的运算如下：定义1.3.2 设 A , B F ( U ) , 则( i ) A B iff A(u) B(u) , uU ;(ii ) A = B iff A(u) = B(u) , uU ;(iii) AB :
11、 (A B) (u) = max A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ; ( v ) AB : (A B) (u) = min A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ;( vi) A: A(u) = 1A(u) , uU .如下图所示:,目 录,15,例1.3.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 时， A,B F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则(i) AB且 B A, A B(ii) AB =(0.80.2, 0.90.5, 0.30.6, 0.60.2)=(0.8, 0
12、.9, 0.6, 0.6)(iii) AB =(0.80.2, 0.9 0.5, 0.3 0.6, 0.6 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2)(vi) A =(10.8, 1 0.9, 1 0.3, 1 0.6)=(0.2, 0.1, 0.7, 0.4)类似于定理1.3.1,模糊集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即,目 录,16,定理1.3.2 在(F( U ), , , )中,幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：AA = A , AA = A
13、 ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ),( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ),A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB ) = AB , ( AB ) = AB. 但是, AA U, AA ,17,例如: 设A=(0.8,
14、0.3, 0.7, 0.5), 则A =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A A =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5)(1, 1, 1, 1)= U A A =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) (0, 0, 0, 0)= 由此可见, (F( U ), , , )不构成一个布尔代数,而是构成一个软代数系统, 称之为模糊格(Fuzzy Lattice),18,注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到一般情形. 即设T为任意给定的指标集, tT, A, B F( U ), 则 (tT At)(u)=tTAt(u); (tT At)(u)=tTAt(u).注1.3.2 上述
15、介绍的模糊集合的并、交运算(, )是有Zadeh提出的, 称之为模糊格运算,它是经典集合格运算的直接推广. 然而, 推广的方式不是唯一的. 可以有多种推广方式, 例如:,目 录,19,20,1.4 模糊集合的分解定理与表现定理1.4.1 模糊集合的截集定义1.4.1 设A F( U ), 任取0,1,记A=uU|A(u),AS=uU|A(u). 分别称A和AS为模糊集合A的截集和强截集, 而称为阀值或置信水平.例1.4.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 ，A F( U )且A=(0.6, 0.3, 0.5, 0.8) , 求A0.5 , AS0.5解: A0.5=uU|A(u)0
16、.5 =u1 , u3 , u4 AS0.5=uU|A(u)0.5 =u1 , u4 ,目 录,21,例1.4.2 设U=(, ), A F( U )且 求A和AS,这里0,1解: 因对0,1,有,目 录,22,定理1.4.1 设AF( U ), 则(1) 0,1, AS A ;(2) A0=U , AS1 =;(3) 1 , 20,1且12 , A2 A1 ;(4) 1 , 20,1且12 , AS2 AS1 .此定理表明:(i) AS 是A的子集;(ii) A的截集族A0,1和强截集族AS 0,1都是一个套着一个的经典集合族.,目 录,23,定理1.4.2 设A,BF( U ), 0,1,
17、则(1) (AB)=AB; (2) (AB)=AB; (3) (AB)S=ASBS; (4) (AB)S=ASBS.证明:(1) uU , u(AB) , iff (AB)(u)iff A(u)B(u), iff A(u) or B(u),iff uA 或 uB , iff uA B (AB)=AB同理可证(2)(4).但对于无限个模糊集的情形, 结论(1)和结论(4)一般不成立,即有,24,定理1.4.3 设T为任意指标集, tT, At F( U )则(1) (tTAt)tT (At); (2) (tTAt)=tT (At);(3) (tTAt)S=tT (At)S; (4) (tTAt)
18、StT (At)S.,目 录,25,证明: (1) uU, utT (At) t0T,使 u(At0) t0T,使(At0)(u)tTAt(u) At0(u) u(tTAt)tT (At) (tTAt)同理可证(2)(4).,26,定理1.4.4 设AF( U ), T为任意指标集, 且tT, t0,1, 则(1) A(tTt)=tT At ; (2) AS(tTt)= tT ASt;(3) 0,1, (A) =(AS(1-); (4) 0,1, (A) S =(A1-) .,27,证明: (1)uU, uA(tTt) A(u) tT t tT, A(u) t tT, u At u tTAt
19、A(tTt)=tT At(3) uU, u (A) A(u) 1A(u) A(u)1 A(u)1 uAS(1-) u(AS(1-) (A) =(AS(1-)同理可证(2)和(4).,28,注1.4.1: (A) =(A)一般不成立.例如: 取U=0,1, A(u)=0.5,uU,则A =A,对=0.3,有(A)0.3= U =A0.3,从而(A 0.3) =,故(A)0.3 (A 0.3).,目 录,29,1.4.2 正规模糊集在实际应用中, A1和AS0这两个截集很有用, 我们分别称A1和AS0为A的核和支集, 分别记作 kerA=uU|A(u)=1 和 suppA=uU|A(u) 而称AS
20、0A1为A的边界,记作 bonA=uU|A(u)0且A(u)1,30,定义1.4.2 设AF( U ),如果kerA,则称A为正规模糊集.例如: 设U =u1 , u2 , u3 , u4 , A, BF( U ),A=(0.8,1,0.6,0.2), B=(0.3,0.5,0.9,0.2), 则kerA=u2, kerB= , 故A是正规模糊集, 而B不是正规模糊集.由此可见, A的核kerA是完全属于A的元素所构成的,随着由1向0递减变化, A从kerA出发不断扩大,最终达到最大集合suppA.而A的边界bonA则是介于完全属于A和完全不属于A的元素的全体,称之为A的”灰色”地带.,31,
21、1.4.3 分解定理,() 数与模糊集的截积运算定义1.4.3 设0,1, AF( U ),则与A的截积(记作A)定义为(A)(u)=A(u),uU.其中由此可见, A仍为U的模糊集合.特别地, 若A为经典集合, 则A就变为模糊集合, 这是因为,目 录,32,() 分解定理定理1.4.5 (分解定理)设AF( U ), 则A=0,1A (1-4-1)证明: 根据模糊集合的相等运算, 我们只需证明uU,有A(u)=0,1 A(u) 事实上，因为A(u) 0,1,故0,1 A(u)= 0, A(u) A(u) (A(u),1 A(u) ,33,注意到所以0,1 A(u)= 0, A(u) A(u)
22、 = 0, A(u) 1 = 0, A(u) = A(u).由此可得一个求A的隶属函数的公式如下:推论1.4.1 设AF( U ), 则A的隶属函数为A(u)=0,1| u A (1-4-2),目 录,34,同理可证如下结论.定理1.4.6(分解定理)设AF( U ),则A=0,1AS (1-4-3)推论1.4.2 设AF( U ),则A的隶属函数为 A(u)=0,1| u AS, uU (1-4-4),35,更一般地, 我们有如下结论.定理1.4.7(分解定理)设AF( U ) ,令集值映射H:0,1P( U ) H()满足:0,1, AS H() A, 则(1) A=0,1H() (1-4
23、-5)(2) 对1,20,1, 12 H(1) H(2);(3) 0,1,有A = H() (1-4-7),目 录,36,推论1.4.3 设AF( U ),则A的隶属函数可由下式给出A(u)=0,1| u H(),uU. (1-4-8)显然,当H()= A时,分解定理就退化为分解定理, 当H()= AS时, 分解定理就退化为分解定理,因此, 分解定理是分解定理和分解定理的推广.,37,注1.4.2: 分解定理表明:任何模糊集A都可分解成一个套着一个的经典集合族与0,1中所有实数的截积之并.下面的表现定理则表明:任何一个套着一个的经典集合族都可构造出一个模糊集.,38,1.4.4 表现定理().
24、集合套定义1.4.4 设H:0,1P( U ), H()为一个集值映射,若H满足12 H(1) H(2),则称H为U上的一个集合套.记U( U )为论域U上的集合套的全体.显然,分解定理分解定理的集合族 A0,1,AS0,1和H()0,1 都是U上的集合套.,目 录,39,定理1.4.8(表现定理) 设H为U上的任一集合套, 则A=0,1H()F( U ) 且0,1, 有(1) A = H(),40,注1.4.3: 表现定理给我们一个集合套构造模糊集合的方法, 即设H U( U ), 则 A=0,1 H()的隶属函数为A(u)=0,1| u H(),uU.,41,例1.4.1 设U =u1 ,
25、 u2 , u3 , u4 , u5,给定U上一个集合套H如下:=0: H() =u1 , u2 , u3 , u4 , u5 00.2: H() =u2 , u3 , u4 , u50.2 0.5: H() =u2 , u4 , u50.5 0.8: H() =u2 , u40.8 1: H() =u4 试求A=0,1 H().,目 录,42,解: A(u1)=0,1| u1 H()=0A(u2)=0,1| u2 H()=0, 0.8 =0.8A(u3)=0,1| u3 H()=0, 0.2) =0.2A(u4)=0,1| u4 H()=0, 1 =1A(u5)=0,1| u5 H()=0,
26、 0.5 =0.5 A=(0, 0.8, 0.2, 1 , 0.5),43,1.5 模糊性的度量 定义1.5.1 设映射D: F(U) 0,1 满足下列5条性质: 1)清晰性:D(A)=0,当且仅当A P(U) 2)模糊性: D(A)=1,当且仅当u U, A(u) =0.5 3)单调性:若u U, A(u) B(u) 0.5,或者A(u) B(u) 0.5,则D(A) D(B) 4)对称性: A F(U) , D(A)= D(A) 5)可加性： D(AB)+ D(AB)= D(A)+D(B)则称D为定义在F(U) 上的模糊度函数，称D(A) 为模糊集A的模糊度。,44,1.5.1有限论域上的
27、模糊度 定理1.5.1 设 U =u1 , u2 , , un,考虑映射D: F(U) 0,1A D(A)=g( ci fi ( A(ui) )其中ci为正实数，而fi ：0,1 0,+）满足 1） x 0,1 , fi (x)= fi (1-x) 2) fi (0)= 0 3) fi (x)在0,0.5 上严格递增 记a= ci fi (0.5), g :0,a 0,+）严格递增，则D为F(U) 上的模糊度函数.,45,证明：由条件1）和2）知， i 1, 2, 3, n有fi (0)= fi (1)=0，且若A P(U), 则A(ui)=0或1, 故D(A)=g( ci fi ( A(ui
28、) ) )=g(0)=0. 反之，若A F(U), 且D(A)=0, 则由g的单调性且 g(0)=0，必有ci fi ( A(ui) = 0从而i 1, 2, 3, n, A(ui) = 0或1, 即A P(U),于是清晰性成立。,46,设uU , A(u)=0.5，则D(A) = g( ci fi ( 0.5) )= g(a) =1反之，若D(A) = 1，则由于g的严格单调性, g(a)=1，ci fi (A(ui) ) = a = ci fi ( 0.5) .从而i 1,2,3,n, A(ui) = 0.5, 于是，模糊性也成立。同理可证单调性，对称性，可加性。,47,例1.5.1 设
29、U =u1 , u2 , , un, A F(U) , 且其中p 0，则 为A的模糊度 证明 设i 1,2,3,n, ci = 1,且则fi ( 1- x) = fi (x) 且fi ( 0) = 0。因 x1 , x2 0 , 0.5且x1 x2 有fi (x1) = = fi (x2) 故fi (x) 在0 , 0.5上严格递增。又a= ci fi (0.5) = n/ 令g (x) = , 则g (0) = 0, 而g (a) = 1, 故g :0,a 0 , 1严格递增，于是由定理1.5.1知 为A的模糊度,48,通常由式(1.5.2)确定的 为A的Minkowski模糊度。 特别地，
30、当p=1时，称为A的Hamming模糊度，或称为Kaufmann模糊指标当p=2时，称为A的Euclid模糊度,49,例1.5.2 设 U =u1 , u2 , u3 , u4, A=(0.6 , 0.9 , 0.7 , 0.4)为U上的模糊集，求A的Hamming 和 Euclid模糊度解 因A0.5=(1, 1, 1, 0)故由式(1.5.3)知D1(A)=2/4 ( |0.6-1| + |0.9-1| + |0.7-1| + |0.4-0| )=1/2 (0.4 + 0.1 + 0.3 + 0.4)= 0.6而由式(1.5.4)得D2(A)= ( |0.6-1|2 + |0.9-1|2
31、+ |0.7-1|2 + |0.4-0|2 ) 1/2= (0.16 + 0.01 + 0.09 + 0.16) 1/2 0.648,50,一般来说用Hamming 模糊度计算较为简单，而用 Euclid模糊度计算虽然比较复杂，但是计算结果比较精细。定理1.5.2 设 U =u1 , u2 , , un, AF(U ),则为A的模糊度，H(A)通常称为A的模糊熵，其中S(x)为Shannon函数,51,1.5.2无限论域上的模糊度设U= R = (- , + ), AF(U) ，则A的模糊度可由下式给出：或者其中由前者确定的D(A)称为A的模糊指标，记作K(A)=D(A),而由后者确定的D(A)称为A的模糊熵，记作H(A)=D(A)。,52,一般地，如果U Rn, AF(U) ,则或者,53,例1.5.4 设U= (- , + ), A为U的正态模糊集，即- u+ , 则A0.5= ，故得到令t= , 则查标准正态分布表可得故,
