1、第三章 结构构件可靠度计算方法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.2 改进的一次二阶矩法,3.1 均值一次二阶矩法,主要内容：,3.3 响应面法,3.4 优化法,3.5 蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法,3.1 均值一次二阶矩法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.1 均值一次二阶矩法,3.1.1 基本概念,- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算分析时，保留随机变量的一次项和常数项。,- 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.,- 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二阶矩。,- 均值点或中心点:非线性功能函数的泰勒级数的均值展开点,
2、3.1.2 线性功能函数,2. 功能函数的概率特征值,3.1 均值一次二阶矩法,可靠指标：,什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？,3.1 均值一次二阶矩法,设计验算点：,根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布,3.1.2 非线性功能函数,3.1 均值一次二阶矩法,式中：,3.1 均值一次二阶矩法,3. 功能函数的概率特征值,可靠指标：,3.1 均植的一次二阶矩法,一般情况下，下式不成立,设计验算点：,一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面上。,可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。,3.1 均值一次二
3、阶矩法,例 3.1,结构构件截面强度的功能函数为,其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力。,R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：,S 服从指数分布，分布参数：,计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。,（1）,（2）,（3）,3.1 均值一次二阶矩法,计算过程:,(1) 计算结构构件截面强度的功能函数的特征值,(2) 计算结构构件截面强度的可靠指标,3.1 均值一次二阶矩法,(3) 计算结构构件截面强度的失效概率,(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率,(5) 两种方法计算失效概率的误差,3.1 均植的一次二阶矩法,(6) 计算灵
4、敏性系数（第一组参数）,(7) 计算验算点（第一组参数）,3.1 均植的一次二阶矩法,(9) 总结,a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。,c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面。,b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指标计算失效概率，其误差大，也即是 不成立。,3.1 均值一次二阶矩法,例 3.2,假定钢梁承受确定性的弯矩M128.8kNm。钢梁截面的塑性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。已知fy的均值和变异系数分布为 MPa和 ；W的均值和变异系数分布为 m3和 。试求构件抗弯可靠指标。,计
5、算过程:,(1) 建立功能函数,a、按截面塑性弯矩极限状态,3.1 均值一次二阶矩法,(2)对功能函数在均值点进行线性化,b、材料屈服应力极限状态。,（Nm）,（Pa）,(3)计算功能函数的均值和标准差,均值：,（Nm）,（Pa）,3.1 均值一次二阶矩法,(4) 计算可靠指标,标准差：,（Nm）,（Pa）,(5) 总结,同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果差别达7.46%。,3.1.4 均值一次二阶矩法的特点,3.1 均值一次二阶矩法,3.2 改进的一次二阶矩法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.2.1 基本概念,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,非正态随机变量的当量正
6、态化,在极限状态曲面 寻找验算点 ，并在此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使用，又称JC法。,功能函数泰勒级数展开,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,将Z在各变量的设计验算点 处展开成泰勒级数，并取线性项,3.2.2 可靠指标求解,假定构件功能函数（非线性）,1. 方法一,是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为 和 。,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,2. 方法二,将随机变量标准化,将X空间的相关量转换到标准正态U空间,可靠指标计算,随机变量由 X空间向 U
7、空间变换,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,设计验算点由 X空间向 U 空间变换,功能函数由X空间向 U 空间变换,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,在U空间，将 在各变量的设计验算点 处展开成泰勒级数，并取线性项,在U空间的可靠指标,在标准正态空间中，可靠指标 为坐标原点到失效面的最短距离。,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,根据点到平面的距离公式可得U空间的可靠指标：,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,U空间设计验算点：,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,X空间设计验算点：,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,可靠指标计算方法比较
8、（功能函数非线性）,验算点法：,中心点法：,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,按照等效正态化原则将非正态随机变量转化为当量正态化随机变量,1.等效正态化原则,(1) 在设计验算点 处, 等效正态化随机变量的概率分布函数值与原非正态随机变量的概率分布函数值相等。,(2) 在设计验算点 处, 等效正态化随机变量的概率密度函数值与原非正态随机变量的概率密度函数值相等。,3.2.3 非正态随机变量的当量正态化,解决由于非正态随机变量导致的可靠指标与失效概率不一一对应的不足,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,非正态随机变量 的PDF,等效正态随机变量 的PDF,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点
9、）,2. 等效正态化计算公式,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,3. 对数正态随机变量等效正态化后的概率特征值, (3), (4),3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,3.2.3 验算点法的计算过程,根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等效为正态随机变量。,明确功能函数 及随机变量 的统计参数和分布类型,计算结构可靠指标 。,计算敏感性系数 。,重复步骤 3至6，直到可计算的可靠指标满足要求 。,假定 n-1个随机变量的初始取值，一般取其均值，结合极限状态方程 确定初始设计验算点 。,根据设计验算点的计算公式，计算设计验算点的 n-1个随机变量的取值，结合极限状态方程，
10、确定新的设计验算点 。,验算点法计算步骤：,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,验算点法主要计算公式：, (3), (1),3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,验算点法主要计算公式：, (5), (4),3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）,验算点法计算流程,开始,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点),3.2 改进的一次二阶矩法（验算点),3.3.3 作业,对P85的例4.3采用均值法和验算点法分别进行计算，比较其结果，并分析其原因，要求用软件编程计算。,3.2 改进的一次二阶矩法（验算点),例 3.4,已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载 和自由端受集中荷载 作用，如图所示，它们都是服从极值I分
11、布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 , ; 梁截面的塑性抵抗矩 和钢材的屈服强度 都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 ， ，试JC法求梁固定端处截面的抗弯可靠指标。,2.4 结构的失效概率,计算过程:,(2) 确定初始验算点处n-1随机变量的值，一般取其均值，也即是 ，则初始验算点处第n个随机变量的值为,(1) 确定功能函数,初始验算点,2.4 结构的失效概率,(2) 在验算点对非正态随机变量进行当量正态化，正态化之后它们的均值和标准差分别为,2.4 结构的失效概率,(4) 计算结构可靠指标,(3) 计算灵敏性系数,功能函数的均值,功能函数标准差,3.2 均植
12、的一次二阶矩法,(5) 计算设计验算点,(6) 判断计算精度是否满足要求,(22) 在验算点对随机变量进行当量正态化,3.2 均植的一次二阶矩法,(32) 计算灵敏性系数,(42) 计算结构可靠指标,(52) 计算设计验算点,(62) 判断计算精度是否满足要求,3.2 均植的一次二阶矩法,(23) 验算点对随机变量进行当量正态化,(33) 计算灵敏性系数,(43) 计算结构可靠指标,(53) 计算设计验算点,3.2 均植的一次二阶矩法,(24) 验算点对随机变量进行当量正态化,(44) 计算结构可靠指标,(63) 判断计算精度是否满足要求,(34) 计算灵敏性系数,3.2 均植的一次二阶矩法,
13、(54) 计算设计验算点,(64) 判断计算精度是否满足要求,3.3 响应面法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.3 响应面法,3.3.1 问题的提出,没有明确功能函数表达式,采用蒙特卡洛法结合有限元方法求解，需要成千上万次的模拟才能得到较精确的结果，因此采用该方案时也需要成千上万次的有限元计算分析，这就导致工作量大，计算成本高，不经济。,3.3 响应面法,-1989年，意大利的一位女学者Faravelli首次提出结构可靠度分析的响应面法，解决了没有明确功能函数的可靠度计算问题。,- 基本思想就是选用一个适当的具有明确表达式的函数来近似代替一个不能明确表达的函数，对于可靠度分析来说，就是尽可
14、能通过一系列确定性的试验即有限元数值计算结果来拟合一个响应面（明确表达式的函数）以代替未知的真实的极限状态曲面，在此基础上可应用一次二阶矩法进行可靠度计算。,-给定一组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，应用确定的有限元数值计算，就可以得到结构的一个响应值，取n组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，就能得到相应的n个响应值，根据这n个响应值拟合的函数表示的曲面就叫响应面，以该响应面代替未知的真实的极限状态曲面进行可靠度分析的方法就响应面方法。,3.3 响应面法,-1990年，Bucher提出内插技术，将该方法实用化。,-响应面函数的选取和响应面函数系数的确定。,3.3 响应面法,3.3.2 响
15、应面的设计,响应面的设计实质也就是响应面函数形式的确定。响应面函数形式的确定应满足的两个要求：（1）响应面函数数学表达式在基本能够描述真实函数的前提下应可能的简单，以方便可靠度分析；（2）响应面函数中的待定系数应尽可能的少，以便减少需要确定待定系数的结构有限元分析的工作量。,一般取不含交叉项二次多项式为响应函数：,3.3 响应面法,-对于精度要求不高，通过经验判断真实的功能函数非线性程度不高时，响应面函数可选用一次多项式。,-对于精度要求高，当真实的功能函数非线性程度很高时，不含交叉项的二次多项式作为响应面函数往往不能满足要求。,-映射能力非常强的神经网络作为响应面函数。,-映射能力非常强的支
16、持向量机函数作为响应面函数。,3.3 响应面法,3.3.3 待定系数的估算,待定系数确定 响应面函数确定。,？,3.3 响应面法,基本随机变量的取值将影响确定的响应面函数。,如何合理的确定基本随机变量的取值来进行结构有限元计算，进而确定响应面函数也是很重要的问题。,确定基本随机变量的取值利用了试验设计的思想：通过合理的试验设计，使有限的试验结果反应普遍的规律。因此应用试验设计的方法确定试验点（一组基本随机变量的取值），让这些试验点更多的代表随机变量在整个空间的信息。,3.3 响应面法,试验设计的方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法，中心复合设计法等等，试验点数应大于或等于待定系数的个数。,根
17、据确定中心点、水平系数 f 和随机变量的标准差 ，确定其余试验点 。,例：已知随机变量x1 和x 2的均值分别为12和8，标准差分别2 和1，水平系数 f 2，用中心复合法确定其试验点。,3.3 响应面法,最小二乘法确定待定系数,令,3.3 响应面法,3.3.4 响应面法的计算步骤：,(3)利用试验确定功能函数 以及 得到2n1个点的估计值，其中系数f在第一轮估计中取2或3，在以后的 迭代计算中取1；,(1)响应函数选取,(4) 采用优化法取得相应面函数中的待定系数，得到二次多项式近似的功能函数，从而确定结构的极限状态方程；,(5) 利用验算点法（JC法）求解验算点 和可靠度指标 ；,3.3
18、响应面法,(6) 判断收敛条件： 是否满足( 为收敛精度)，如果不满足，则用插值法确定新的中心点：,(7) 然后重复步骤(2)（6）进行下一轮迭代，直至满足收敛条件。,此插值可使 较 更接近极限状态曲面。,3.3 响应面法,Z,3.3 响应面法,响应面函数选取,3.3.5 响应面法的计算过程,3.3 响应面法,3.3 响应面法,例 3.5,已知某构件截面的功能函数为,试采用响应面计算其可靠指标。,和 都服从正态分布，其分布参数分别：,3.3 响应面法,计算过程:,(1) 选取响应面函数,(3) 计算试验点对应的功能函数值,(2) 确定试验点,3.3 响应面法,(4) 计算响应面函数中的待定系数
19、,(5) 根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点,(6) 判断计算精度是否满足要求,3.3 响应面法,(22) 计算新的试验中心点和其余试验点,(32) 计算试验点对应的功能函数值,(42) 计算响应面函数中的待定系数,3.3 响应面法,(52) 根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点,(62) 判断计算精度是否满足要求,试验点,功能函数值,待定系数,3.3 响应面法,试验点,功能函数值,待定系数,3.3 响应面法,精确解：,3.4 优化法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.4 优化法,3.1.1 优化法的基本思想,根据可靠指标的几何意义：结构可靠指标时在标准正态空间
20、中坐标原点到失效面的最短距离，因此可把求解可靠指标的问题转化为一个有约束的优化问题。,假定构件功能函数（非线性）,是相互独立的正态随机变量，其相应的均值和标准差为 和 。,将随机变量标准化,3.4 优化法,采用不同的优化方法可以得到不同求解结构可靠指标的优化法。,用拉格朗日（Lagrange）乘子法求解该问题,拉格朗日函数：,拉格朗日乘子。,3.4 优化法,联立求解上述方程组可得 ，则可靠指标为,3.5 蒙特卡洛法,第三章 结构构件可靠度计算方法,3.5 蒙特卡洛法,3.5.1 随机变量的抽样,-若r 是 0,1上的均匀随机数，则通过上式计算的x值是随机变量X 的一个抽样值。,- 通过随机变量
21、分布函数的反函数，结合0,1上的均匀随机数确定随机变量取值的一种方法称为反函数法。,设X为服从连续分布的随机变量，其分布函数为 ，在给定 时，则相应于r 的x值为,其中： 为 的反函数,3.5 蒙特卡洛法,3.5.2 结构可靠度计算直接蒙特卡洛法,结构可靠度计算直接蒙特卡洛法,- 对功能函数中所以随机变量进行随机抽样，根据随机变量的抽样值进行结构功能函数值 的计算，根据结构可靠度基本理论可知当功能函数 时，结构可靠，当功能函数 时，结构处于极限状态，当功能函数 时，结构失效；若进行N次随机模拟抽样计算，功能函数小于零的次数为 ，则结构的失效概率 的估计值 为,- 由波雷尔大数定律可以证明,-
22、结构的失效概率 以概率1收敛于 。,3.5 蒙特卡洛法,3.5.3结构可靠度计算直接蒙特卡洛法的计算步骤,2. 根据下面的计算公式确定进行随机模拟的总次数N。,3. 采用随机变量的抽样法对所以随机变量进行随机抽样 ，可得到各个随机变量的抽样值,1. 明确功能函数 功能函数中所有随机变量X1 ,X2 , XM的必要的概率信息。,4. 根据所有随机变量每一次抽样的结果，计算功能函数的值 （ j1,N）。,5. 计算在N抽样计算中功能函数 的总次数 。,3.5 蒙特卡洛法,6. 根据功能函数失效总次数 和模拟总次数 ，可以计算构件的失效概率：,示性函数：,3.5 蒙特卡洛法,随机变量的随机抽样 功能
23、函数的总失效次数计算失效概率的估计,3.5.4 蒙特卡洛法的要点：,3.5.5 蒙特卡洛法的主要用途,验证可靠度计算方法的合理性。,3.5.6 蒙特卡洛法的不足,获得的信息有限，只能得到失效概率或可靠指标，无法得到灵敏性系数，验算点信息。,3.5 蒙特卡洛法,例 3.6,已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载 和自由端受集中荷载 作用，如图所示，它们都是服从极值I分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 , ; 梁截面的塑性抵抗矩 和钢材的屈服强度 都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ， 和 ， ，试蒙特卡洛法求梁固定端处截面的抗弯可靠指标。,3.5 蒙特卡洛法,解:,(1) 确定功能函数,(2) 随机模拟的总次数N。,(3) 对随机变量进行随机抽样（反函数法）。,unifrnd(0,1,1,N),3.5 蒙特卡洛法,(4)根据所有随机变量每一次抽样值，计算功能函数值,(6) 计算构件的失效概率：,(5)计算在N抽样计算中功能函数 的总次数 。,
