1、,MATLAB及应用,MATLAB在控制系统中的应用,第一节 控制系统的数学描述与建模,1） 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,一、 概述,2）控制系统的分类按系统性能分：
2、线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。,3）线性定常连续系统的微分方程模型 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一
3、种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1de
4、n=a1,a2,an,an+1注意：它们都是按s的降幂进行排列的。于是可以使用命令tf（transfer function）建立传递函数模型，tf命令的使用格式为：,1）连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：,G=tf(num,den）,二、 控制系统的数学描述,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k于是可以使用命令zpk建立传递函数模型，zpk命令的使用格式为：,2）连续系统零极点增益模型,K为系统增益，zi为零点，pj为极点,G=zpk(z,p,k）,函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。,零极点模
5、型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,3）部分分式展开,控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。其中，向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。,1）num=12,24,0,20;den=2 4 6
6、2 2; G=tf(num,den)2）借助多项式乘法函数conv来处理： num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5); G=tf(num,den),举例：传递函数描述,零极点增益模型： num=1,11,30,0; den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den) ,z=0-6-5,p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000,k=1,结果表达式：,部分分式展开： num=2,0,9,1; den
7、=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den) ,p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000,k=2,r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000,结果表达式：,状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,4）状态空间描述,在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。函数SS()可以用来建立状态空间模型，其调用格式为：sysss(A,B,C,D
8、),举例：系统为一个两输入两输出系统 A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0; C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);,三 、线性系统模型之间的转换,1）连续系统模型之间的转换,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。模型转换的函数包括： tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
9、ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 residue：传递函数模型与部分分式模型互换,例：利用下面给出的矩阵在MATLAB中建立控制系统模型并实现不同模型之间的转换。具体要求如下： （1）建立控制系统的状态空间模型。 （2）将建立的状态空间模型转换成传递函数模型。 （3）使用不同的名称，将建立的传递函数模型转换回状态空间模型。 （4）将原状态空间模型转换成零极点模型。,MATLAB源程序p000.m,用法举例： 1）已知系统状态空间模型为：A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B
10、,C,D,iu); iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) z= -4.5616 p= -1 k=1-0.4384 -1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 01 0 0 0 0 -1 -5 00 1 0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,d
11、en=zp2tf(z,p,k) num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 10 3.1623 0 0c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。,4）已知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2; p=2i,-2i,-1;k=2; num,den=residue(r,p,k) num=2 0 9 1 den=1 1 4 4 注意余式一定要与极点相对应。,2）连续系统与离散系统之间的转换随着控制系统中计算机的惯
12、犯应用，系统经常由连续系统部分和离散系统部分连接构成，使用A/D和D/A转换连续和离散的部分，一次几乎没有一个采用系统可以完全用差分方程来表示，在分析系统时必须将连续系统转换为性能相当的离散系统。MATLAB控制工具箱提供了c2d，d2c和d2d命令实现复杂的相互转换。此部分类容可查看help文件！,若串联系统的两个子系统的传递函数分别为 和 ，则系统总的传递函数为MATLAB中，实现两个子系统串联的语句为G=G1*G2或 Gseries(G1,G2),四、结构框图的模型表示（模型的连接）,1）串联系统,例：建立由两个子系统组成的串联控制系统的传递函数模型。其中两个子系统的传递函数 、 分别为
13、试在MATLAB中实现两个子系统的串联联结，给出该控制系统的传递函数和以零极点形式表示的数学模型，并绘出单位阶跃响应曲线图。MATLAB实现程序 p001.m,若并联系统的两个子系统的传递函数分别为 和 ，则系统总的传递函数为MATLAB中，实现两个子系统串联的语句为G=G1G2或 Gparallel（G1，G2）,2）并联系统,例：建立由两个子系统组成的并联控制系统的传递函数模型。其中两个子系统的传递函数 、 分别为试在MATLAB中实现两个子系统的并联联结，给出该控制系统的传递函数和以零极点形式表示的数学模型，并绘出单位阶跃响应曲线图。MATLAB实现程序 p002.m,设控制系统由两个子
14、系统 、 反馈联接而成，MATLAB控制系统工具箱提供了用于建立反馈系统的传递函数feedback命令，其命令格式为：G=feedback(G,H,Sign);其中，sign1或省略，则表示负反馈，否则表示为正反馈。,3）反馈系统,例：使用MATLAB建立一反馈控制系统，其前向通道传递函数和反馈通道传递函数 分别为：试在MATLAB中实现两个子系统的反馈联结，给出该控制系统的传递函数和以零极点形式表示的数学模型，并绘出单位阶跃响应曲线图。MATLAB实现程序 p003.m,第二节 控制系统的分析方法,早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方程
15、的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响应曲线。 MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现，给控制系统分析带来了福音。 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。,一、 概述,二、 控制系统的稳定性分析,1）系统稳定及最小相位系统判据 对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点都位
16、于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。,2）系统稳定及最小相位系统的判别方法 1、间接判别（工程方法）劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。 2、直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。,例exp4_1.m 已知某系统的模型如右所示：,要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。,例exp4_2.m系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。
17、,ii=find(条件式) 用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。,例如exp4_1.m中的条件式为real(p ) 0，其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。,pzmap()p,z=pzmap(sys)：返回系统sys的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。pzmap(sys)：不带输出参数
18、项，则直接在s复平面上绘制出系统sys对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。,pole()ppole(sys)：计算系统sys的极点，返回到p向量中。 zero()z=zero(sys)：返回系统sys的零点到z向量中。z,gain=zero(sys)：分别返回零点和增益。,三 、 控制系统的时域分析,一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应，控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函
19、数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提供了求取这两种输入下系统响应的函数。,1）时域分析的一般方法,求取系统单位阶跃响应：step() 求取系统的冲激响应：impulse(),1、step() 函数的用法 exp4_3_.my=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：step(num,den)；step(num,den,t)；step
20、(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；,y,x,t=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成, 状态变量x返回为空矩阵。 y,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹。,例exp4_3.m 已知系统的开环传递函数为： 求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。,2、impulse() 函数的用法 求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。 y=impulse(num,den,t)； y,x,t=impulse(num,den)； y,x,t=
21、impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den)；impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t),例exp4_4.m 已知系统的开环传递函数为： 求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。,例exp4_6.m 已知闭环系统的传递函数为： 求其阶跃响应曲线。,仿真时间t的选择： 对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定。 对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。 一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确
22、定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。 在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。例exp4_6_.m,2）常用时域分析函数时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系统特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能从时间响应上反映出来。MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统进行时域分析的函数，如： covar：连续系统对白噪声的方差响应 initial：连续系统的零输入响应 lsim：连续系统对任意输入的响应对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它们
23、的调用格式与step、impulse类似，可以通过help命令来察看自学。,3）时域分析应用实例,MATLAB的step()和impulse()函数本身可以处理多输入多输出的情况，因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。,例exp4_7.m 某2输入2输出系统如下所示：,求系统的单位阶跃响应和冲激响应。,例exp4_8.m 某系统框图如下所示，求d和e的值，使系统的阶跃响应满足：（1）超调量不大于40，（2）峰值时间为0.8秒。,分析：由图可得闭环传递函数为：,其为典型二阶系统。由典型二阶系统特征参数计算公式,例exp4_9.m 根据输入的典型二阶系统参数阻尼比alph及
24、自然振荡频率wn，求取系统的单位阶跃响应参数：超调量pos（100）；峰值时间tp；上升时间tr；调节时间ts2（ ）。,，,得：,其中 为幅频特性，,频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：,1）频域分析的一般方法,四 、 控制系统的频域分析,为相频特性。,频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法。采用这种方法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于诸如防止结构谐振、抑制噪声、
25、改善系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。求取系统对数频率特性图（波特图）：bode()求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：nyquist(),1、对数频率特性图（波特图） exp4_10.m exp4_10_.m,对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率w，采用对数分度，单位为弧度/秒；纵坐标均匀分度，分别为幅值函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函数bod
26、e()来绘制系统的波特图，其用法如下：,bode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。bode(num,den,w) 或bode(a,b,c,d,iu,w) ：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。,bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统a,b,c,d的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图。当带输出变量mag,pha,w或mag,pha引用函数时，可得到系统波特图相应的幅值m
27、ag、相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：magdb=20log10(mag),2、奈奎斯特图（幅相频率特性图） exp4_11.m exp4_11_.m,对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 为横坐标， Im(G(jw) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。MATLAB提供了函数nyquist()来绘制系统的极坐标图，其用法如下：,nyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的极坐标图。 nyquist(num,den,w)
28、 或nyquist(a,b,c,d,iu,w) ：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。,nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条曲线相应于连续状态空间系统a,b,c,d的输入/输出组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示w的变化方向，负无穷到正无穷） 。当带输出变量re,im,w引用函数时，可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量（为正的部分）
29、。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。,2）常用频域分析函数,MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如： margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率 freqs：模拟滤波器特性 nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线） ngrid：尼科尔斯方格图,margin()函数 exp4_12.m exp4_12_.m,margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言
30、，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位。幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。类似地，相角裕度是当开环增益为1.0时，相应的相角与180度角的和。,margin(num,den) ：绘制出连续系统传递函数表示的系统波特图 gm,pm,wcg,wcp= margin(num,den) ：计算出连续系统传递函数表示的幅值裕度gm和对应频率wcg ,相角裕度p
31、m和对应频率wcp 。 margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB为单位） 、相角phase及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的bode图。gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB为单位） 、相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。,freqs()函数 exp4_13.m,freqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器H(s)=B(s)/A(s)的幅频响应。,h=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅
32、频响应，其中实矢量w用于指定频率值，返回值h为一个复数行向量，要得到幅值必须对它取绝对值，即求模。,h,w=freqs(b,a)自动设定200个频率点来计算频率响应，这200个频率值记录在w中。h,w=freqs(b,a,n)设定n个频率点计算频率响应。不带输出变量的freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。,3）频域分析应用实例,Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环
33、传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。,例exp4_14.m exp4_14_.m 已知某系统的开环传递函数为：,要求:（1）绘制系统的奈奎斯特曲线，判断闭环系统的稳定性，求出系统的单位阶跃响应。 （2）给系统增加一个开环极点p=2，求此时的奈奎斯特曲线，判断此时闭环系统的稳定性，并绘制系统的单位阶跃响应曲线。,例exp4_15.m 线性时不变系统如下所示：要求绘制系统的波特图和奈奎斯特图，判断系统稳定性，如果系统稳定，求出系统稳定裕度，并绘制系统的单位冲激响应以验证判断结论。,Pade函数可以近似表示延时环节e(
34、-st)，它的调用格式为： (num,den)=pade(t,n)，产生最佳逼近时延t秒的n阶传递函数形式。(a,b,c,d)=pade(t,n)，则产生的是n阶SISO的状态空间模型。,例exp4_16.m 系统传递函数模型为：,求出有理传递函数的频率响应，然后在同一张图上绘出以四阶pade近似表示的系统频率响应。,例exp4_17.m 系统结构图如下所示，试用nyquist频率曲线判断系统的稳定性。,其中,当阻尼比 比较小时，则系统的频域响应在自然频率附近将表现出比较强的振荡，该现象称为谐振。,试用MATLAB绘制出不同 和 的伯德图。,例：考虑二阶系统传递函数模型,解：1、 为固定值，
35、变化时,2、 为固定值， 变化时,当自然频率 的值增加时，伯德图的带宽将增加，该现象使得系统的时域响应速度变快。,所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析，例exp4_18.m,1）根轨迹分析方法的概念,五、 控制系统的根轨迹分析,（1）稳定性当开环增益K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此这个系统对所有的K值都是稳
36、定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则其交点的K值就是临界稳定开环增益。 （2）稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的K值就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 （3）动态性能当00.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量与K成正比。,2）根轨迹分析函数,通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。 pzmap：绘制线性系统的零极点图 rlocus：求系统根轨迹。 rlocfind
37、：计算给定一组根的根轨迹增益。 sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格。,1、零极点图绘制 exp4_19.m,MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图，其用法如下：,p,z=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。p,z=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不带输出参数项，则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。pzmap(p,z)
38、：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。,2、根轨迹图绘制 exp4_20.m,MATLAB提供了函数rlocus()来绘制系统的根轨迹图，其用法如下：,rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 通过指定开环增益k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。r=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,d
39、en) ：不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量k ，返回闭环系统特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时的所有闭环极点。或者同时返回k与r。若给出传递函数描述系统的分子项num为负，则利用rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹。（正反馈系统或非最小相位系统）,3、rlocfind()函数,MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：,k,p=rlocfind(a,b,c,d)或者k,p=rlocfind(num,den)它要求在屏
40、幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为此点处的系统闭环特征根。 不带输出参数项k,p时，同样可以执行，只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。,4、sgrid()函数,sgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。sgrid(new)：是先清屏，再画格线。sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线。,3）根轨迹分析应用实例,例exp4_23.m 例exp4_24.m,例exp4_22.m 某开环系统传递函数如下所示：要
41、求绘制系统的闭环根轨迹，分析其稳定性，并绘制出当k=55和k=56时系统的闭环冲激响应。,在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。 对于控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统 系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；部分分式展开；状态空间模型等。 系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。 模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈及闭环。,本章小结,控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。 通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系统作出判断。 控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设计的基础，要求熟练掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令的使用。 根轨迹分析是求解闭环特征方程根的简单的图解方法，要求熟练掌握根轨迹的绘制。,此章节如没有问题，就进入下一章节内容！,返回,返回,返回,返回,
