1、破解圆锥曲线中的最值或范围问题圆锥曲线的最值问题一直是近几年高考的热点，也是绝大多数考生难以破解的难点事实上，直线与圆锥曲线位置关系中的最值问题的求解策略常分为两类：一类是几何法，亦即灵活地利用圆锥曲线的定义和有关几何性质来求解；二是代数法，需将圆锥曲线中的最值问题转化为目标函数的最值问题，然后利用单调性、均值不等式等知识求解.策略 1：回归定义法圆锥曲线定义反应了其本质，理解定义、活用定义是简捷的解决圆锥曲线中最值问题的关键.当题目中涉及到曲线上的点到焦点或到准线等距离时，往往优选定义法灵活地求解.例 1 已知点 是双曲线 的左焦点，定点 的坐标为 ，点 是双曲线右支F214xyA(1,4)
2、P上动点，则 的最小值为_.PA分析：利用双曲线的第一定义，将问题进行转化.由题意得，（ 为双曲线右焦点） ，由此可得4F，进而把所求 的最小值转化为PAPFPFA最小值.解析：如图所示，设 为双曲线右焦点，根据双曲线定义 ，即 4PF，所以 ，4PF4PAFP又 ，所以 ，55所以 ，等号当且仅当 三点共线，即 为图中的点 时成立，9,P0故 的最小值为 .PAF点评：这类问题的解决，是借助圆锥曲线的定义，通过适当的问题转化，利用平几性质，得到直观解决.而 点都是相应的线段或直线与曲线的交点.因此，寻找交点的位置，也正是此类问题解决的关键所在.策略 2：数形结合法数形结合就是通过“以形助数”
3、或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.圆锥曲线中，我们往往可以通过点的移动、直线的平移等方法找到最优解，最优解又往往会出现在特殊的位置上，这时我们就可以利用图形找到特殊位置，再利用代数的方法确定特殊位置时的点的坐标或直线的方程，使问题迎刃而解.例 2 若点 为抛物线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值和对应P2yxP240xy坐标.分析：利用几何知识，将直线 平移至与抛物线相切时，则切点与直线40的距离即为点 到直线 的距离的最小值.240xyP2xy解析：直线 与抛物线 相离，将直线 平移至与抛物线240xy240
4、xy相切时，则切点与直线 的距离即为抛物线 上的动点 与直线2yx40xyP的距离的最小值. 40设切点为 ，由导数的几何意义知， ，0(,)Pxy00 2|()|2xxlyk所以， ，切点坐标为 ，010(1,)P所以 到直线 的距离的最小值为 ，此时，满足24xy0min1435Pld条件的 点坐标为 .0P(1,)点评：在求有关圆锥曲线中的最值问题时，使用数形结合方法求最值时，往往需要先对问题进行适当的化归与转化，再利用数形结合的思想来求解.当焦点在 轴上的抛物线易于求导，学生y运用导数的几何意义可以非常简单地求出切点，比使用联立方程组，再研究 的方法更加简0捷.策略 3：构造目标函数法
5、在处理解析几何中很多最值的求解问题时，我们都要用到代数中常用的函数与方程的思想方法，当条件中的某个参数与所研究的目标有明显的函数关系时，我们可以构建函数关系，然后转化成函数求最值的问题去解决，常用的方法有二次函数求最值、均值不等式求最值、单调法求最值等.例 3 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则OF2143xyP的最大值为 .OPF分析：向量的数量积有一种坐标表示，可以引入横、纵坐标两个变量，如果我们能把两个变量转换一个变量，那么，数量积的坐标就是关于这个变量的函数.解：由题意， ，设点 ，则有 ，解得 ，(1,0)F0(,)Pxy20143xy22003(1)
6、4xy因为 ， ，0,Pxy0,O所以 200(1)200(1)3()4xx.2034x20()x因为 ，所以当 时， 取得最大值 6.00OPF点评：在求变量的最值或变量的取值范围时，构造函数法是一种行之有效的方法.此题用坐标将数量积 转化关于 的二次函数，最值引刃而解.OPF0x例 4 已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右,2A2:10yEab32FE焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（1）求 的方程；E（2）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 面积最大时，求 的方程.AlE,PQOPl分析：第（2）问思路：首先设 ， ，由图象可得:2ykx12,yx，考虑联立直线与
7、椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用 表示1OPQPSd k出 ，从而用 进行表示 .,kOPQS解析：（1）设 ，因为 ，所以 ，,0Fc23AFc3c因为 ，所以 ， ，32ea3a221ba故 的方程 ； E:14xy（2）设直线 ， ，联立方程可得：:2PQykx12,PyQx，整理后可得：244ykx，16120此时 ，解得： 或 ，248k32k，12126,xxk因为 ， ，2OPQdk2221431kx所以 22221PPSkk ，243k2243k由均值不等式可得： ，等号成立时，22 24443kk，即 ，此时 ，2243k237所以 ，等号成立时 ，此时 的方程为
8、或 .1OPQSkl2yx72yx点评：巧妙引入参数 ，建立函数 ，再222434()13OPQkSf k利用均值不等式即可得到最大值.而直线与椭圆相交，在隐含条件 的限制条件下，保证等号0成立的条件 即为 的值.22443kk圆锥曲线中的最值问题通常有两种类型：一种是求长度的最值问题；一种是求面积的最值问题. 求解这类问题的基本策略是 “大处着眼、小处着手” ，即从整体上把握问题给出的综合信息与相应的数学思想，并恰当地运用定义法、数形结合法、目标函数法等基本数学方法.【真题演练】练习 1 （2011 新课标高考）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 点在直线xOy(0,1)AB上， 点满足 /M
9、BOAur， BMAurr， 点的轨迹为曲线 .3y C（1）求 的方程；C（2） 为 上的动点， 为 在 点处的切线，求 点到 距离的最小值。PlCPl解析：() ；214yx()设 为曲线 上一点，因为 ，所以 的斜率为 . 0,)21:4yx12yxl012x因此直线 的方程为 ，即 ，l0000x则 点到 的距离 ，当 时取等Ol2200 2020144yxdx0x号，故 点到 l距离的最小值为 2.练习 2（2016 年浙江高考）如图，设抛物线 2()ypx的焦点为 F，抛物线上的点 A到 y 轴的距离等于 .1AF（1）求 p 的值；（2）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.解析：（1） ；2p（2）由（1）得抛物线的方程为 ，可设 .24,10yxF2,0,1Att因为 不垂直于 轴，可设直线 ,由 消去 得AFy:Asy4yxs，故 ，所以 .240ys12421,Bt又直线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，直线 ，直AB21tFNt 21:tFNyx线 ，所以 ，2:BNyt23,1tNt设 ,由 三点共线得： ，于是 ，经检验，(0)Mm,A2231ttmt21tm或 满足题意.2综上，点 的横坐标的取值范围是 .,02,
