1、 2.51 正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1概念：对于连续型随机变量 X，位于 x轴上方， X落在任一区间（a，b内的概率等于它与 x轴、直线 a与直线xb所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分） ，这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f叫做 的概率密度函数。2、性质：概率密度函数所取的每个值均是非负的。夹于概率密度的曲线与 x轴之间的“平面图形” 的面积为 1 ()PaXb的值等于由直线 a， xb与概率密度曲线、 x轴所围成的“平面图形” 的
2、面积。要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：2(), 1()R)2xxe， （ 0,）其中 x 是随机变量的取值； 为正态变量的期望； 是正态变量的标准差.2正态分布（1）定义如果对于任何实数 ,()ab随机变量 X满足： ,()()baPaXxd，则称随机变量 X服从正态分布。记为 2,)N:。（2）正态分布的期望与方差若 2(,)N:，则 的期望与方差分别为： EX， 2D。要点诠释：（1）正态分布由参数 和 确定。参数 是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。 是标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标
3、准差去估计。（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等） ；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布 要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线如果随机变量 X 的概率密度函数为2()1()Rxfxe，其中实数 和 为参数（0,） ，则称函数 f的图象
4、为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2正 态 曲 线 的 性 质 ：曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 对称；曲线在 时达到峰值 12；当 x时，曲线上升；当 x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近.曲线与 轴之间的面积为 1； 决定曲线的位置和对称性；当 一定时，曲线的对称轴位置由 确定；如下图所示，曲线随着 的变化而沿 x轴平移。 确定曲线的形状；当 一定时，曲线的形状由 确定。 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“ 矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。要点诠释：性质说明了函数具有值域（函数值
5、为正）及函数的渐近线（x 轴） 性质并且说明了函数具有对称性；性质说明了函数在 x= 时取最值；性质说明 越大，总体分布越分散， 越小，总体分布越集中要点四、求正态分布在给定区间上的概率1. 随机变量取值的概率与面积的关系若随机变量 服从正态分布 2(,)N，那么对于任意实数 a、b（a b） ，当随机变量 在区间（a ，b上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线 x=a，x=b 以及 x 轴所围成的图形的面积相等如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b上取值的概率一般地，当随机变量在区间（，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在 x=a 左侧以及 x 轴围成图形的面积，如图（2
6、） 随机变量在（a，+ ）上取值的概率是正态曲线在 x=a 右侧以及 x 轴围成图形的面积，如图（3） 根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解2、正态分布在三个特殊区间的概率值： ()0.683PX；2954；(3).7。上述结果可用下图表示：要点诠释：若随机变量 X服从正态分布 2(,)N，则 X落在 (3,)内的概率约为 0.997，落在(3,)之外的概率约为 0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。一般的，服从于正态分布 2(,)的随机变量 X通常只取 (3,)之间的值，简称为 3原则。3、求正态分布在给定区间上
7、的概率方法（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与 x轴之间面积为 1。正态曲线关于直线 x对称，与 x对称的区间上的概率相等。例如 ()()PX； 1aa；若 b，则 ()()2PbXb。(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ()0.68PX； 22954； (33).7。【典型例题】类型一、正态分布的概率密度函数例 1. 下列函数是正态密度函数的是（ ） A2()1()exPx， （ 0）都是实数B2()xC2(1)4()exPxD21()exP【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断【解析】 正态密度函数为：2()1()exPx，其中指数部分的 应与系数的分母处的
8、保持一致，系数为正数且指数为负数选项 A 有两处错误，分别是 2错为 ，指数错为正数选项 C，从系数可得 =2，而从指数处可得 2，显然不符选项 D 中指数为正，错误所以正确答案为 B【总结升华】注意函数2()1()exPx的形式特点是解题的关键举一反三：【变式 1】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数2(10)8()exfx的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是（ ）A10 与 8 B10 与 4 C8 与 10 D2 与 10【答案】在该正态分布中， =10， =2，则 E(X)=10，D(X)= 2=4，故选 B。 。【变式 2】 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值 和标准
9、差 奎 屯王 新 敞新 疆（） ),(,1)(2xexf（） ),(,)(8)1(2f（） 2(1)(),)xfxe【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5 【变式 3】正态总体为 ,01 概率密度函数 )(xf是 （ ）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数【答案】B。因为 所以选 B。2()xfxe【变式 4】一台机床生产一种尺寸为 10 mm 的零件，现在从中抽测 10 个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7 ，10，9.9 ，10.1如果机床生产零件的尺寸 X 服从正态分布，求正态分布的概
10、率密度函数式【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数 和 即可，而 即样本均值， 即样本标准差依题意得 1(0.219.810.397.10)，2222221(0.)(10.)(10)(9.810)(.9)397 0.3 即 10， 2.所以 X 的概率密度函数为250(1)3()e6xx类型二、正态曲线例 2. 如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差【思路点拨】 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为 x=20，最大值为 12，因此，=20 ，由12可求得 的值【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x=2
11、0 对称，最 大值是12，所以 =20由 12，解得 2于是概率密度函数的解析式是2(0)41()exPx，x（，+ ） 总体随机变量的期望是 =20，方差是 22()【总结升华】 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴 x=，一是最值12这两点确定以后，相应参数纵 、 便确定了，代入 P（x）中便可求出相应的解析式举一反三：【变式 1】 关于正态密度曲线性质的叙述：曲线关于直线 x= 对称，整条曲线在 x 轴上方；曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；曲线在 x= 时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的对称位置由 确定，曲线的形状由 确定，
12、 越大曲线越“ 矮胖”，反之，曲线越“高瘦”其中叙述正确的有（ ） A B C D【答案】 B 根据曲线关于直线 x= 对称，只有当 =0 时函数才是偶函数，故错利用排除法选 B4321-1-4 -2 2 421【变式 2】如图，两个正态分布曲线图：1 为 )(1,x， 2 为 )(2x，则 ， 1 （填大于，小于）【答案】，。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【变式 3】如图是三个正态分布 XN（0，0.25） ，Y N（0，1） ，Z N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z 对应曲线分别是图中的_、_、_。【答案】。【变式 4】已知正态总体落在区间 ,2.0的概率是 05，那么相
13、应的正态曲线在 x 时达到最高点。【答案】0.2。由于正态曲线关于直线 x对称，由题意知 .2。类型三、正态分布的计算例 3已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，P( 4)0.84，则 P(0)( )A0.16 B0.32C0.68 D0.84【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决。【解析】P (4)0.84，2，P(0)P(4)1 0.840.16，故选 A.【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。举一反三：【变式 1】 （1） (0,1)XN:， 和 的值各是多少？（ 2） (1,9)XN:， 和 的值各是多少？【答案】（1）比照 2(,
14、)（ ） ， (0,1)XN:时， =0， =1。（2）比照 X:（ ） ， 9时， =1 29，所以 =1， =3。【变式 2】在某次测量中，测量结果 服从正态分布 (,)0，若 在（0，1 ）内取值的概率为0.4，则 在（0，2 ）内取值的概率为_。【答案】0.8 服从正态分布 2(1,)N，在（0，1）与（1，2 ）内取值的概率相同，均为 0.4。在（0，2）内取值的概率为 0.4+0.4=0.8。【变式 3】设随机变量 XN（0，1） ，（1）P(aX 0)=P(0 Xa)(a0)；（2）P(X0)=0.5 ；（3）已知 P(|X|1)=0.6826，则 P(X1)=0.1587；（4
15、）已知 P(|X|2)=0.9544，则 P(X2)=0.9772；（5）已知 P(|X|3)=0.9974，则 P(X3)=0.9987。其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】D；均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。例 4. 设 N（1 ，2 2） ，试求：（1）P（13） ；（2）P（35） ；（3）P（5） 【思路点拨】 要求随机变量 在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值【解析】 N（1 ，2 2） ， =1， =2，（1）P（13）=P（1 21+2 ）=P （ ）=0.683（2）P（35）=P（31 ）
16、 ，P（35）(5)(3)P14121)2()(0.95.6830.（3）P（5）=P（3） ， 1()(52P1(41)2P)0.95).23【总结升华】 在求随机变量 在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量 的取值转化到区间 (,)、(2,)以及 (3,)，然后利用在 (,)上的概率约为 0.683，在上的概率约为 0.954，在 (2,上的概率约为 0.997举一反三：【变式 1】 (2,5)XN:，求 (137)PX。【答案】 时， =2， =5， 13， 17， (37)0.94P【变式 2】 （2015 春 潮州期末）设随机变量 N（0，1 ） ，若 P（1 ）=p，则 p（0）
17、=（ ）A1 p Bp C D12p2p【答案】 D随机变量 服从标准正态分布 N（0，1 ） ，正态曲线关于 x=0 对称，P（1）=p， ，1(0)2p ，故选 D。【变式 3】设 (0,1)XN:。（1）求 P(1 1)；（2 ）求 P(0 X2)。【答案】（1） (0,):时， 1， ， .682PX。（2） ， ，正态曲线 0,1()x关于直线 x=0 对称， 1(0)().954.7222PX。类型四、正态分布的应用例 5. 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布 N（70，10 2） ，如果规定低于 60 分为不及格，那么（1）成绩不及格的人数占多少？（2）成绩在 8090 分
18、内的学生占多少？【思路点拨】 本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律因为正态密度曲线关于直线 x= 对称，故本题可利用对称性及特殊值求解【解析】 （1）设学生的得分情况为随机变量 X，则 XN（ 70，10 2） ，其中 =70， =10成绩在 6080 分之间的学生人数的概率为P（ 7010X70+10）=0.683 ，不及格的人数占 12（1 0.683）=0.1585 （2）P（7020X70+20 ）=0.954 ，成绩在 8090 分内的学生占1P（50X90）P（60X80）=0.1355【总结升华】 本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的
19、运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律举一反三：【变式 1】工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N 1(4,)9，问在一次正常的试验中，取 1 000 个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？【答案】X N(4,)9，4， 13.不属于区间(3,5)的概率为P(X3) P(X5)1 P(30)和 N( 2， )( 20)的密度函数图象如图所示，则有 ( )A 1 2C 1 2， 1 2， 1 25 （ 2016 蚌埠二模）已知随机变量 服从正态分布 N（1， 2） ，P（1）=0.012，则 P（13 ）= （ ）A0.488 B0.494 C0.502 D0
20、.5126. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2X4)0.682 6，则 P(X4)( )A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.158 57在正态分布 N(0，( 13)2)中，数值落在(，1)(1，)内的概率为( )A0.097 B0.046C0.03 D0.002 68.某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90分的人数是 （ ）A 32 B 16 C 8 D 20二、填空题9. （2015 石家庄校级模拟）已知随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，且 P（2X+2）=
21、0.9544，P（ X+ ）=0.6826，若 =4 ，=1，则 P（5X6）=_10已知正态分布总体落在区间(0.2，)的概率为 0.5，那么相应的正态曲线 ， (x)在 x_时达到最高点11在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N(1， 2)(0)若 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 在(0,2)内取值的概率为_12商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布 XN(10,0.1 2)，任选一袋这种大米，质量在 9.810.2 kg 的概率是_三、解答题13设 XN(10,1)(1)证明：P(1 1，且 2 1.5. 【答案】A【解析】随机变量 服从正态分布 N（1， 2）
22、 ，曲线关于 x=1 对称，P（1）=0.012，P（3）=0.012 ，P（13）=12P （ 3 ）=1 0.024-0.976， 11()()0.976.4822P故选 A。6. 【答案】B【解析】由正态曲线性质知，其图象关于 x3 对称，P(X4)0.5 12P(2X4)0.5 120.682 60.158 7.故选 B.7. 【答案】D【解析】0， 3，P(x1)1P(1x1)1P(3x3)10.997 40.002 6.8. 【答案】B【解析】:数学成绩是 XN(80,10 2)，(809)801801.345,80.162PP。9. 【答案】0.1359【解析】随机变量 X 服从
23、正态分布 N（， 2） ，P（2X +2 ）=0.9544 ，P（X +）=0.6826，=4，=1，P（2 X6 ） =0.9544，P（3X5 ）=0.6826 ，P（2 X6 P（3X5 ） =0.95440.6826=0.2718 ， 1(5)0.278.19故答案为：0.135910. 【答案】0.2【解析】P(X0.2)0.5，P(X0.2)0.5，即 x0.2 是正态曲线的对称轴当 x0.2 时， ， (x)达到最高点11. 【答案】0.8【解析】 服从正态分布(1， 2)， 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4. 在(0,2)内取值概率为 0.40.40.8.1
24、2. 【答案】0.954 【解析】P(8X10.2)P(100.2X100.2)0.954 .13. 【解析】(1)因为 XN(10,1)，所以正态曲线， ， (x)关于直线 x10 对称，而区间1,2和18,19关于直线 x10 对称，所以2,1()uxd19,8()uxd，即 P(1X2)P(18X19)(2)P(10X18)P(2X10)P(X10)P(X2) 12a.14. 【解析】【解析】() 抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2 分别为：x 1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+220 0.08+2300.02200，x s2
25、(30) 20.02+(20) 20.09+(10) 20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02150()(i)由() 知 ZN(200，150)，从而 P(187.8Z212.2)P(20012.2Z200+12.2)0.6826；(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为 0.6826，依题意知 XB(100，0.6826)，所以 EX1000.682668.2615.【解析】（1 ）由频率分布直方图可知120，130）的频率为 1(0.0110+0.02410+0.03 10+0.01610+0.00810)=0.12所以
26、估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08=112（2 ）由于 根据正态分布：P（12035X120+35）=0.9974130.故 ，即 0.001310000=13974(5).12PX所以前 13 名的成绩全部都在 135 以上根据频率分布直方图可知这 50 人中成绩在 135 以上（包括 135 分）的有 500.08=4 人，而在125，145）的学生有 50(0.12+0.08)=10所以 X 的取值为 0，1，2，3。所以 ， ， ， ；610()CP216430()CPX126430()CPX3410()CPX所以 X 的分布列为数学期望值为 13102.260EX
