1、nullnull null 年 null 月第 null 卷第 null 期河 南 机 专 学 报nullnull null null null nullnull nullnullnull null null null nullnull nullnullnull null nullnull nullnull null nullnullnull nullnullnullnullnull null null null nullnull nullnull nullnullnull null nullnull nullnullnullnull nullnullnull null null null n
2、ull nullnullnull null nullnull null null null null瑞利分布的特征彭奇林null随州大学 湖北随州 null null nullnull null null null摘要 本文对瑞利分布的有关特征进行了研究 , 给出了瑞利分布的数学期望与方差, 并获得了一组服从瑞利分布的随机变童, 对工程实践具有一定的指导意义,关键词 随机变null null 瑞利分布 null 正态分布 null 概率密度函数 null 分布函数null 数学期望null 方中图分类号 null null nullnull null null null nullnull 引言
3、与记号随着“概率设计”nullnull nullnull null null nullnull null null null 馆null 的新思想及相应的设计方法的日趋成熟 , 传统的设计准则中把设计量当作常数处理已不能完整地说明机械构件的全部性能null 因此在工程中越来越普遍地使用随机变量及其分布null 瑞利分布便是其中之一瑞利分布是在正态分布的基础上通过优化组合而得到的null 大量的实践表明 , 它在机械构件的载荷能力方面的描述是极为有效的null 本文将对这一分布的有关特征进行研究, 而不涉及它在工程上的具体应用 nullnull 数字特征null null null 概率密度函数
4、与分布函数定义 如果连续型随机变量七的概率密度函数为, null null null ,null ,护一null 一null, null 簇null一丫nullnullnull、null一、声null了吸、甲其中。 为常数, 且。null null , 则称随机变量互服从瑞利分布null据分布函数与概率密度函数的关系, 有当 null成null 时 , nullnullnull nullnull null ,当 null null null 时,nullnullnull , 一null艺一、null。nullnull 。一nullnull奋null 一瑟。沪扛达眨nullnullnull nu
5、ll一 null一null 歹null即可得瑞利分布的分布函数为null nullnull nullnull null一七null 。 nullnull 犯奋 , null null null , null毛null第null 期 彭奇林null瑞利分布的特征null null 数学期望据数学期望的定义, 若随机变量亏服从瑞利分布, 则有null。一null二null null、nullnull 、一nullnull一攀null 一苏null、一丁于一、。null 一苏。一nullnull一瑟才一null二一null二一姜null一丁null一null 一瑟null null乞鉴匕亘业二。nu
6、llnull一 null一null一梅口 ,即瑞利分布的数学期望为null null null 方差了万null厄一null 据方差的定义 , 若随机变量亏服从瑞利分布, 由于null一矿null nullnull 一丁二、 null甲null、nullnull、一丁nullnull一nullnull一、nullnull null。一姜, ,null 一奋null null砂 广十 , 砂null null 一奋 null矛一。 null 一护null null“nullnull丁二一瑟“”令、null 一null null null nullnullnull nullnull于一。一null
7、 null一nullnull于是null “一“。一“, 一nullnull一晋null一 ,即瑞利分布的方差为nullnull一引null 重要引理为了下一节中各定理的证明, 这里先提出如下重要引理null引理 null 设随机变量亏的概率密度函数为甲null null , 则随机变量七一亏, 的概率密度函数为null甲null了丁 nullnull 甲null一 了了 nullnull, nullnull null ,null簇nullnullnull一null一null曰nullnullnull、nullnull、一、null产null了、null卜、中引理 null 若随机变量七与nu
8、ll 相互独立, 又 null null 、 null null null是两个连续函数, 则随机变量 null null如与 nullnull null 相互独立null该引理的严格证明可以在参考文献【null中找到 , 故此从略引理 null 若随机变量亏与null 相互独立, 且其概率密度函数分别为叭null、null与甲, nullnullnull , 则随机变量犷一亏null null 的概率密度函数为河 南 机 专 学 报 第 null 卷null 。nullnull 。一null三叭nullnullnullnull , nullnull 一。nullnull。一丁十三、。null
9、null 一nullnull , nullnullnull null。引理 null 设七是一个连续型随机变量 , 其概率密度函数为甲null null , 又函数null一null null null严格单调 ,其反函数null nullnullnull有连续导数, 则 null 一nullnull如也是一个连续型随机变量 , 且其概率密度函数为甲七nullnullnull null甲【null nullnullnull null 尸nullnullnull, null null nullnull null ,null , 其它 null其中 null null null nullnull
10、nullnullnull一null null , nullnullnull null nullnull , nullnull null null null 哎nullnull一null null , nullnullnull 。 nullnullnull该引理的证明也可以在参考文献null null中找到 , 故此从略null注 本引理的条件“函数null null null严格单调 , 且反函数 null null null有连续导数”很强 , 不太容易被满足 , 如引理 null null 但这个条件可以减弱为“函数 nullnullnull 逐段严格单调, 且反函数连续可微” , 这时概
11、率密度函数公式也要作相应修改null 本文不准备讨论这个问题nullnull 主要结果利用上一节的引理 , 我们得到下面的主要结论null定理 null设两个随机变量互与null 相互独立, 且它们均服从正态分布null nullnull , 。, null , 则随机变量 nullnull 戎拜刁服从瑞利分布 , 且以null”为其概率密度函数null证明null 由于随机变量七与 null 均服从正态分布 null nullnull , 少null , 据引理 null , 易知随机变量引一兮的概率密度函数为null万鬓null null甲“】又 一飞犷“。null null了null 矛
12、 , null null null , null 镇null null随机变量了null 一才的概率密度函数为null谱不null甲“null nullnull一飞议乙null nullnullnull专null 鑫, nullnull null ,null簇null null而亏与 null 相互独立, 据引理 null 知随机变量了null一梦与了null一矿也相互独立null 现设哎一了null null 了null , 我们来考查 了的概率密度函数null 据引理 null ,当 null 镇null 或 null 一 null镇null 时 , 显然 甲null nullnull n
13、ullnull null ,当null null null 且 null 一 nullnull null 时, 有null null nullnull 。一丁三null null null 。null null甲。:、:一。)d tl 乏石矛“其中的积分鑫:t一、(z一t) 专dt 奋(z一t) 奋dt,专(l一tJ )一专duU、且0户IJ令t第 1期 彭奇林:瑞利分布的特征一“(奋剖一(刽二1 12 2此处B 为B 函数, 厂为函数.可参见文献【3P298 一304.于是甲。:, 一乡e一鑫, : 0因此随机变量犷 了, 十了:的概率密度函数为歹 , z O,夕。甲亏(z)=, z 簇0进
14、一步据引理4易得随机变量6一 了了的概率密度函数为纂e一豢, U 。, u 镇0厂|J人l|、一、.了U了.、O甲此即为(l) 式 , 故随机变量6 在乏干了服从瑞利分布, 且以函数(l)为其概率密度函数.注2 由随机变量的函数关系式6 在乏干可可以看出, 6 代表着以(亏, 动或(n, 动为坐标的点到坐标原点的距离, 所以工程中常称此分布为偏心率分布.注3 在瑞利分布中, 参数6的实践意义是构成瑞利分布的两个随机变量亏与n所服从的正态分布N (0, 。, ) 的标准差.注4 据定理 1可以认为瑞利分布是由机械构件的两个物理量来刻划其载荷能力的 , 因此比一个物理量的正态分布的刻划要精确;但它
15、实质上是一维随机变量, 因此在计算上也就比用两个物理量的二维正态分布来研究要简便多了.这就它优于正态分布的原因.定理2 设两个随机变量毛与n相互独立, 且它们均服从正态分布N(0, 。, ) , 则随机变量6 丫烤一。)十(。一。)服从瑞利分布, 且以(l)为其概率密度函数.证明:由于亏 N(p, 。 , ) , n N (p, 丫), 于是对随机变量亏一p与n一p 而言 , 有亏一p N (0 , a Z ) , n 一“ N (o , a Z ) ,同时据引理2, 亏一p与n一“相互独立, 从而据定理 1可知结论成立 , 定理2证毕.定理 3 设两个随机变量七与n相互独立, 均服从正态分布
16、, 且亏一N (o, 。, ) , n N (u Z ,。, ) , 则随机变量6一石万而了不而石不服从瑞利分布, 且以(1) 为其概率密度函数.证明类似于定理2, 故此从略.定理 4 设两个随机变量七与n相互独立, 均服从正态分布, 且七 N(p, , 口 ),n N ( p,), 则有随机变量?亏一p 2l r”_ 1 、11一pZ服从参数口= l 的瑞利分布 , 其概率密度函数为x。 普甲叹万一飞。, X 0, x 镇0,( 下转64 页)河 南 机 专 学 报 第6卷图 7 图82) 因Y 与B 有方向, 所以9角应为Y 与B 的方向夹角.而不能看成二条直线夹角.3) Y 单方向变化时
17、, 才需将Y 与B 合成.若Y 有可能为任意方向时, 根据应力求使定位误差为最大的合成原则, Y 与B 均应相加.例如图5所示工件若如图8那样安装时, 因Y 变化可能为任意方向, 故D = Y+ B.(上接47 页)证明类似于定理2,故此从略.注 5 定理 2、定理3和定理4依次为定理1的逐步推广.且定理2与定理3中概率密度函数的参数 口仍具有与定理l中相同意义.注6 定理4同时也是定理1的一种特殊情形, 这种现象值得注意.参 考 文 献(l)复旦大学组编 , 概率论.北京:人民教育出版社 , 1 9 7 9 年(2) 刘玉琏.傅沛仁.数学分析讲义(下.北京:高等教育出版社 , 1 9 9 2 年第3版(3) 盐见弘 , 可靠性工程基础.北京:科学出版社.1983年(4)E J.亨利等苦 , 吕立中等译.可靠性工程与风险分析.北京:国防工业出版社.1988年
