1、 最小的余数是 1 还是 0？最小的余数是 1 还是 0？这个问题你选择哪个答案？当除数是 6，余数可以是几？你是填 0-5，还是 1-5？这都涉及余数可不可以是 0 的问题。九义教材中余数是 0 被认为是没有余数，1 被认为是最小的余数。但实验教材有不同的理解。下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。【转】浅谈在整数除法中余数可以为零一、 困扰教师的问题 不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为 0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为 0。”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下: 第一,人教版义务教
2、育课程标准实验教科书数学,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为 0”的表述。 第二,现代汉语词典(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第 1553 页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于 0 而小于除数的部分。如 276=43。即不完全商是 4,余数是 3。”这就表明余数不能为 0。 在数学课本中找不到“余数可以为 0” 的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢? 我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为 0”的表述,只在三年级下册第
3、 26 页练习六第 3 题的指令性语言中,发现了三处“余数为 0”的表述。我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。 二、解惑所需的思辨 1.要用对立统一的观点看待 0 众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为 0。从这个意义上讲,0 是空集的基数,0 表示“没有”。然而,0 又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0 又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再
4、比方说,某地某时的气温为 0 摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待 0,懂得 0 既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当 155 时,得到整数商 3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为 0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。 2.要用发展变化的观点看待概念间的关系 人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为 1,分子为该整数的假分数,如 3=3/1,
5、65=65/1。这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集。原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集实际上就是有理数集了。 与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如 155,正好得到整数商 3,记作 155=3。后来才研究有余数的情形,如 165,得到不完全商 3 后还余 1,记作 165=31。起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。后来,为了研究的方便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先
6、的两个概念一并囊括。因为这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为 0”即可。这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,二者统一于广义的“有余数的除法”之中。 3.“余数为 0”的说法有据可查 事实上,“余数为 0”的提法早已被数学界认可。 小学数学教师手册(人民教育出版社,1982 年)第 49 页有如下表述: “判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为 0,就是整除的情况;如果所得的余数不为 0,就是不能整除的情况。例如: a=91,b=13。ab=9113,商 7 余 0。这表
7、明 91=137。即 91 能被 13 整除。 a=97,b=19。9719 商 5 余 2。所以 97 不能被 19 整除。 一般地,对于整数 a 和正整数 b,如果进行除法 ab 得商 q,余数为 r,就有 a=bq+r。其中 0r数学手册(人民教育出版社,1979 年)第 1057 页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述: “每一个整数 a 可以唯一地通过正整数 b 表示为 a=bq+r, 0r上述不等式 0r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元 1247 年即在其著作数书九章中,对这一算法进行过卓有成效的研究。 数学手册(人民教育出版社,19
8、79 年)第 1066 页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以 m 为模,则可将全体整数分为 m 个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,m-1 构成一个完全剩余类。” 由此易知,在以 0 为代表的这个剩余类中,每个数除以 m,所得的余数均为 0。也就是说,此类数中的每一个都是 m 的倍数。 事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为 0”的认可,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。 求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被
9、 3 整除。 证明:因为任何整数除以 3,所得余数只可能是 0,1,2 三种。也就是说,所有整数按其除以 3 所得余数来分,可分为余数分别为 0,1,2 的三个剩余类。把每个剩余类都看做一个抽屉,三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理”,把四个整数放进三个抽屉,至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类,它们除以 3 所得的余数必然相同,故其差除以 3 所得的余数必为 0,也就是说,这个差必能被 3 整除。 三、教材修改的建议 综上所述,在整数除法中,余数的确是可以为 0 的。但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予涉及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理。
10、由此观之,教材必须修改。 1.教材修改的重要意义 有利于学生认识 0 的双重意义,知道 0 既可表示“无”,又可表示“有”。使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。 有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系,知道当学习了“有余数的除法”后,原来的“整除”(包括“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。 有利于学生后续的数学学习。 2.教材修改的具体意见 要明确指出“没有余数”就是“余数为 0”。 人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第 50 页例题 1 为:“搬 15盆花布置会场,每组摆 5 盆,可以摆几组?”
11、解答此题的横式为 155=3(组)。接着,课本上还列出了竖式。 这道例题显然起着承上启下的作用:既承接二年级下册的“表内除法”,又由此介绍除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫。 第 51 页例题 2 是:“一共有 23 盆花,每组摆 5 盆,最多可以摆 4 组,还多 3 盆。”这是“有余数的除法”的首个例题。解答时,课本上先列出横式: 235=4(组)3(盆)。 再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的 3 连接,标上“余数”二字。 课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充。建议在这两道例题后面,不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字,让学生懂得:“0”虽然表示“没有”,但它同时又是一
12、个确定的数,从这个意义上讲,“0”也表示“有”。紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较,发现例题 1 竖式中最下面的“0”与例题 2 竖式最下面的“3”处于相同的位置,“3”既表示余数,“0”也可看成是余数。过去我们说 155 恰好等于3,“没有余数”,现在我们也可说 155,商为 3,“余数为 0”。 相信这样处理,学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。 要明确指出除数为 a 时,共有 a 种不同的余数:0,1,2,a-1。 三年级上册第 52 页例题 3 为:“如果上例中一共有 16 盆花,可以摆几组?多几盆?如果是 17 盆,18 盆,24 盆,25 盆呢?”
13、课本上列出了一组式子: 155=3(组) 165=3(组)1(盆) 175=3(组)2(盆) 185=3(组)3(盆) 195=3(组)4(盆) 205=(组) 215= (组)(盆) 225= (组)(盆) 235= 245= 255= 在这组式子的右边,提了一个问题:“观察余数和除数,你发现了什么?”旨在引导学生发现“余数小于除数”的结论。 此题编得不错,无须大改。关键是要增加一段文字,要告诉学生:“155=3(组)”也可写作“155=3(组)0(盆)”。这样,展现在学生面前的余数就有 0,1,2,3,4 五种,就不会由于余数 0 的隐匿,而使学生误认为“一个整数除以 5,只有 1,2,3
14、,4 四种余数”了。 到四年级学习了“用字母表示数”后,课本还应当用更具概括性的语言告诉学生:在整数除法中,如果除数是 a,则余数只能是 0,1,2,a-1,一共有 a 种。 当今时代,数学不仅作为工具,发挥着越来越重要的作用,而且,数学作为一种文化,也日益深入人心。近年来,人们对 0 的双重意义的认识越来越到位了。这不,没有距离被称作“零距离”;不收关税被称作“零关税”。把没有误差称作“零误差”;把没有风险称为“零风险”。而像“零增长” “零收益” “零亏损” “零排放” “零损耗” “零学费” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体。随着时间的推移,像这类以“零”
15、为模式的词汇还在不断地诞生。前些时候,美国国务卿希拉里克林顿由于不满下属的荒唐行为,还首创了“零忍耐”一词,令人颇感新鲜。 “0”本是数学中的元素,在数学的整数除法中,又实实在在地存在着余数为 0 的现象,而为什么在我们的小学数学教科书上,反倒连一个“零余数”都不敢提呢?这真是:墙外百花齐放,墙内掖掖藏藏。令人不解其意,空自扼腕嗟伤! 教科书是师生进行教学活动的重要资源和主要依据,该说清的一定要说清,该指明的一定要指明。一切都要为学生的发展着想。千万别把一些该让孩子们知道的数学知识“坚壁清野”,而且还藏得那么干净彻底,藏得那么了无痕迹,让教师都困扰莫名。试想,如果教科书都让教师 “找不到北”了,那么我们的孩子又能聪明到哪里去呢?
