3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系.docx

1、学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线 l1 的方向向量为 1(1，3，2) ，直线 l2 的方向向量为 2(1，1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1 与 l2 垂直，因为 121320，所以 1 2，又 1， 2 是两直线的方向向量，所以 l1 与 l2 垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点 A、B 与 C、D，计算向量 与AB 的坐标，若 0，

2、则两直线垂直，否则不垂直 .CD AB CD (2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 设直线 l 的方向向量为 a(a 1，a2，a3)，直 线 m 的方向向量为 b(b 1，b2，b3)，则lmab0a 1b1a 2b2a 3b30.知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线 l 的方向向量为 1 ，平面 的法向量为 2 ，则直线 l 与(2，43，1) (3，2，32)平面 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为 1 2，所以 1 2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以23直线 l 与平面 垂直.判断

3、直线与平面的位置关系的方法：(1)直线 l 的方向向量与平面 的法向量共线l .(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行或直线在平面内 .(3)直线 l 的方向向量与平面 内的两相交直线的方向向量垂直 l .梳理 设直线 l 的方向向量 a(a 1，b1，c1)，平面 的法向量 (a 2，b2，c2)，则laa k (kR) .知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面 ， 的法向量分别为 1(x 1，y 1，z 1)， 2( x2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面 ， 垂直的关系式是什么？答案 x 1x2y 1y2z 1z20.梳理 若平面 的法向量为 ( a1，b1，c1)

4、，平面 的法向量为 (a 2，b2，c2)，则0a 1a2b 1b2c 1c20.类型一 证明线线垂直例 1 已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱CC1 上的点，且 CN CC1.求证：AB 1MN.14证明 设 AB 中点为 O，作 OO1AA 1.以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO 1为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得 A ，B ，C ，N ，B1 ，( 12，0，0) (12，0，0) (0，32，0) (0，32，14) (12，0，1)M 为 BC 中点，M .(14，34，0) ，

5、(1，0， 1)，MN ( 14，34，14) AB1 0 0.MN AB1 14 14 ，MN AB1 AB 1MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.跟踪训练 1 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC 3 ，BC4，AB5，AA 14，求证：ACBC 1.证明 直三棱柱 ABCA 1B1C1 底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC、BC、C 1C 两两垂直.如图，以 C 为坐标原点，CA、CB 、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.则 C(0，0，0)，A(3，0，0

6、)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)， (3，0，0)， (0， 4，4)，AC BC1 0.ACBC 1.AC BC1 类型二 证明线面垂直例 2 如图所示，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点.求证：AB 1平面 A1BD.证明 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO.因为ABC 为正三角形，所以 AOBC .因为在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，所以 AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以 ， ， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直OB OO1 OA 角坐标系，

7、则 B(1，0，0)，D(1， 1，0)，A1(0，2， )，A(0，0， )，B1(1，2，0).3 3所以 (1 ，2， )， (1， 2， )， (2，1，0).AB1 3 BA1 3 BD 因为 1(1)22( ) 0.AB1 BA1 3 3 1(2)21( )00.AB1 BD 3所以 ， ，即 AB1BA 1，AB1BD.AB1 BA1 AB1 BD 又因为 BA1BDB，所以 AB1平面 A1BD.反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算

8、两组向量的数量积，得到数量积为 0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练 2 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAD1，AA 12，点 P 为 DD1 的中点.求证：直线 PB1平面 PAC.证明 如图建系，C(1，0，0)，A (0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)， (1，0， 1)，PC (0 ，1，1)， (1，1， 1)， (0， 1， 2)， ( 1，0， 2).PA PB1 B1C B1A (1， 1，1)(1，0，1)0，PB1 PC 所以

9、 ，即 PB1PC.PB1 PC 又 (1，1，1)(0，1，1) 0，PB1 PA 所以 ，即 PB1PA.PB1 PA 又 PAPCP，所以 PB1平面 PAC.类型三 证明面面垂直例 3 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面 ABC，ABBC ，ABBC2，AA 11，E 为BB1 的中点，求证：平面 AEC1平面 AA1C1C.证明 由题意知直线 AB，BC，B1B 两两垂直，以点 B 为原点，分别以 BA，BC，BB1 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0， )

10、，12故 (0 ，0，1)， (2，2， 0)， (2， 2，1)， (2，0， ).AA1 AC AC1 AE 12设平面 AA1C1C 的法向量为 n1( x，y，z)，则Error! 即Error!令 x1，得 y1，故 n1(1 ，1，0).设平面 AEC1 的法向量为 n2 (a，b，c)，则Error! 即Error!令 c4，得 a 1，b1，故 n2(1，1， 4).因为 n1n2111(1) 040，所以 n1n 2.所以平面 AEC1平面 AA1C1C.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两

11、个平面的法向量互相垂直.跟踪训练 3 在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求证：平面 BEF平面 ABC.证明 以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 A(0，0，a)，则易得 B(0，0，0)，C，D(0， a，0)，E ，F(0， a， )，(32a，32a，0) 3 ( 34a，34a，a2) 32 a2故 (0 ，0， a)， .AB BC ( 32a，32a，0)设平面 ABC 的法向量为 n1 (x1，y1，z1)，则Error! 即Error!取 x11，n 1(1 ，1， 0)为平面 ABC 的

12、一个法向量.设 n2(x 2，y2，z2)为平面 BEF 的一个法向量，同理可得 n2(1，1， ).3n 1n2(1 ，1，0)(1，1， )0，3平面 BEF平面 ABC.1.下列命题中，正确命题的个数为( )若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n 2 ；若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的法向量，a 与平面 平行，则 na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 中平面 ， 可能平行，也可能重合， 结合平面法向量的概念，易知正确.2.已知两直线的方向向量为 a，b，则下列选项中

13、能使两直线垂直的为( )A.a(1，0，0)，b( 3，0，0)B.a(0，1，0)，b(1，0，1)C.a(0，1，1)，b(0，1，1)D.a(1，0，0)，b( 1，0，0)答案 B解析 因为 a(0，1，0)，b(1 ，0，1)，所以 ab0110010，所以 ab，故 选 B.3.若直线 l 的方向向量为 a (1，0，2)，平面 的法向量为 (2，0，4)，则( )A.l B.l C.l D.l 与 斜交答案 B解析 a，l .4.平面 的一个法向量为 m (1，2，0)，平面 的一个法向量为 n(2，1，0) ，则平面 与平面 的位置关系是 ( )A.平行 B.相交但不垂直 C.

14、垂直 D.不能确定答案 C解析 (1，2，0)(2，1，0) 0，两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面 与平面 垂直，若平面 与平面 的法向量分别为 ( 1，0，5)，(t ， 5，1)，则 t 的值为_.答案 5解析 平面 与平面 垂直，平面 的法向量 与平面 的法向量 垂直，0，即( 1)t05510，解得 t5.空间垂直关系的解决策略几何法 向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为 90.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线 l，m，n 和平面 (1)若 lm，l n，m ，n ，m 与 n 相交，则 l.(2)若 lm，m

15、，则 l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线 l，m 和平面 ，(1)若 l，l ，则 .(2)若 l，m ，lm，则 .(3)若平面 与 相交所成的二面角为直角，则 证明两个平面的法向量互相垂直40 分钟课时作业一、选择题1.设直线 l1，l 2 的方向向量分别为 a(2，2，1) ，b(3，2，m )，若 l1l 2，则 m 等于( )A.2 B.2 C.6 D.10答案 D解析 因为 ab，故 ab0，即232(2)m0，解得 m10.2.若平面 ， 的法向量分别为 a(1，2，4)，b( x，1

16、，2)，并且 ，则 x 的值为( )A.10 B.10 C. D.12 12答案 B解析 因为 ，则它们的法向量也互相垂直，所以 ab( 1，2，4)(x， 1， 2)0，解得 x10.3.已知点 A(0， 1，0) ，B(1，0，1)，C(2，1，1) ，P(x ， 0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐标为( )A.(1，0 ，2) B.(1，0，2) C.(1，0，2) D.(2，0，1)答案 C解析 由题意知 ( 1，1，1) ， (2，0， 1)， (x，1， z)，又 PA平面 ABC，所AB AC AP 以有 (1，1，1)(x，1，z)0，得 x1z 0， AB AP

17、(2， 0，1)(x，1，z)0，得 2xz0， AC AP 联立得 x1，z2，故点 P 的坐标为(1，0， 2).4.在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1，则 A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E ，(12，12，1) ， (1 ， 1，0)，CE ( 12，12，1) AC (1，1 ，0)， (0，1，1)， (0 ，0，1)，BD A1D A

18、1A ( 1)( )(1) 010，CE BD 12 12CEBD.5.若平面 ， 垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A.n1(1，2，1)，n 2( 3，1，1)B.n1(1，1，2)，n 2(2， 1，1)C.n1(1，1，1)，n 2(1， 2，1)D.n1(1，2，1)，n 2(0 ，2，2)答案 A解析 1(3)21110，n 1n20，故 选 A.6.两平面 ， 的法向量分别为 (3，1，z) ，v(2，y，1) ，若 ，则 yz 的值是( )A.3 B.6 C.6 D.12答案 B解析 v 06 yz0，即 yz6.二、填空题7.在三棱锥 SABC 中，SABSAC

19、 ACB90， AC2，BC ，SB ，则13 29异面直线 SC 与 BC 是否垂直_.( 填“是”或“否”)答案 是解析 如图，以 A 为原点，AB， AS 分别为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则由 AC2，BC ，SB ，13 29得 B(0， ，0)，S(0，0，2 )，C ，17 3 (21317，417，0) ， .SC (21317，417， 23) CB ( 21317，1317，0)因为 0，所以 SCBC.SC CB 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4) ，AB (4，2，0)， (1， 2，1). 对于结论：APAB；AP

20、AD； 是平面AD AP AP ABCD 的法向量； .其中正确的是_.(填序号)AP BD 答案 解析 (1，2， 1)(2， 1， 4)122(1)( 1)(4)AP AB 0，APAB，即正确； (1，2，1)(4，2，0)( 1)422(1)00，APAD，即正确；AP AD 又ABAD A，AP平面 ABCD，即 是平面 ABCD 的一个法向量，即正确；AP 是平面 ABCD 的法向量，AP ，即 不正确.AP BD 9.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1，2cos 2x2，0) 和点 Q(cos x，1，3) ，其中 x0 ，.若直线 OP 与直线 OQ 垂

21、直，则 x 的值为_.答案 或2 3解析 由题意得 ，OP OQ cos x(2cos x1)(2cos 2x2)0.2cos 2xcos x 0，cos x 0 或 cos x .12又 x0 ，x 或 x .2 310.在ABC 中，A(1 ，2，1)，B(0，3，1) ，C (2，2，1).若向量 n 与平面 ABC 垂直，且|n | ，则 n 的坐标为_.21答案 (2，4，1)或(2 ，4，1)解析 据题意，得 ( 1，1，2)， (1 ，0，2).AB AC 设 n(x，y，z)，n 与平面 ABC 垂直，Error! 即Error!可得Error!|n | ， ，解得 y4 或

22、y4.21 x2 y2 z2 21当 y4 时，x2，z1；当 y4 时，x2， z1.三、解答题11.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AB4 ，BC3，AD 5，DAB ABC 90 ，E 是 CD 的中点.证明：CD平面 PAE.证明 如图，以 A 为坐标原点，AB， AD，AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设 PAh，则相关各点的坐 标为 A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知 (4，2，0)， (2， 4，0)， (0 ，0，h).CD AE AP 因为 8800

23、， 0，CD AE CD AP 所以 CDAE ，CDAP，而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动.求证：无论点 E3在 BC 边的何处，都有 PEAF.证明 建立如图所示空间直角坐标系， 则 P(0，0，1)，B(0，1，0)，F ，D ，(0，12，12) ( 3，0，0)设 BEx(0x )，3则 E(x，1，0)， (x ，1，1) 0，PE AF (0，12，12)所以 x0 ， 时都有 PEAF，

24、即无 论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF.313.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点.(1)求证：A 1EBD；(2)若平面 A1BD平面 EBD，试确定 E 点的位置.(1)证明 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为 a，则 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设 E(0，a，e) (0e a)，(a，a，ea)，A1E (a，a ，0)，BD a 2a 2(e a)00，A1E BD ，即 A1EBD.A1E BD (2)解 设平面 A1BD，平面 EBD 的法向量分别为 n1(x 1，y1，z1)，n2( x2，y2，z2). ( a，a，0)， (a ，0，a)， (0，a， e)，DB DA1 DE Error! Error!取 x1x 21，得 n1(1 ，1，1)，n 2(1 ， 1， )，ae由平面 A1BD 平面 EBD 得 n1n 2，2 0，即 e .ae a2当 E 为 CC1 的中点时，平面 A1BD平面 EBD.