1、数分高代定理大全高等代数第一章带余除法 对于 中任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有Px()fxg()0x中的多项式 存在，使 成立，其中Px(),qr ()fqr或者 ，并且这样的 是唯一决定的.()rgx0(),x定理 1 对于数域 上的任意两个多项式 ，其中 的P(),fg()0,()|xgfx充分必要条件是 除 的余式为零.()gxf定理 2 对于 中任意两个多项式 ， ，在 中存在一个最大公因()fxPx式 ，且 可以表示成 ， 的一个组合，即有 中多项式()dx()()fg使 .,uvuxvx定理 3 中两个多项式 ， 互素的充分必要条件是有 中的多项P()f Px式 使 .(),
2、xv()1xfvgx定理 4 如果 ，且 ，那么 .,()|()fhx()|fxh定理 5 如果 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 ，由()px (),fxg一定推出 或者 .()|pxfg()|fx()|pgx因式分解及唯一性定理 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分P1()fx解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式P那么必有 ，并且适当排列因式1212()()()(),s tfxpxpqxxLLst的次序后有 其中 是一些非零常数.,iics1,2)icL定理 6 如果不可约多项式 是 的 重因式 ，那么它是微商()pxfk(1)的 重因式.(
3、)fx1k定理 7（余数定理） 用一次多项式 去除多项式 ，所得的余式是一个x()fx常数，这个常数等于函数值 .()f定理 8 中 次多项式 在数域 中的根不可能多于 个，重根按重数Pxn0Pn计算.定理 9 如果多项式 ， 的次数都不超过 ，而它们对 个不同的数()fxg 1有相同的值，即 那么 .121,nL(),12,iif nL()fxg代数基本定理 每个次数 的复系数多项式在复数域中有一根.1复系数多项式因式分解定理 每个次数 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数 的实系数多项式在实数域上都可以唯1一地分解成一次因式与二次不可
4、约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理 12 设 是一个整系数多项式，而 是它的有理10()nnfxaxaLrs根，其中 互素，那么必有 .特别地，如果 的首项系数 ，,rs|,|nsr()fx1na那么 的有理根是整根，而且是 的因子.()fx0定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法） 设是一个整系数多项式，如果有一个素数 ，使得10()nnfaaL p1. ；|np2. ；120|,3. 2
5、0|a那么 在有理数域上是不可约的.()fx第二章定理 1 对换改变排列的奇偶性.定理 2 任意一个 级排列与排列 都可以经过一系列对换互变，并且所作n12nL对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设 ， 表示元素 的代数余子式，则下列公式成121212nnnaadLMijAija立： 12,0.kikiknidkiaAaAL当当12,.ljljnlj j当 l当定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组 121212,nnnaxaxbL的系数矩阵121212nnnaaALM的行列式 ，0d那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中 是把矩阵 中第 列换成方程组的常数项
6、12,nxxddLjAj所成的行列式，即12nb1,122,1,.jjnjnjjnabadjnLLM定理 5 如果齐次线性方程组1212120,nnnaxaxL的系数矩阵的行列式 ，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有0A非零解，那么必有 .定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式 中任意取定了 个行.由D(1)kn这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式kk.D定理 7 两个 级行列式 和 的n121212nnnaaDLM121212nnnbbDLM乘积等于一个 级行列式 ，其中 是 的第 行元素分别n212nnccCLij1i与 的第 列的对应元素乘积之和：
7、.2Dj 12ijijijinjcababL第三章定理 1 在齐次线性方程组 1212120,nnnaxaxL中，如果 ，那么它必有非零解.s那么向量组 必线性相关.12,raL定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.定理 5 矩阵n121212nnnaaALM的行列式为零的充分必要条件是 的秩小于 .An定理 6 一矩阵的秩是 的充分必要条件为矩阵中有一个 级子式不为零，r r同时所有 级子式全为零.1r+定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵121212,nnnaxaxbL与增广矩阵 有相同的秩。112
8、21LMnssaaA121212LMnssnaabA定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 ，这里 表示系数矩阵的秩.nr-r定理 9 如果 是方程组 的一个特解，那么该0r121212,nnnaxaxbL方程组的任一个解 都可以表成 ，其中 是导出组r0rh=+的一个解.因此，对于方程组的任一个特解 ，当1212120,nnnaxaxL 0r取遍 它的导出组的全部解时， 就给出本方程组的全部解.h 0rh=+第四章定理 1 设 是数域 上的两个 矩阵，那么 ，即矩阵的,ABPnAB=乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理 2 设 是数域
9、上 矩阵， 是数域 上 矩阵，于是mPms，即乘积的秩不超过各因子的秩.,秩 （ AB） min秩 （ ） 秩 （ B） 定理 3 矩阵 是可逆的充分必要条件是 非退化，而A.1(0)Ad-*=定理 4 是一个 矩阵，如果 是 可逆矩阵， 是 可逆矩阵，snPsQn那么 .秩 ()秩 A=秩 ()定理 5 任意一个 矩阵 都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵 的标 A准形，主对角线上 1 的个数等于 的秩（1 的个数可以是零）.定理 6 级矩阵 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：nA12mAQ=L第五章定理 1 数域 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和P.22n
10、dxdx+L定理 2 在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理 5 （1）任一复对称矩阵 都合同于一个下述形式的对角矩阵;A,其中，对角线上 1 的个数 等于 的秩.r（2）任一实对称矩阵 都合同于一个下述形式的对角矩阵：A，其中对角线上 1 的个数 及-1 的个数 （ 是 的秩）都是唯一确定的，prp-rA分别称为 的正、负惯性指数.它们的差 称为 的符号差.2定理 6 元实二次型 是正定的充
11、分必要条件是它的正惯性指数等于n1,2()nfxL.定理 7 实二次型1,21()nijjijfxaxXA=L是正定的充分必要条件为矩阵 的顺序主子式全大于零.定理 8 对于实二次型 ，其中 是实对称的，下列条件等价：1(,)nfx A（1） 是半正定的，1(,)nfx（2）它的正惯性指数与秩相等，（3）有可逆实矩阵 ，使C12ndCA其中， 0,1,id（4）有实矩阵 使 ，CA（5） 的所有主子式皆大于或等于零.A第六章定理 1 如果在线性空间 中有 个线性无关的向量 ，且 中任一向Vn12,n V量都可以用它们线性表出，那么 是 维的，而 就是 的一组基.12,n定理 2 如果线性空间
12、的非空子集合 对于 的两种运算是封闭的，那么WV就是一个子空间.W定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2） 的维数等于向量组 的秩.12(,)rL 12,r定理 4 设 是数域 上 维线性空间 的一个 维子空间， 是 的一WPnVm12,m W组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在 中必定可以找V到 个向量 ，使得 是 的一组基.nm12,mn 12,n定理 5 如果 是线性空间 的两个子空间，那么它们的交 也是 的子,VV12空间.定理 6 如果 是 的子空间，那么它们的和 也是 的子空间.12, 12V定理 7 （维数公式）如果 是线性
13、空间 的两个子空间，那么12,V维（ ）+维（ ）=维（ ）+维（ ）.1V212定理 8 和 是直和的充分必要条件是等式120,()iiV只有在 全为零向量时才成立.i定理 9 设 是 的子空间，令 ，则 的充分必要条件为12,V12WV12V维（ ）=维（ ）+维（ ）.W1V2定理 10 设 是线性空间 的一个子空间，那么一定存在一个子空间 使U W.V定理 11 是 的一些子空间，下面这些条件是等价的：12,s1） 是直和；iW2）零向量的表法唯一；3） ；0ijiV(1,2)is4）维（ ）= .i维 （ V）定理 12 数域 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维P
14、数.第七章定理 1 设 是线性空间 的一组基， 是 中任意 个向量.存12,n V12,n Vn在唯一的线性变换 使 .A,12,iin定理 2 设 是数域 上 维线性空间 的一组基，在这组基下，每个线12,n P性变换对应一个 矩阵.这个对应具有以下的性质：1） 线性变换的和对应于矩阵的和；2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理 3 设线性变换 在基 下的矩阵是 ，向量 在基 下的坐A12,n A12,n标是 ，则 在基 下的坐标 可以按公式12(,)nx , 12(,)ny计算.12
15、2nnyx定理 4 设线性空间 中线性变换 在两组基VA（6）12,n（7）12,n下的矩阵分别为 和 ，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是 ，于是 .AB X1BXA定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿凯莱（Hamilton-Caylay）定理 设 是数域 上一个 矩阵，APn是 的特征多项式，则()fEA.112()()n nnfaaAAEO 定理 7 设 是 维线性空间 的一个线性变换， 的矩阵可以在某一组基下为V对角矩阵的充分必要条件是， 有 个线
16、性无关的特征向量.n定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理 9 如果 是线性变换 的不同的特征值，而 是属于特征值1,k A1,iir的线性无关的特征向量， ，那么向量组 也线性无i1,ik 11,krkr 关.定理 10 设 是 维线性空间 的线性变换， 是 的一组基，在这组基AnV12,n V下 的矩阵是 ，则1） 的值域 是由基像组生成的子空间，即.12(,)nVLAA2） 的秩 的秩.定理 11 设 是 维线性空间 的线性变换，则 的一组基的原像及 的VVA1(0)A一组基合起来就是 的一组基.由此还有V的秩 的零度 .An定理 12 设线性变换 的特征多项式为 ，它可分
17、解成一次因式的乘积A()f.12()()()srrrf则 可分解成不变子空间的直和V，12sV其中 .|()0,iriA定理 13 设 是复数域上线性空间 的一个线性变换，则在 中必定存在一组VV基，使 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.定理 14 每个 级复矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似.nA定理 15 数域 上 级矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件为 的最小多项式P A是 上互素的一次因式的乘积.第八章定理 1 一个 的 -矩阵 是可逆的充分必要条件为行列式 是一个非nl()Al ()l零的数.定理 2 任意一个非零的 的 -矩阵 都等价于下列形式的矩阵snl()l其中 是首相系数为 1 的
18、多项式，且1,(),2)irdrl=L.()|()iidll+， i,-定理 3 等价的 -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.l定理 4 -矩阵的标准形是唯一的.l定理 5 两个 -矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，l它们有相同的不变因子.定理 6 矩阵 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.()Al定理 7 设 是数域 上的两个 矩阵. 与 相似的充分必要条件是它们的,BPnAB特征矩阵 和 等价.EAl-Bl-定理 8 两个同级复数矩阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式，然后将主对角线上的元EA
19、l-素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子.定理 10 每个 级矩阵的复数矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当n形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的，它称为 的若AA尔当标准形.定理 11 设 是复数域上线性空间 的线性变换，在 中必定存在一组基，使AVV在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 唯一决定的.定理 12 复数矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是， 的初等因子全为一A次的.定理 13 复数矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是， 的不变因子都没有A重
20、根.定理 14 数域 上 方阵 在 上相似于唯一的一个有理标准形，称为 的PnPA有理标准形.定理 15 设 是数域 上 维线性空间的线性变换，则在 中存在一组基，使AV在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定，称为A的有理标准形.第九章定理 1 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.n定理 2 对于 维欧式空间中任意一组基 ，都可以找到一组标准正交基12,n，使 .12,n 1212,()(),nnLLieh=L定理 3 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.定理 4 设 是 维欧式空间 的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价AV的：（1）
21、是正交变换；（2） 保持向量的长度不变，即对于 ；,VaaA=（3）如果 是标准正交基，那么 也是标准正交基；12,n 12neeAL， ， ，（4） 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.A定理 5 如果子空间 两两正交，那么和 是直和.12,sV 12sV+L定理 6 维欧式空间 的每一个子空间 都有唯一的正交补.n定理 7 对于任意一个 级实对称矩阵 ，都存在一个 级正交矩阵 ，使nAnT成对角形.1TA-=定理 8 任意一个实二次型 1,nijjijjiijaxa=都可以经过正交的线性替换变成平方和 ，221nyylll+L其中平方项的系数 就是矩阵 的特征多项式全部的根.12,nll
22、LA第十章定理 1 设 是 上一个 维线性空间， 是 的一组基， 是VP12,n V12,naL中任意 个数，存在唯一的 上线性函数 使PnVf.(),iifae=L定理 2 的维数等于 的维数，而且 是 的一组基.(,)LV12,nff(,)LVP定理 3 设 及 是线性空间 的两组基，它们的对偶基分别为12,n 12,n V及 .如果由 到 的过渡矩阵为 ，那么由12,nffL,gL12,n 12,n A到 的过渡矩阵为 .,ff12,n()A-定理 4 是一个线性空间， 是 的对偶空间的对偶空间. 到 的映射V*VV*是一个同构映射. *x定理 5 设 是 上 维线性空间， 是 上对称双
23、线性函数，则存在Pn(,)fab的一组基 ，使 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.V12,n (,)fab数学分析第一、二章定理 1.1（确界原理）设 为非空数集.若 有上界，则 必有上确界；若 有SSSS下界，则 必有下确界.定理 2.1 数列 收敛于 的充要条件是： 为无穷小数列.nana收敛数列的性质：定理 2.2（唯一性）若数列 收敛，则它只有一个极限.na定理 2.3（有界性）若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，使naM得对一切正整数 有 .nM定理 2.4（保号性）若 （或 ） ，则对任何 （或lim0na(0,)a） ，存在正数 ，使得当 有 （或 ）.(,0)aNnn定理
24、 2.5（保不等式性）设 与 均为收敛数列.存在正数 ，使 时nb0N0有 ，则 .nblilia定理 2.6（迫敛性）设收敛数列 ， 都以 为极限，数列 满足：存在nanc正数 ，当 时有 ，则数列 收敛，且 .0N0ncbnlima定理 2.7（四则运算法则）若 与 收敛，则数列 ， ，nabn也都是收敛数列，且有nablim()lilimnnnbab特别当 为常数 时有nbc， .li()linnaclilinnac若在假设 及 ，则 也是收敛数列，且有 .0nblimnnblimlilinnabb定理 2.8 数列 收敛的充要条件是： 的任何非平凡子列都收敛.nana定理 2.9（单调
25、有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理 2.10（柯西收敛法则）数列 收敛的充要条件是：对任何给定的 ，na 0存在正整数 ，使得当 时有 .N,mNm第三章定理 3.1 .000li()li()li()xxxfAffA函数极限的性质：定理 3.2（唯一性）若极限 存在，则此极限是唯一的.0lim()xf定理 3.3（局部有界性）若 存在，则 在 的某空心邻域 内有0f0x0()Ux界.定理 3.4（局部保号性）若 （或 ） ，则存在任何正数0li()xfA（或 ）存在 ，使得对一切 有rAr0Ux0()x（或 ）.()fx()fr定理 3.5(保不等式性)设 与 都存在，且在某邻
26、域0limx0li()xg有 ,则 .0(;)xU(f00lim()xxfg定理 3.6（迫敛性）设 ，且在某 内有00li)li()xxA0;U，则有 .()(fhg0h定理 3.7（四则运算法则）若极限 与 都存在，则函数 ，0li()xf0li()xgfg当 时极限也存在，且f0x1） ；0 00lim()li()lim()x xxfgf2） ；0 00g又若 ，则 当 存在，且有0li()xgf3） .0 00()limli()lim()x xxfg定理 3.8（归结原则）设 在 内有定义. 存在的充要条件f0(;)xU0lim()xf是：对任何含于 内且以 为极限的数列 ，极限00n
27、都存在且相等.0lim()nxf定理 3.9 设函数 在点 的某空心右邻域 有定义. 的充要f0x0()Ux0lim()xfA条件是：对任何以 为极限的递减数列 ，有n.lim()nfxA定理 3.10 设 为定义在 上的单调有界函数，则右极限 存在.0()Ux 0li()xf定理 3.11（柯西准则）设函数 在 内有定义. 存在的充要条f0(;)0m件是：任给 ，存在正数 （ ） ，使得对任何 ，有 .0(;)x|()|fxf定理 3.12 设函数 在 内有定义，且有,fgh0U.0()()fxgx（i）若 ，则 ；0limxfA0lim(xhA（ii）若 ,则 .0()lixhBf0)li
28、(xBg定理 3.13（i）设 在 内有定义且不等于 .若 为 时的无穷小量，()Uf0x则 为 时的无穷大量.1f0x（ii）若 为 时的无穷大量，则 为 时的无穷小量.g01g0x第四章定理 4.1 函数 在点 连续的充要条件是： 在点 既是右联系，又是左联系.f0xf0x连续函数的性质：定理 4.2（局部有界性）若函数 在点 连续，则 在某 内有界.f0xf0()Ux定理 4.3（局部保号性）若函数 在点 连续，则 （或 ） ，则对任何正数 （或 ） ，存在某 ，使得对一切0()rfx0()rfx0()x有 （或 ）.xUr定理 4.4（四则运算）若函数 和 在点 连续，则 ， ， （f
29、g0xfgffg）也都在点 连续.0()gx0定理 4.5 若函数 在点 连续， 在点 连续， ，则复合函数fx0u0()fx在点 连续.f0定理 4.6（最大、最小值定理）若函数 在闭区间 上连续，则 在 上f,abf,ab有最大值和最小值.定理 4.7（介值性定理）设函数 在闭区间 上连续，且 .若f,()ff为介于 与 之间的任何实数（ 或u()fab()faub） ，则至少存在一点 ，使得 .()f0,x0()fxu定理 4.8 若函数 在 上严格单调并连续，则反函数 在其定义域f, 1或 上连续.(),fab()a定理 4.9（一致连续性定理）设函数 在闭区间 上连续则 在 上一致f
30、,abf,ab连续.定理 4.10 设 ， ， 为任意实数，则有 .0a,()定理 4.11 指数函数 （ ）在 R 上是连续的.x定理 4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理 4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.第五章定理 5.1 若函数 在点 可导，则 在点 连续.f0xf0x定理 5.2 若函数 在点 的某邻域内有定义，则 存在的充要条件()yfx0 0()fx是 与 都存在，且 .0f 00()fxf定理 5.3（费马定理）设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导.若点f 0x为 的极值点，则必有 .0xf 0()x定理 5.4（达布定理）若函数
31、在 上可导，且 ， 为介于f,ab()fafbk， 之间任一实数，则至少存在一点 ，使得()fafb ,.k定理 5.5 若函数 和 在点 可导，则函数 在点 可()uxv0x()()fxuvx0导，且.000()()f定理 5.6 若函数 和 在点 可导，则函数 在点 可uxv0x()()fxuvx0导，且 .000()()()fuv定理 5.7 若函数 和 在点 可导，且 ，则 在点uxv0x0x()xfv可导，且 .0x0002()()uvf定理 5.8 设 为 的反函数，若 在点 的某邻域内连续，严()yf()xy()y0格单调且 ，则 在点 （ ）可导，且0fx0x.001()fxy
32、定理 5.9 设 在点 可导， 在点 可导，则复合函数u0x()yfu0()x在点 可导，且 .f00 0( ()fxfx定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是函数 在点 可导，而且f0 f0中的 等于 .()yAxA0()fx第六章定理 6.1（罗尔中值定理）若函数 满足如下条件：f（i） 在闭区间 上连续；f,ab（ii） 在开区间 内可导；（iii） ，()f则在 内至少存在一点 ，使得 .,ab()0f定理 6.2（拉格朗日中值定理）若函数 满足如下条件：（i） 在闭区间 上连续；f,（ii） 在开区间 内可导；ab则在 内至少存在一点 ，使得 .,ab()fbaf定理 6.3
33、设 在区间 上可导，则 在区间 上递增（减）的充要条件是()fxI()fxI（ ）.0定理 6.4 若函数 在 内可导，则 在 内严格递增（递减）的充要条f,abf,ab件是：（i）对一切 ，有 （ ） ；,x()0fx()fx（ii）在 内的任何子区间上 不恒为 0.,ab定理 6.5（柯西中值定理）设函数 和 满足fg（i）在 上都连续；,（ii）在 内都可导；ab（iii） 和 不同时为零；()fxg（IV） ，则存在 ，使得 .,ab()()ffbagg定理 6.6 若函数 和 满足：f（i） ；00lim()li()xx（ii）在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；0()Ux()0
34、gx（iii） （ 可为实数，也可为 或 ） ，0()lixfAg则 .00()()limlixxff定理 6.7 若函数 和 满足： fg（i） ；00li()li()xx（ii）在 的某右邻域 内两者都可导，且 ；0U()0gx（iii） （ 可为实数，也可为 或 ） ，0()limxfAg则 .00()()lilixxff定理 6.8 若函数 在点 存在直至 阶导数，则 ，即fn0()()nnfxTx()20 000 0 00()()() )()!nnnfffxfx x定理 6.9 （泰勒定理）若函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在f,abn内存在 阶导函数，则对任意给定的 ，至少存
35、,ab(1)n0,xab在一点 ，使得,() (1)2 10000 000()()() )!nnnfxfxffxfx x定理 6.10（极值的第一充分条件）设 在点 连续，在某邻域 内可导.f0 0(;)U（i）若当 时 ，当 时 ，则0(,)x(0fx0(,)x(0fx在点 取得极小值.f（ii）若当 时 ，当 时 ，0(,)x(fx0(,)x(fx则 在点 取得极大值.f定理 6.11（极值的第二充分条件）设 在 的某邻域 内存在一阶可导，f0x0(;)Ux在 处二阶可导，且 ， .0x()f（i）若 ，则 在点 取得极大值.()ff0x（ii）若 ，则 在点 取得极小值.x定理 6.12
36、（极值的第三充分条件）设 在 的某邻域内存在直到 阶导函数，f0x1n在 处 阶可导，且 ， 则0xn()(1,2)k n ()0fx（i）当 为偶数时， 在点 取得极值，且当 时取得极大f0x()值， 时取得极小值.()0nfx（ii）当 为奇数时， 在点 处不取得极值.f0x定理 6.13 设 为区间 上的可导函数，则下述判断互相等价：fI为 上的凸函数；1为 上的增函数；2fI对 上的任意两点 ，有 .3 12,x21121()()fxffx定理 6.14 设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸（凹）函数的充要fI I条件是 （ ） ， .()0x()fx定理 6.15 若 在 二
37、阶可导，则 为曲线 的拐点的必要条件f 0,()f()yfx是 .()x定理 6.16 设 在 可导，在某邻域 内二阶可导.若在 和 上f00()Ux0()Ux0()的符号相反，则 为曲线 的拐点.()fx 0(,)xf()yfx第七章定理 7.1（区间套定理） 若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的,nab一点 ，使得 ， 即 ，1,2 nnab1,2定理 7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）实轴上的任一有界无限点集 至少有一个S聚点.定理 7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理）设 为闭区间 的一个（无限）开H,覆盖，则从 中可选出有限个开区间来覆盖 .Hab有界性定理 若函数 在闭区间 上连续，则
38、 在 上有界.f,abf,最大、最小值定理 若函数 在区间 上连续，则 在 上有最大值和最f小值.介值性定理 设函数 在闭区间 上连续，且 .若 介于 与f,ab()fafbu()fa之间的任意实数（ 或 ） ，则存在()fb()fu()，使得 .0,xa0x一致连续性定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上一致连续.f,abf,ab第八章定理 8.1 若函数 在区间 上的连续,则 在 上存在原函数 ,fIfIF.(),FxfI定理 8.2 设 是 在区间 上的一个原函数，则（i） 也是 在 上的原函数，其中 为任意常量函数；CfIC（ii） 在 上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数.
39、fI定理 8.3 若函数 与 在区间 上都存在原函数， 为两个任意常数，则gI12,k在 上也存在原函数，且12kfgI.12()()()xdxkfxkgdx定理 8.4（换元积分法）设 在 上有定义， 在 上可导，u,()u,ab且 ， ，并记 .()xab()fxx（i）若 在 存在原函数 ，则 在 也存在原函数g,G()f,，()Fx()xC即 .()()()fddguCGx（ii）又若 ， ，则上述命题（i）可逆，即当 在()0x,ab()f存在原函数 时， 在 也存在原函数 ，且,ab()Fx(),u，1()()GuFC即 .1()()()()gdxdfxFC定理 8.5 （分部积分
40、法）若 与 可导，不定积分 存在，则uvuxvd存在，并有 .()uxv()()()xd第九章定理 9.1 若函数 在 上连续，且存在原函数 ，即 ，f,abF()xf，则 在 可积，且 .,xab()bafxa定理 9.2 若函数 在 上可积，则 在 上必定有界.f f,定理 9.3（可积准则）函数 在 上可积的充要条件是：任给 ，总存在f,ab0相应一个分割 ，使得 .T()SsT定理 9.4 若 为 上的连续函数，则 在 上可积.f,abf,ab定理 9.5 若 为区间 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 上可f,ab积.定理 9.6 若 为 上的单调函数，则 在 上可积.f,abf,
41、ab定理 9.7（积分第一中值定理）若 为 上的连续函数，则至少存在一点，使得 .,()()bafx定理 9.8（推广的积分第一中值定理）若 与 都在 上连续，且 在fg,ab()gx上不变号，则至少存在一点 ，使得,ab.()()baafxgdfxd定理 9.9 若 在 上可积，则 定义的 在 上连续., ()aft,ab定理 9.10（原函数存在定理）若 在 上连续，则 定义的f,b()()xaftd在 上处处可导，且 .,ab (),xadft定理 9.11（积分第二中值定理）设函数 在 上可积.f,（i）若函数 在 上减，且 ，则存在 ，使得g,()0gx,ab.()()baafxdf
42、d（ii）若函数 在 上增，且 ，则存在 ，使得,b()x,()()bafxgf定理 9.12（定积分换元积分法）若 在 上连续， 在 上连续可微，,a,且满足 ， ， ， 则有定积分换()a()b()tbt元公式： .bafxdftd定理 9.13（定积分分部积分法）若 ， 是 上的连续可微函数，则()uvx,a定积分分部积分公式： .()|()b baauvxuvxd 第十、十一章定理 10.1 设曲线 有参数方程 给出.若 为一光滑曲C(),xtytC线，则 是可求长的，且弧长为 .C22()sxtytd定理 11.1 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ，存在 ，只()afxd 0Ga要
43、 ，就有 .12,uG2121()()()uuuaafxfdxfx定理 11.2 （比较法则）设定义在 上的两个函数 和 都在任何有限区,g间 上可积，且满足 ，则当 收,a(),)fxg()axd敛时 必收敛（或者，当 发散时，()afxd (afxd必发散）.g定理 11.3（狄利克雷判别法）若 在 上有界， 在()()uaFfx,)()gx上当 时单调趋于 0，则 收敛.,)ax(afxd定理 11.4（阿贝尔判别法）若 收敛， 在 上单调有界，则()afxd)g,)收敛.()afxgd定理 11.5 瑕积分 （瑕点为 ）收敛的充要条件是：任给 ，存在b 0，只要 ，总有012,(,)ua.2111()(bbuufxdfxfxd定理 11.6（比较法则）设定义在 上的两个函数 与 ，瑕点同时为 ，,fgxa在任何 上都可积，且满足 ， 则当,(ba()x(,b收敛时， 必收敛（或者，当 发散()bagxd()afxd )afxd时， 必发散）.
