1、黄冈教育张家界教育中心 内部使用1二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“ 消元”这个基本思想出发，先把 “二元”转化为“ 一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元” 法中，包含了 “未知”转化到“ 已知”的重要数学化归思想。解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。2、灵活消元（1）整体代入法5. 解方程组yx1423解：原方程组可变形为 521xy继续变形为 3xy代入得： 125x解得： y73方程组的解为 （2）先消常数法例 6. 解方程组 431252xy解：5得： 70xy3代入得：把 代入得：y3所以
2、原方程组的解为 xy3（3）设参代入法例 7. 解方程组 xy3214:解：由得：黄冈教育张家界教育中心 内部使用2设 ，则xyk43xky43，把代入 得： 92解得： 25把 代入，得：kxy856，所以原方程组的解是 y65（4）换元法例 8. 解方程组 xyx2364解：设 ，则原方程组可变形为xyab，解得32640b218所以 xy解这个方程组，得： xy213所以原方程组的解是（5）简化系数法例 9. 解方程组 4312xy解：得： 7所以 xy3得： 14由、得： 0黄冈教育张家界教育中心 内部使用3解三元一次方程组的消元技巧解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是
3、消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数例 1解方程组24395167.xyz， ， 分析：方程组中含 的项系数依次是 4，2，6，且 4=2（2） ，6=23.由此可先y消去未知数 .解：+ 2，得 ，813xz3- ，得 ， 40解由、组成的方程组，得 ，13xz把代入，得 ，12y所以原方程组的解是 .312xyz二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未
4、知数.例 2解方程组347958.xyz， ， 分析：因为方程中缺少未知数 项，故而可由、先消去 ，再求解.y解：3+ ，得 ，1035xz解由、组成的方程组，得 ， 2x把代入，得 ，3y所以原方程组的解为 .512xz三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.黄冈教育张家界教育中心 内部使用4例 3解方程组27534.yxz， ， 分析：很明显，在方程、中，分别缺少未知数 、 的项，而都含有未知数 的项，从而zyx可用含 的代数式分别表示 、 ，再代入就可以直接消去 、 了.xyz z解：由，得 ， 314zx把、代入，得 ， 2把
5、代入，得 ， y把代入，得 ，1z所以原方程组的解是 .231xyz四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元1整体代入法即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.例 4解方程组5143820795.xyz， 分析：注意到中的 ，这就与有了联系，因此，可化为1(3)xy，把整体代入该方程中，可求出 的值，从而易得 与 的值.5(32)638xyzzxy解：由，得 ， 5(2)68xyz把整体代入，得 ，把 代入、，得 . 2z153079yx解，得 .31xy所以原方程组的解是 .2xyz2整体加减法黄冈教育张家界教育中心
6、 内部使用5例 5解方程组15.xyz， 分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为 1，故可采用整体相加的方法.解：+ ，得 ， 17xyz再由分别减去、各式，分别得 ， ， .3z6x8y所以原方程组的解是 .683xyz3整体改造例 6解方程组20148775.xyz， ， 分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系： 中含 、 项的系数是中对应系 yz数的 4 倍；中含 、 项的系数是中对应系数的 27 倍.因此可对 、进行整体改造后，xz 综合加减法和代入法求解.解：由、，得 74(2)72.yzx， 再将代入、，得 ， .把 、 的值代入，得 .1xy1z所以原方程组的解为 .xyz4参数法例 7解方程组 3452.xyz， 分析：由于 ，所以可设 ，则得345xyzk， ， . 3xk4y5zk代入可得 ，代入易求 、 、 .2xyz解：设 ，则得黄冈教育张家界教育中心 内部使用6， ， . 3xk4y5zk代入，得 ，代入，得 .26810xyz评注：这里的 被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知k数 、 、 的直接变换消元，从而大大减少了运算量.xyz
