1、第三节 全微分及其应用分布图示 偏增量与全增量 全微分的定义 可微的必要条件 可微的充分条件 例 1 例 2 例 3 例 4 多元函数连续、可导、可微的关系. 全微分在近似计算中的应用 例 5 绝对误差与相对误差 例 6 例 7 内容小结 课堂练习 习题 83 返回例题选讲例 1(E01) 求函数 的全微分.62354yxz解 因为 ,01,05263yxyxz .)3()4( dyxdd例 2 (E02) 计算函数 在点 (2, 1)处的全微分.xyez解 ,xyez,2)1,(x,2)1,(eyz所求全微分 .2dedz例 3 求函数 的全微分.yzxusin解 由 ,1x,2cosyze
2、yu,z故所求全微分.)2cos1(dzyezydxu例 4 (E03) 求函数 的偏导数和全微分 .zy解 zzyxxu1zz yzy x lnl1yxzuzzyz lllndzud .lnlnydzxdyxzxyzz例 5 (E04) 计算 的近似值 .02.)41(解 设函数 .,yxf.02,4.,yx,),(1)2,(1xf ,ln)(fyy ,0)1(,)(yxff由二元函数全微分近似计算公式得 02.4.)04.(2. .8例 6 测得矩形盒的边长为 75cm、60cm 以及 40cm，且可能的最大测量误差为 0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大
3、误差.解 以 、 、 为边长的矩形盒的体积为xyz ,xyzV所以 dzyVdx .d由于已知 为了求体积的最大误差,取,2.0|x,.|2.0| ,2.0dzyx再结合 得,4,6,75zydV 2.0675.475. ,198即每边仅 0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到 3cm例 7 利用摆摆动测定重力加速度 的公式是 现测得单摆摆长 与振动周期g.42Tll分别为 、 . 问由于测定 与 的误差而引起 的绝对误差和Tcml1.0sT042 g相对误差各为多少?解 如果把测量 与 时所产生的误差当作 与 则题设公式计算所产生的误lT|l|,T差就是二元函数 的全增的绝对值 由于 都很小，因此可用 近似24g.|g|l、 dg的代替 这样就得到 的误差为.gdTlgTglg,21432Tl其中 与 为 与 的绝对误差.lTl把 代入上式，得 的绝对误差约为04.,1,210Tl.243g25.0)./cm93.42s（从而 的相对误差为g %./)104(5.22g课堂练习1. 讨论函数 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?0,0224yxz2. 设 求,),(1zyxf).,(df
