1、1,数理统计在工艺验证中的应用,一、常用数理统计方法工艺试验：优选法、正交试验等工艺验证：统计检验-t、F、CV、符号等；统计工具-控制图、直方图、相关与回归、方差分析等。,2,二、基本概念,（一）基本点1、数理统计是以概率论为基础建立的应用数学；2、 产品质量的波动遵循一定的统计规律；3、质量控制的重点是控制系统原因所造成的波动。 （二）特点1、由局部推断总体；2、以概率的大小作出推断。,3,（三）基本内容,1、统计观察方法的设计；2、统计资料的分析；3、统计规律的实际应用。 （四）含义数理统计就是通过对样本的分析来估计和推断总体。,4,（五）名词解释,1、名词：（1）总体-指所要研究对象的
2、全体；（2）个体-指组成总体的每一个基本单位；（3）样本-从总体中随机抽出的一部分样品。样本中所含个体的个数为样本的大小。2、抽样要求：随机性、独立性、代表性。3、抽样方法：单纯、系统、分层、整群等随机抽样方法。,5,4、分布：,常见的概率分布有-正态分布、t分布、x分布、F分布、二项分布、泊松分布等。 （1）正态分布的性质：1）正态分布的平均值 、曲线达最大值；2）曲线与横坐标围成的区域总面积为1；3）对的正、负偏差绝对值相等时的概率相等；4）近的X概率越大，远离的X概率越小；,6,（2）正态分布 （三要领）,1） 正态分布的位置由平均值 决定；2） 标准偏差 决定正态分布形状；3）特性值落
3、在3 的概率为99.7%。 三、统计量1、表示中心趋向的统计量；（1）平均值（X）- 各个测量值之和除以测量次数的商；1n,X =, Xi （样本的平均值）,=1 =2,7,（2）中位数（X）,数据大小顺序排列的中间数。 2、表示离散程度的统计量； （1）极差 （R）一组数值中最大测量值与最小测量值之差。R = XmaxXmin（2）标准偏差（s）所有数据对平均值的平均偏离程度。（Xi - X ）n-1 （样本的标准偏差）,S =,8,标准偏差来源1) 偏差 （Xi-X）2)偏差和 正负偏差相加和为03)偏差平方和 S= (Xi-X)24)方差 S2 =S/n5)标准偏差 S= S2,9,标准
4、偏差的性质,1标准偏差的大小，与坐标 原点的位置无关；2标准偏差不取负值，数值 大小，可衡量数据的离散程度；3标准偏差的单位与数据测量单位一致；4曲线在 1 处的几何意义，上部曲线向下凹， 下部曲线向上凹； 5 越大，数据越分散， 越小，数据越集中;6标准偏差比极差反映离散程度更精确，它利用了全部数据提供的信息。, =1 =1.5,10,四、常用统计方法,（一）统计检验1、基本概念：（1）误差随机误差-受偶然因素影响或测试不准造成；条件误差-工艺条件改变造成。 统计检验是区分这两类误差的一种科学方法。,11,（2）自由度（f or n）,指对平均值独立的数据个数。f = n-1 （3）置信度（
5、）概率判断的可靠性程度，也称显著性水平，一般取值0.050.01 。 2、变异系数（CV） 或称相对标准偏差（RSD）反映数据的相对波动大小。SX,CV =,12,示例1,对气相层析的实验人员进行技术考核，进样10次，每次0.5l，得色谱峰高为：142.1 147.0 146.2 145.2 143.8 146.2 147.3 150.3 149.9 151.8（mm）X=146.98 S=3.00 CV=2.04%有经验的色谱工作人员很容易将CV控制在1%以内,可认为该实验人员的技术还不够稳定,操作不够熟练.,13,3、假设检验,（1）基本概念：假设总体具有某种特性，抽取样本，统计分析，依据
6、“小概率事件”原理进行检验判断。小概率事件-在一次观察中可以认为基本上不会发生，通常指概率不超过0.050.01的事件。（2）步骤1）设H0， 2）选统计量， 3）确定统计量的分布， 4）由样本值计算出统计量值， 5）给定显著性水平， 6）作出统计推断（接受或拒绝）,14,（3）t 检验：,常用于平均值的检验| t |值、P值与差别的意义,15,示例2 样本均数与总体均数比较,某药片标准重为100毫克，抽25片分别称重，检查压片机工作是否正常？ 计算得样本均数为98.4毫克，标准偏差为4.5毫克。X = 98.4 S= 4.5 0=100 n=25 1）检验假设： = 0 2）计算统计量： |
7、 X - 0|S 3） 确定概率：P n=25-1=24 查t值表,t0.05(24)=2.046, 1.778 0.05 4）判断结果：样本均数98.4毫克与总体均数100毫克没有显著性差别，压片机工作正常。,t =,n = 1.778,16,示例3 两个样本均数的比较,同一品种，不同产地的药材提取出膏率的比较。 在规定的相对密度条件下测得两组数据：A 46 40 38 48 48 60 46 36 58 46 48 44（kg）- (1组)B 54 46 50 52 52 58 64 56 54 54 58 36（kg）- (2组) 1）检验假设：1 = 2 2）计算： | X1 X2 |
8、 S1 S2 t = 2. 20n2 n1( X1=46.5 X2=52.8 S1=7.09 S2=6.95 n1=12 n2=12) 3) 确定概率：P n= n1 + n2 2=22 t0.05(22)=2.07t =2.20 t0.05(22)=2.07, P 0.05 4) 判断结果：两地药材出膏率有显著性差别，应指定产地。,+,t =,17,（二）相关与回归,1、相关分析 （1）变量关系：1）完全确定性关系-一个变量的取值完全由另一个变量的取值确定； （函数关系）2）非确定性关系-两变量间有密切关系（相关关系） （2）相关分析的目的1）确定两变量间是否存在相关关系；2）确定相关关系的
9、性质，即相关的正负；3）确定两变量间的相关程度；4）确定具有相关关系变量间定量关系。,18,（3）相关系数性质,r = Lxy / Lxx Lyy1）-1 r 1 相关系数在-11之间；2）0 r 0 r 0为负相关 0 r为正相关；3） r = 0 两变量间完全不相关；4）| r |=1 两变量间完全相关，函数关系；5） | r |大小，反映相关的强弱,19,（4）相关系数的检验,示例4分析中药材水提浸膏与醇转溶浸膏间的关系（控制相对密度在规定范围内）1）确定研究对象； 2）收集数据填表；,20,3）计算：,x = 26.68 y =18.35 r =0.91 a = 2.76 b=0.58
10、 4）检验：n=n-2=15-2=13 取= 0.01，则r 0.01（13）=0.641 5）判断：| r| r 相关， r为正值，正相关。水提浸膏与醇转溶浸膏间有非常显著的正相关关系。2、回归分析 （1）回归的性质：研究两变量间的函数关系称回归分析。,21,（2）回归方程的确定：, = a + bx 直线与全部观测值yi的偏差平方和最小的一条。 （3）回归线意义：回归线是所有点子的中心线；直线上方各点离线的距离之和与直线下方各点离线的距离之和相等； 直线必定通过 x、y； = a + bx a=0时，直线通过原点；b=0时， = a ； b=1b=1时， = a+ xx、y 增加量相等，直
11、线斜率45 45,22,（4）示例4分析,1）配制回归方程直线 = 2.76+0.58 x该直线为y对x的 = 2.76+0.58 x 回归线2）作图 选任意两个x 值，按上式计算，得 相应的y值，两点连线 ，即得回归直线。 （见附图）* 平均值,23 24 25 26 27 28 29 30 水提浸膏kg,20 19 18 17 16 15, , * ,23,当醇转溶浸膏量内控标准定在 18kg1kg时，即控制在y =1719kg/批，需控制水提浸膏量可由回归方程计算得 = 2.76+0.58 x设： =17kg为ya =19kg为yb 则： ya = 2.76 + 0.58 xa ， xa
12、 =24.6kg yb = 2.76 + 0.58xb ， xb =28.0 kg 即水提浸膏量应控制在24.6kg 28.0kg范围内,以此可定出药材的内控标准，控制药材出膏量投料，保证制剂的质量。 当得到任一x值，即可在直线上查到相应的y值。,24,3）检验, 直线通数 x 、y 值。（x=26.68、 y=18.35）见附图 *点。 回归线精度可以用 2s即95.5%的概率来控制。 则回归线精度为：= 2sS 为 剩余标准偏差 S = （1 r ）Lyy / n-2 Lyy=y2-ny2=5074.66-5049.00=25.66 S= (1 0.91 ) 25.66/15-2=0.58
13、,25,ya=ya + 2s=17+20.58=18.16 ya“ =y 2s=17- 2 0.58=15.84 yb= yb + 2s=19+20.58=20.16 yb“ = yb 2s=19-20.58=17.84以xa=24.6和ya=18.16、xb=28.0和yb=20.16两点连出上控制线xa =24.6和ya“=15.84、xb =28.0和yb“=17.84两点连出下控制线见(124)附图 两条虚线，从图上可以看出本例95%点子在两条虚线范围内,26,（三）控制图1、作用科学的反映产品的质量动态和趋势；对历史生产情况的系统了解；提前发现异常隐患，体现预防为主的原则；可进行现场
14、质量的动态监控。,27,2、来源：,TL TU,-3,+3,正态分布图,X+3s,X- 3s,x,CL,TU UCL,LCL TL,控制图,28,3、控制图特点,样本的平均值 x 为 中心线 CL X +3s 为上控制线 UCL X-3s 为下控制线 LCL X 3s 范围为区，是安全区，区间概率为99.73% x3s 区 x 4s 是警戒区，区间概率为0.27% 区 x 4s 是废品区,29,4、原理 正常波动产品质量的波动性异常波动3 原则 3小概率事件原则样本分布的动态性质量的动态过程时间的动态性,30,（1） 按用途分类 分析用控制图 控制用控制图（2） 按所需控制的系统因素分类 休哈
15、特控制图选控图（3）按质量特性值进行分类 计量值控制图 计数值控制图,5、控制图分类 一般按以下三种方法分：,31,数 值 控 制 图 名 称 控 制 图单值控制图 X 图计 单值移动极差控制图 XRs 图 量 平均值极差控制图 XR 图 平均值标准差控制图 XS 图值 中位数极差控制图 XR 图单值平均值极差控制图 XXR 图计 计数 不良品率(频率)控制图 Pn 图数 不良品数(频数)控制图 P 图值 计点 单位缺陷数控制图 U图缺陷数控制图 C 图（按质量特性值分类表）,32,常用以下两种控制图：,33,适用条件：,（1） XRs一般用于在一定时间内，每次只能取得一个数据，即数据不能成组
16、。优点是能较快判断工序情况，缺点是因为没有组内极差，精度较差。（2） XR 图 XR 图是由平均值和极差两图组成，适用于批量较大，生产较稳定的工序。 在 XR 图中，X图主要观察和分析数据分布的平均值的变化，R图是观察和分析散差的变化，在作图时，数据经合理的分组，所以反映问题的代表性强，精度高，检出力好。,34,6、作图步骤,（1）内容：1）数据表 记入必要事项与数据。2）控制图 纵坐标为样本质量特性，横坐标为样本号；平均值为中心线，正负三倍标准偏差处为上下控制线；注明相关内容和数据。,35,（2）步骤：,示例5颗粒剂产品装量规格标准为 5.0g/袋7%，灌装岗位中间产品内控标准 为5.0g/
17、袋6%，分析其工序稳定情况。经查灌装岗位中间产品质量检测数据齐全，符合回顾性验证条件，随机取样后作控制图分析。,36,1）控制对象质量特性值为装量，测 试后计算单位g，最小测量值0.05g,2）收集数据填表 -RS 图数据表 (见下表) 取样方法: 随机取样某月共生产25批，产品质量 测试数据25个，作-RS 图分析。,37,38,3）计算,样本平均值 （）=1/K =1/25（4.95+4.80+ 5.05）= 4.976 样本移动极差（RS）RSi=|i-i+1|如 RS1=|1-2|=|4.95-4.80|=0.15RS2=|2-3|=|4.80-5.05|=0.25RS24=|24-2
18、5|=|5.05-5.05|=0移动极差平均值 （RS） RS=（K-1）(RS1+RS2 +RS24)=0.10,1,39,计算控制线:,X 图控制线 中心线 （CL） CL=X=4.976 上控制线 (UCL) UCL=X+E2RS=4.976+2.660.10=5.242 下控制线 (LCL）LCL=X-E2RS=4.976 -2.660.10=4.710 RS图控制线 中心线 （CL） CL=RS=0.10 上控制线（UCL) UCL=D4RS=3.270.10=0.33 下控制线（LCL） LCL=D3RS （不考虑）,40,E2 D4 D3 查控制图系数表n 为2时 E2=2.66
19、 D4=3.267 D3为负数 4）作图以装量和移动极差为纵坐标，样本号为横坐标，标上数值后，分别画出X图和Rs图的控制线，画点连线，注上相关内容和数据。 （中心线为直线，上下控制线为虚线；）,41,5）分析与判断见76）与规格标准比较或计算Cp值（见8）7）修正控制线进行日常监控 7、控制图的分析与判断 （ 1 ）判断正常必须同时满足以下两条:1） 所有点子在上下控制线内；2） 线内点子随机排列无缺陷。,42,（2）以下情况可判断工序出现异常1）点子超出控制界限范围；2）线内点子排列有缺陷。(点子未出界)经概率计算分析下列情况属点子排列缺陷。单侧性排列 （ 图1）当点子在中心线一侧 连续出现
20、超过七点或10 / 11, 12 /14, 14 /17, 16 /20 等情况 可判为异常。 图1,CL,43,趋势性排列（图2）,生产稳定时，各点 互为独立，当点子出 CL 现连续上升或下降超 过七点时，可判为异 常。 （图 2）突发性排列（图 3）点子连续几次大 幅度排列，或常常 x2S 接近控制线，即 X 2S 以外，可判 为异常。（2 / 3）点 （图 3）,44,过分集中排列 （图4）,所有点子连续在中 心线附近排列，即在 X S 内，达11点以 上，可判为异常。（图 4）周期性排列 （图 5）点子排列按一定 间隔重复出现，呈 现一定的规律性。 可判为异常。（图 5）,XS,45,
21、8、与规格标准比较,（1）控制界限与公差界限公差界限即规格标准的上下限，以Tu，TL表示，它与控制界限的区别见下表： 公 差 界 限 控 制 界 限 制订依据 产品性能规格标准 产品质量分布数据 意 义 衡量产品质量的 衡量工序稳定的概技术界限 率界限 范 围 T=Tu-TL B=UCL-LCL=6S 作 用 判断产品合格与否 判断工序稳定与否,误判情况 不出现 必然会出现,46,（2）判断 主要从分布中心的偏离情况和数据的离散程度两个方面分析比较，归纳下表：,47,9、注意问题,1）确定控制对象（质量指标）应有数值。 2）一张控制图分析数值只是质量特性值中的一项。 3）控制图能提前起报警作用
22、，仍要分析异常原因。 4）条件变化或长时间后应重作图分析。 5）控制图中分析的质量标准宜采用内控标准。 6）不能用规格界限来代替控制界限。 7）控制图分析全过程的记录应归档保管。,48,示例分析：,CL,UCL,LCL,CL,UCL,5.2424.9764.7100.10,0.33,X 图,RS图,49, X图与RS图中所有点子未出上下控制线；线内点子除个别外，其它点子排列无明显缺陷。X图中26点的数据波动较大，2、4、6点接近X2S，而RS图的3、5点已超出RS 2S，有突发性排列倾向，说明生产中可能有不稳定因素存在，应查找原因，控制波动。 计算Cp值： CpK=T/6S（1-K）=0.92
23、 显示工序能力不充分,总体中会有部分产品装量差异超出内控标准范围。 监控：由于S偏大，控制图不理想，不适宜延长控制线作日常监控用，应重新取样、计算、作图、分析后定。,50,（四）工序能力与Cp值,1、工序能力（B）（1）含义：在一定时间内工序处于稳定状态下的实际加工能力。（2）测定：B= 6S1）是工序的一种可以量度的特性；2） 反映与公差无关；3）在正态分布情况下，6范围内的概率为99.73%。,51,2、工序能力指数（Cp）,（1）含义：产品公差范围（T）与工序能力（B）之比。 （2）测定：1）双向公差： M=X：Cp=T/B=（TU-TL）/6S MX：Cpk= Cp（1-k）=T/6S
24、（1-2E/T）绝对偏移量 E=|M-X|修正系数 k=2|M-X|/T,52,M 规格中心 M=TU+TL / 2 T 规格范围 T= TU -TL 2）单向公差 规格上限（Tu） Cpu =（Tu-X）/3S 规格下限（TL）：CpL =（X-TL）/3S,TL,TU,X M,E,T,53,双向公差 MX时可简化计算：XM：Cpk=Cpu ， XM：Cpk= CpL示例5质量标准为每袋克（规格中心） M=5数据平均值 （分布中心） X=4.976 数据标准偏差 （计算得到） S=0.1 质量标准规格 T= Tu - TL = 0.6由于M=5,而 X=4.976,则按双向公差时,需修正 Cpk =T/6S(1-2E/T)=0.6/ 0.6(1-2|5-4.976|/ 0.6 ) =0.92 简化计算, 由于本例XM ,所以Cpk= CpL ，直接以CpL计算CpL = (4.976-4.7)/3 0.1=0.92,54,3) Cp为0：, 只有规格上限，TU X， 只有规格下限，X TL， （3）工序能力分析：工序能力达不到规格公差要求，从产品质量分布反映有两种情况：1）分布中心偏离规格中心：XM2）标准偏差过大：B T,55,3、工序能力等级评定表,针对不同情况,采取相应措施,如公差范围、波动幅度、精度要求、检验检查、抽样方式、过程监控、改进工艺等。,
