1、留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法1. 预备知识孤立奇点1设 在点 的
2、某去心邻域内解析，但在点 不解析，()fzaa则称 为 的孤立奇点.例如 ， 以 为孤立奇点.sinz1ze0以 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.z0以 为奇点（又由 ，得 故 不是孤立奇1sinz1sinz1(,2.)zk0z点）2设 为 的孤立奇点，则 在 的某去心邻域内，有a()f ()fza称 为 在点 的主要部分，10() ，nnnnfzc)=1nc()fza称 为 在点 的正则部分，0nn()fza当主要部分为 时，称 为 的可去奇点；f当主要部分为有限项时，设为 (1)1(0)()mmcczazza称 为 的 级极点；当主要部分为无限项时，称 为本性奇点.a()fzm2. 留数的
3、概念及留数定理1. 留数的定义设函数 以有限点 为孤立点，即 在点 的某个去心邻域fzafza内解析，则积分 为 在点0zaR 1:,02fdRi fz的留数，记为： ezasf2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设 是由复周线 所围成的有界连通区域，函数D012CnC在 内解析，在 上连续，则 fz_D0Cfzd定理 1 （留数定理） 设 在周线或复周线 所范围的区域 内，除 fz D 外解析，在闭域 上除 外连续，则（ “大范围”12,a,n_12,a,n积分） 12ReknzaCfzdisf（1）证明 以 为心，充分小的正数 为半径画圆周 （ kak:kkz
4、,2）使这些圆周及内部均含于 ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理,nD得 ，1knCfzdfzd由留数的定义，有2Rekk zafzisf特别地，由定义得 ，kk zd代入（1）式得 12eknzaCfzisf定理 2 设 为 的 阶极点，af，nzfa其中 在点 解析， ，则za01!nzaResf这里符号 代表 ，且有 0a11limnnza推论 3 设 为 的一阶极点， ，fzf则 zaResf推论 4 设 为 的二阶极点， ，afz2zaf则 zaesf3. 留数的引理引理 1 设 沿圆弧 ( ， 充分大)上连续，且fz:iRSze12R于 上一致成立(即与 中的 无关)，则li
5、mRzfR121limRSfzdi引理 2(若尔当引理) 设函数 沿半圆周 ( ， 充分g:iRze0R大)上连续，且 在 上一致成立，则li0RgzRli0Rimzed引理 3 (1)设 为 的 阶零点，则 必为函数 的一阶极点，并afznafz且；zafResn(2)设 为 的 阶极点，则 必为函数 的一阶极点，并且bfzmbfzzbfResm3. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则 1：如果 为 的简单极点，则0z)(f)(lim,Re000zfzsz法则 2：设 ，其中 在 处解析，如果 ， 为)(zQPf),Q00)(zP的一阶零点，则 为 的一阶极点，且)(zQ0f. )(),(
6、Re0zPzfs法则 3：如果 为 的 m 阶极点，则0z)(f.)(li!1,e 0100 zfzdzfs mmz）（2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在)(zf内）为 ，则 在各点的留数总和为零.,21nzz )(zf关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： .21Re,e(),0sfzsfz（ ）例 1 求函数 在奇点处的留数2()1izf解 有两个一阶极点 ，于是根据（6.5）得()fzzi2()Re(,iPesfiQ2()Re(,iPesfiQ例 2 求函数 在奇点处的留数3co)zf解 有一个三阶极点 ，故由（6.
7、7）得()fz03001cs11Re,lim()li(cos)222z zs4. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分1. 形如 型的积分20cos,infxd这里 表示 的有理函数，并且在 上连续，把握,if ,six0,2此类积分要注意，第一：积分上下限之差为 ，这样当作定积分时 从 经历2x0变到 ，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周第二：被积函数是以正2弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设 ，则 ，ixzedzi， 得21sinixiez21cosixiez2 210cs,in,zzdfxdfi1Rek
8、nzisf例 1 计算 2053cosdI解 令 ，则ize2 21053cos30zdI dziA123zdziA13Re3zisz2例 2 计算 2203cosdxI解 22 210 1s3z dzI ixA2143zzdzi，1243zizA由于分母有两个根 ，其中 ，12,zz12,z因此 I142Re43zis2 . 形如 型的积分fxd把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一： ，其中 ， 均为关于 的多项式，且分母PzfQzQz的次数至少比分子 的次数高两次；第二： 在半平面上的极点为Qz f（ 1，2，3， ） ，在实轴上的极点为 （ 1，2，
9、3， ）则k nkxn有 12Reknzfxdisf例 3 计算 241I解 取 ，22421zzf 孤立点为 ，其中落在上半1234313,22zizizizi平面的为 ， ，故13。21Re3kzIisf例 4 计算 20xIda解 由于 ，且上半平面只有一个极点 ，因此2limzia2xIa2Rezais2zaiii2a3 . 形如 型的积分imxPedQ1) 留数公式定理 2 （若尔当引理）设函数 沿半径圆周 （ ）1 gz:Reiz0上连续，且 在 上一致成立，则 li0RgzRlimRimgd证明 ，使当 时，有 ,0,Rz于是 Re sin0 0iRimzimi mgedgded
10、 （2）这里利用了 以及Re,iigRResincossinimmRRe于是由若尔当不等式 （ ）将（2）化为2sin0si0RimzmRgeded2021RmRee即 limRimzged2) 举例例 5 计算 210ixI解 不难验证，函数 满足若尔当引理条件2izefz这里 ， ，函数有两个一阶极点 及 ，1m210gz13zizi313213Re 6iizzi zieesf 于是 20ixId316iei33cosincos1ine4. 形如 和 型积分PxmdQiPxmdQ定理 3 设 ，其中 和 是互质多项式，并且符合条1gzx件：（1） 的次数比 的次数高；QxP（2）在实轴上
11、；0Qx（3） 0m则有 2Rekimx imzzaigedsg （3）特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如及 的积分cosPxmdQsinPxdQ例 6 计算 2cos19xI解 利用 以及若尔当引理，且分母在上半圆只有20zz两个孤立奇点 和 ，得到i3i2cos19xI223ReRe19iz izzi ziess 222319iz izzi zii 3Re648eii2314例 7 计算 （ ） 40sinxmIda0,a解 被积函数为偶函数，所以，40sixI441si122imxxeida设函数关系式为 ，它共有四个一阶极点，即4imzefa（ ）24kikae0,123得
12、（ ） ，4Rk kimzzaaesf0,123因为 ，所以 在上半面只有两个一阶极点 及 ，于是0fz 0a14 402Rekmkimx imzzaedisa ，2in故 40sixIda241sin2maimxeiie小结:正确的运用留数可以有效的解决一些复杂的定积分问题，留数定理是学习辐角原理的基础，在复变函数的学习中有着重要的作用，是复变函数的基础理论之一.上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.参 考 文 献1钟玉泉.复变函数论M高等教育出版社，2004.2盖云英.复变函数与积分变换指导M科学出版社，2004.3王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解M中国时代经济出版社，2008.4王瑞苹.论留数与定积分的关系J菏泽学院学报,2005.5余家荣. 复变函数论M高等教育出版社，2004.6李红,谢松发.复变函数与积分变换M华中科技大学,2003.
