1、分类讨论思想在函数中的应用分类讨论思想在函数中的应用美发中学 林奕杰一教学内容分析分类讨论思想是数学解题中的一个重要思想方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的;运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类思想中最重要的原则是“不重不漏“。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。 分类讨论思想在初中数学中
2、占有重要地位是中考的热、难点，初中数学中有许多体现“分类讨论“ 思想的知识和技能，无论在代数还是几何中都能找到，它们分布在概念的定义、定理的证明、运算的法则(性质)、图形（像）的性质和具体问题的解决中，一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：;其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题函数在数学课程中一直占据着非常重要的地位,尤其在初中阶段,它不仅有着基础性的重要功能与广泛的实际应用,而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用,是整个数学课程中最为主要的内容之一。在函数教
3、材中蕴含丰富的数学思想如转化思想、模型思想、数形结合思想、分类思想等，感悟这些对今后数学学习及学生生活都将发挥重要作用。具体到分类思想，从求函数的自变量的取值、解析式的求解、性质的内容以及利用函数求解问题中都要分类讨论。本节课借助函数的具体知识来贯穿分类讨论思想的应用。二学情分析本节课是学生初步接触了函数，学习了平面直角坐标系、函数概念、一次函数(正比例函数） 、不等式与不等式组与一次函数的联系、反比例函数的基础上进一步渗透分类讨论的思想，从而提高学生能力、培养数学思维。八年级的学生已经具备一定的抽象思维及分类讨论的能力，但由于刚学完函数的一些基本知识，还存在对这部分知识掌握不牢固、理解不深刻
4、、综合应用能力不强等问题三教法与学法分析基于以上分析，本节课问题在于教学中如何去渗透，特别是如何把握渗透的“度“。 分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。教学中应首先注意控制好难度，循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，螺旋上升，分门别类形成对分类思想的主动应用四 （一）教学目标：1.知识与技能目标：结合函数具体问题，初步掌握分类的方法及原则；2.情感与态度：领会分类讨论解决函数问题的优点，感受
5、数学思想方法的魅力；3.过程与方法：通过观察、比较、分析、讨论、归纳，让学生逐步体会分类讨论的必要性，学会分类、提高能力。（二）重难点：分类的必要及方法；五教学过程【引题】1. 平面直角坐标系中，P 为 x 轴正半轴上一点、O 为坐标原点，且OP=2，则 P 点坐标为 ；变形 1）平面直角坐标系中，P 为 x 轴上一点、O 为坐标原点，且OP=2，则 P 点坐标为 ；2）平面直角坐标系中，P 为坐标轴上一点、O 为坐标原点，且OP=a(a0)，则 P 点坐标为 ；师问：1）变式 1 和母题的区别是什么？二者答案一样吗？2）变式 2 和 1 有何区别？通过这 3 题的比较，在解法上我们应注意什么
6、？（引入课题“分类讨论思想在函数中的应用“）设计意图：通过变式教学，引导学生主动发现分类的需要，体会分类的讨论必要性【例 1】如图，直角坐标系中，O 为坐标原点，A（-3，3） 。（1）线段 OA= ；（2）P 为坐标轴上的点，若POA 是以 OA 为一腰的等腰三角形，则满足条件的 P 共有 点，它们的坐标分别是 ；变形：现将（2）改为：P 为坐标轴上的点，若POA 是等腰三角形，则满足条件的 P 共有 点，它们的坐标分别是 .归纳：师问：1）导致问题 2 和变形题出现多个答案的原因是什么？2）你的答案是否完整？在讨论过程中，我们应注意什么？设计意图：引导学生认真审题主动发现题目背景的多样性及
7、条件的不明确导致分类讨论的必要，注意讨论的“不漏“性。【例 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从 D 点出发，沿 D-C-B-A 以 1 个单位/秒的速度运动，请求出APD 的面积 y 关于时间x（秒）的函数关系式，并画出这个函数图像。师：1）这题的解析式是否可以用一个式子就可以表示出来？应分几种情形讨论？2）解运动的问题应注意什么？3）本题分类的原因是什么？解：当 P 点在线段 DC 上运动时，即 0x4，当 P 点在线段 BC 上运动时，即 4x8，当 P 点在线段 BA 上运动时，即 8x12，设计意图：本题改编自复习题 A 组第 9 题，目的引导学生主动发现运动问题中，
8、动点位置的多种可能、表达式的非唯一产生分类讨论必要【例 3】直线分别交 x、y 轴于 A、B 两点，O 是原点.（1）求AOB 的面积；（2）过 O 点能不能画出直线把AOB 分成面积为 1：2 的两部分？若能，可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数关系式.师：1）本题应先把大致的图像画出来；2)问题 1 考察了哪些知识点？3）问题 2 先把两直线的交点用含 k 的式子表示，涉及了参数运算，请大家务必掌握；4）本题分类的原因是什么？解：（1）令 x=0,则 y=-2；令 y=0，则 x=3，A(3，0),B(0，-2)AO=3，BO=2(2)有 2 条。设所求直线为 y=kx（k0）,交直线
9、 AB 于 C因为 C 为两直线的交点，所以有解得所以当当综上，有两条直线满足，分别为设计意图：本题改编自复习题 C 组第 18 题，结合常见考题，目的引导学生主动发现结论的多样性导致分类的需要。【例 4】直线与双曲线在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）师：这题应分 k 的符号来讨论。设计意图：引导学生主动发现由于性质本身的需要对参数讨论产生分类的需要。【小结】每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们今天所遇到的数学问题中，有些问题的背景多样、条件不明确（例 1） ；有些问题的结论不是唯一的（例 3） ，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式研究（例 2
10、） ；还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决（例 4） ，由上述几类问题可知，把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决（化整为零） ，这种按不同情况分类，逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 分类的原则：不重不漏即（1）分类中的每一部分是相互独立的，；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行 【作业】1. 一次函数中，当时，相应的 y 的取值为，求 k,b 的值。2. P（-2，1）为平面直角坐标系中的一点，过 P 作 PAy 轴与 A，O为坐标原点，T 为坐标系中的一点，若以 A、O、P、T 为顶
11、点的四边形是平行四边形，求 T 的坐标。3. 已知一次函数的图像过点 M（0，3） ，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为 3，求这个一次函数的解析式。4.如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，将OAB 绕点 O 逆时针方向旋转 90后得COD。（1） 写出 C、D 的坐标；（2） 设直线 CD 交 AB 于点 M，求 CD 的解析式及 AM 的长；（3） 在 y 轴上是否存在点 P，使得BMP 是以 BM 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 P 的坐标，若不存在，请说明理由。【教学反思】本节课，我从函数与分类讨论思想的结合处入手，注意到学生刚学完函数的实际情况，有意识的控制难度设置了不同类型产生分类讨论的问题，引导学生循序渐近、逐步深化，并采用灵活多变和有效的教学手段让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，螺旋上升，分门别类形成对分类思想的主动应用。但由于量比较多，所以时间比较紧张，可能会导致时间来不及。?“问题解决，提质增效“优质课教学设计
