1、磁场力的冲量公式及其应用于正荣( 盐城市伍佑中学 , 江苏 盐城 224041 电话：13276200711)在高中电磁学习题中，有一些问题需要用到动量定理来求解。这些问题又往往会涉及磁场力冲量的计算。磁场力通常指洛伦兹力和安培力，许多时候，它们是变化的，为了计算它们的冲量，本文介绍一个实用的公式。1磁场力冲量的公式1、洛伦兹力的冲量。如图 1 所示，设带电粒子的电荷量为 q，在磁感强度为 B 的匀强磁场中做曲线运动，运动方向与磁场方向垂直。现研究该粒子从 M 位置沿任意路径运动到 N 位置过程中洛伦兹力的冲量。将粒子运动的路径无限分割，则在各个分割所得的元过程中，洛伦兹力可以看成恒力，它对粒
2、子产生的微元冲量为，其中的 为元过程sqBtvtfI冲 s的位移。由于洛伦兹力 的方向与元位移 的方向垂直，所以元冲量 的方向也与f 冲I的方向垂直。因此整个过程洛伦兹力的总冲量就等于各个元冲量的矢量和。即有s，其中的 为粒子运动的始、末端点 MN 的位移。qBLssqBI n)21（冲也就是说粒子沿曲线从 M 到 N 过程洛伦兹力的冲量 ，与粒子沿直线从 M 到 N 过程洛伦冲I兹力的冲量相等。显然，该冲量 的方向也一定与位移 的方向垂直。冲IL2、安培力的冲量。如图 2 所示，长为 L 的导体棒垂直置于磁感强度为 B 匀强磁场中，金属棒中通以电流（电流不一定恒定） ，现研究 t 时间内导体
3、棒所受安培力的冲量。把通电时间t 无限分割，则在每一段很短的微元时间 内，可以认为电流t恒定，所以这很短时间 内安培力的冲量 ，ttiBI冲而 就等于这段时间内通过导体棒的电量 。因此整段时ti q间 t 内，导体棒所受安培力的冲量就等于各微元时间内安培力冲量的矢量和，即有：，其中 q 为整个过程通过导体棒的总电量。另BLqqBLI n)21（冲外，不难证明即使导体棒弯曲，此公式仍然成立，不过要把 看成棒两端点的位移，并且L安培力冲量的方向与 L 方向垂直。综上所述，不论是伦兹力还是安培力，也不论它们是恒力还是变力，其冲量都可以写成 的形式，其中位移矢量 的大小应为等效的直线电流的长度，冲量的
4、方向与BqI冲 L等效的安培力方向一致，即与 L 方向垂直。图 1sI冲fMN B2磁场力冲量公式的应用例 1 在磁感强度为 B 的匀强磁场中，有一个电量为 q 的粒子（重力不计）以速度v，在垂直于磁场方向上做半径为 R 的匀速圆周运动。则粒子在转过 1800 的时间内，洛伦兹力的冲量大小为：（ ）A ； B ； C ； D 。qRq2BR2析与解：典型的错解： ，答案选(A)。qBRmqTvFtI 冲常规解答：因洛伦兹力是变力，所以不能由冲量的定义式 直接计算，而应考FtI冲虑运用动量定理。由于粒子只受洛伦兹力作用，所以合力的冲量就是洛伦兹力的冲量，根据动量定理有 ，由于 ，所以 ，即mvp
5、I冲 v qBRmvp2，正确答案选 B。qBRI2冲巧解：本题中虽然洛伦兹力的方向时刻在变化，但我们仍可以直接运用公式进行解答，不过要注意其中 L 的大小应为粒子初末位置的位移大小，即 L=2R，LI冲因此我们可以直接得出结果为 ，答案 B 正确。RqBI2冲例 2 一个带电微粒质量为 m、电荷量为+ q。空间存在水平方向的匀强磁场 B。现将带电微粒由静止释放，微粒在重力场和磁场作用下开始运动，试求粒子在竖直方向运动的最大距离 h。析与解：带电微粒在重力和洛伦兹力作用下做复杂的曲线运动，当运动到最低点时，速度 v 沿水平方向，如图 3 所示，微粒在运动过程中受两个力的冲量：重力的冲量 IG（
6、方向竖直向下） 、洛伦兹力的冲量 IB（方向与微粒运动的始、末点的连线 L 垂直） ，由动量定理可知，它们冲量的矢量和等于微粒动量的变化，即为 =mv；I G、I B、 的方合 合向关系如图 3 所示，所以有： = ；再直接利用前面的结论可以得到合IcosBImv；最后再根据动能定理有： 。综合以上几式可解得：cosqhBLImghv21。2gmh例 3 如图 4 所示，距地面高为 h、水平放置的光滑导轨的右端放一导体棒，导轨与电源相连，垂直置于匀强磁场中，已知导轨宽为 L，磁感应强度为 B，导体棒的质量为 m，若开关 K 闭合所后，导体棒迅速飞出，其水平射程为 s，则通过导体棒的电荷量多大？
7、析与解：由前面的结论知导体棒所受安培力的冲量为，另外根据平抛运动的规律有 、 ，可得导体棒平抛的初速BqLI冲 tvs021gth，再由动量定理 ，可解得通过开关的电荷量hgsv20 00mBqLI冲为： 。BLmq例 4 如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为 a 的区域内，现有一个边长为 L（aL ）的正方形闭合线圈，以初速度 v1 垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为 v2，则下列说法正确的是：（ ）A完全进入磁场中时，线圈的速度大于 (v1+v2)/2B完全进入磁场中时，线圈的速度等于(v 1+v2)/2C完全进入磁场中时，线圈的速度小于(v 1+v2)/2D以上 A、 C 均有可能，而 B 是不可能的析与解：线圈运动较复杂，不能用牛顿定律直接求解。设线圈进入、离开磁场过程，安培力冲量的大小分别为 、 ，由动量定理得： ， 。再1I2 )(1vmI)(22vI根据前面的结论可知： ， ，又因 ，所以有 ，Lq1I2RBLq121q即可得 ，故可解得 ，答案 B 正确。21I21v通过前面几例可以看出，磁场力冲量的公式，在研究物体（微粒、线圈、导体棒等）在磁场中做复杂的运动时是非常方便的，它使我们能够顺利地运用动量定理，快捷、方便地解决牛顿运动定律无法解决的问题。
