1、,第十二章 结构动力响应分析,第十二章 结构动力响应分析,第二节 强迫动力瞬态响应分析,第一节 常见的动态载荷类型,返回,第三节 谱分析,第四节 频率响应分析,第一节 常见的动态载荷类型,结构动力响应分析,当物体或结构在动态力（或载荷）的作用下时，它的响应就是动态响应，严格地说结构都是在动态力的作用下，只不过有的力随时间变化的很慢，所以为了简化计算，工程中有许多问题简化为静态问题来计算。但随着科技的发展，计算机及计算手段的发展，目前许多设计中都必须考虑动态问题。,正确地识别动态载荷是正确计算动态问题关键之一，目前工程中常见的动态载荷有：,1） 突加的动态载荷（见图12-1）,返回,图 12-4
2、 脉冲或冲击,结构动力响应分析,2） 简谐激振力（电机等）（见图12-2）,3） 起重机类型（见图12-3）,4） 脉冲或冲击（见图12-4）,返回,5） 随机型的激力（路面谱力，地震谱力） （见图12-5）,结构动力响应分析,6） 冲击波（原子弹爆炸或热冲击等）（见图12-6）,返回,9） 各种表格表示的动载荷（即有一个时间t就有一个力F（t）值所描述的不规则曲线）N3。,结构动力响应分析,8） 转动轴等在交变应力下的动态载荷,7） 移动载荷 （见图12-7）,返回,第二节 强迫动力瞬态响应分析,结构动力响应分析,当结构受随时间变化的强迫力或基础的加速度的作用时，求解结构的瞬态位移或瞬态应力
3、响应,叫强迫动力响应或响应历程分析。强迫力可以是作用于结构上任一节点的任一个自由度上的力（或力矩），或者是基础在三个方向上的加速度运动（或转动）。而输入的强迫函数可用表格表示的冲击、脉冲或其它任意不规则的力和运动，也可用正弦函数表示。,由结构的强迫响应方程为：,而如果结构受基础加速度 而产生的惯性载荷，则动力平衡方程为：,（12-1）,（12-2）,返回,一般程序可以用两种方法来求解这两个的方程的瞬态 位移与应力的响应，这就是直接积分法和振型叠加法，两 种方法都采用wilson逐步积分法求解，区别仅在于描述运 动的坐标选取不同。前者是在有限元法选用的物理坐标下 求解耦合的结构动力方程组，而后者
4、经过变换到以振型为 基的坐标下求解非耦合的方程组，以大为减少的坐标数目 求出较好的近似解，又能通过方程解耦的办法来简化动力 方程的计算。这两种方法各有特点，直接积分法主要用在 受冲击载荷激发起振型较多，所需计算响应时间短促的情 况，而振型叠加法则主要用于载荷所激励的有效振型较少 的情况，下面分别介绍两种方法。,结构动力响应分析,返回, 根据动力方程，由初始的状态向量（初始条件）开始，一步一步地求出下一步（ ）时刻的状态向量。,结构动力响应分析,一、直接积分法,直接积分法是动力平衡方程用数值积分法直接求解，这种方法的基本的出发点是：, 在每一时间间隔 内，位移 速度 和加速度 这三 个状态向量按
5、某一假设变化。不同的假设构成不同的 逐步积分法。而一般的有限元程序采用的是一种无条 件稳定的线性加速度法，叫做wolson 法。,返回,wolson 逐步积分法： 已知在时间 的状态向量 、 、 对（12-1）式要在0到T内求解，取等时间间隔 作为步长，假设在t到t+ 内各节点的速度分量都随时间t呈线性变化，如图12-8所示。,图 12-8,结构动力响应分析,返回,当 =1时，这就是一般的线性加速度法，这是如果时间步长 比结构的最小自振周期还大，则计算是不稳定的，会使计算精度很差。只有当步长取得很小时，计算才是稳定的，因此，一般的线性加速度法是有条件稳定的。而一般程序采用的wilson 法是取
6、 =1.4，这时，此法是无条件稳定的，求时间t+ 的状态向量（ 、 、 ）。,结构动力响应分析,（12-3）,（12-4）,（12-5）,对 进行二次积分得：,在（12-4）、（12-5）中，令 则可得到 时的状态向量：,返回,结构动力响应分析,（12-6）,（12-7）,由（12-7）解出：,（12-8）,（12-9）,（12-10）,将（12-8）代入（12-6）中得：,若使（ ）时的状态向量满足动力平衡方程，则：,其中， 由 、 线性外推得到的，即：,返回,结构动力响应分析,（12-11）,将 、 、 代入（12-10）式，经整理得：,（12-12）,式中，,其中，,若 已知由（12-1
7、2）式可解得 为得到，可在（12-3）、（12-4）、（12-5）中取 ，则有：,返回,结构动力响应分析,将（12-8）式代入（12-13）式整理得：,（12-14）,（12-15）,（12-16）,将（12-13）式改写成,（12-17）,再将（12-17）代入（12-14）、 （12-15）式得：,（12-18）,（12-19）,其中，,返回,结构动力响应分析,于是由（12-12）式解出 后，可再由 和 , 通过（12-16）、 （12-18）、 （12-19）得到下一时刻的值，从而建立了递推公式。,应该指出，用逐步积分法求响应时，仍采用 =1.4，这使 数值积分无条件稳定，但这是在阻尼不
8、引起振型耦合的前提 下进行的，当计入阻尼时，常取阻尼矩阵为瑞雷（Rayleigh） 阻尼。,（12-20）,式中， 为组合系数，可由试验确定。,返回,结构动力响应分析,当已知结构的阻尼比 和相应的频率 时，则 由 及令 和 可得：,由此不难得出,（12-21）,（12-22）,（12-23）,特别当 时,返回,振型叠加法的基本思想是：首先由系统无阻尼自由振动方程求解特征值和特征向量，即求得若干个低阶固有频率和振型，然后利用这些振型所组成的振型矩阵作变换矩阵，将物理坐标下的耦合动力方程组转换到模态坐标下的去耦方程组，再应用wilson 法逐个积分求解独立的二阶微分方程，求出在正则坐标下的响应，最
9、后经过反变换，将各阶模态响应变换到物理坐标下的响应。,结构动力响应分析,二、振型叠加法,现在用振型叠加法求解动力方程：,令结构的位移列阵：,（12-24）,（12-25）,返回,结构动力响应分析,对（12-25）求导得：,（12-26）,（12-27）,（12-28）,将 代入（12-24）式得：,将此式左乘 得：,利用振型的正交性质及正则化条件，可知：,返回,结构动力响应分析,是正则坐标下的动载荷。所以得到：,（12-29）,我们只研究一个典型方程,解法基本上与上节讲的wilson 法相同，这里不再赘述。,返回,第三节 谱分析,结构动力响应分析,当基础运动极不规则，或运动方式不可预知，而仅能
10、估计最可能发生的最大值时，可将由统计分析得出的谱曲线（位移谱（振幅）加速度谱（加速度幅值）或加速度级对振动周期的关系谱），如地震响应谱，路面谱等输入。利用求特征值所解出的前NF个频率作振型分解，通过谱分析得到前NF个频率对应的响应，并根据用户予先选定的叠加方式进行叠加后，输出结构的位移和应力响应。,实测记录分析表明，地震时，地面运动的频带相当宽，地面沿x轴、y轴和z轴的运动Ix（t）、Iy（t）、Iz（t）难以用简单的数学函数来描述，车辆在路面行驶时，车辆基座的运动也很复杂，但我们知道对一复杂的结构可以简化为若干个振型的叠加，每个振型又可以转化为一个单质点体系的问题进行分析研究。所以，任何结构
11、物对于基础运动的响应都可以当作若干个质点体系的响应的叠加。,返回,结构动力响应分析,由基础响应的动力方程：,（12-30）,式中，u结构相对于基础的位移向量，u=ua-ug；ua结构的绝对位移向量；ug基础位移向量，即牵连运动位移向量。,设通过无阻尼系统固有振动计算已求得结构的前n个振型 它们相互正交，取坐标变换为：,（12-31）,将（12-31）式代入（12-30）式，并注意到振型的正交性：,返回,结构动力响应分析,所以（12-30）式可写成下列形式：,（12-32）,如果基础仅在x方向作平移运动，则,（12-33）,其中， 为结构基础沿x方向运动的加速度。,返回,结构动力响应分析,将上式
12、代入（12-32）式中，并考虑n个方程中的一个可写成下列形式：,（12-34）,解（12-34）方程可应用杜哈美积分得：,（12-35）,虽然地震时（车辆行驶时也一样），加速度 难以用简单的 数学函数来表达，（12-35）式不能用解析法求解，但我们注意 到抗震设计应当根据地震响应在全部振动过程中的最大值进行。,返回,结构动力响应分析,设：,（12-36）,若响应谱 xT曲线为已知（地震响应谱已有规范给出），则由地震力理论可以导出振型响应 的最大值,式中， ix动力放大系数（由谱曲线而定）；g重力加速度；kox地震系数（由地震强度而定）。,（12-37）,同理可得，结构基础沿y方向和z方向分别以
13、Iy（t）和Iz（t） 运动时振型响应的最大值为：,返回,结构动力响应分析,（12-38）,在工程实际中高频振型的响应可以略去不计，计算时仅取结构的前NF个振型的响应作组合，由于振型响应并不一定在同一瞬时达到最大，因此振型响应的组合是一个比较复杂的拟合问题，一般有限元程序给出三种叠加方案供选用。,（1）,（2）,（12-39）,（12-40）,（12-41）,（3）,其中， （x=x，y，z）,返回,结构动力响应分析,考虑到结构因有频率出现密集的情况，给定频率密集系数 Cf，若有：,（12-42）,则称第j个频率以Cf为密集系数与第i个频率相密集。当考虑第 i+1，i+2， j 个频率与第i个
14、频率密集对结构响应的影响时， ux式改写成：,然后按第（2）方案或第（3）方案两种组合式计算结构的位移响应，由各振型响应可以求各单元的内力响应，再按上述对应的叠加方案作内力组合。,返回,第四节 频率响应分析,频率响应分析处理的是基础做简谐振动时结 构的稳态响应问题。它同样要求预先通过解特征 方程求解出结构的前NF个固有频率和振型。并输 入需要分析的频率范围所对应的幅频特性表和 阻频特性表，通过内插值计算所有要求输出的 频率（外加的和前NF个固有频率）的幅值和阻尼 比，求出稳态谐振时的振幅与相位，并通过振型 叠加得到结构的位移和应力响应。,结构动力响应分析,返回,结构动力响应分析,设基础沿x方向
15、受谐振干扰（ ），则类似于 （12-34）方程为：,式中，a为基础振动的加速度幅值；为基础谐振动的干扰频率。,（12-43）,略去瞬态解，则（12-43）式的稳态解为,（12-44）,其中,（振幅）,（动力放大系数）,（相位差）,返回,结构动力响应分析,所以当给出一系列的干扰力频率（即基础加速度的频率 ）， 就可以得到幅频特性曲线qoi和相频特性曲线ai。,为求响应历程将（12-44）式代入（12-31）式可得结构的位 移响应公式为：,（12-45）,此式还可写成下列形式：,式中，,返回,结构动力响应分析,对于不同的i，Di和Ci之比一般不一定相等。所以各自由度的广义位移向量qix并不一定同时达到最大值，即各自由度的稳定振动之间是有相位差的，为此一般有限元程序引入参考相位角，以确定机构的最不利的位移响应。,广义位移向量和为：,式中， 称为参考相位角；,（12-47）,返回,结构动力响应分析,从（12-47）式看出，是SUM为最大时，a0必然要与 t 相等，即a0= t，t=a0 / ，所以当t=a0 / 时，结构响应达到 最大值。对应于参考相位角的参考振幅为：,（12-48）,（12-49）,上式就是我们得到的结构在基础作简谐运动（频率为 ） 激励下的位移响应。,返回,
