1、第 2 章 质点动力学基本定律,牛（惯性定律）：任何物体只要没有外力的作用，或合力为零，都保持静止的、或匀速直线运动的状态。,2.1 牛顿运动定律,任何物体保持其运动状态不变的性质称为惯性。,满足牛顿第一定律的参照系为惯性参照系。,相对惯性系静止或匀速直线运动的参照系也是惯性系。,2.1.1 牛顿运动定律,牛 : 物体的动量对时间的变化率等于物体所受的外力。,只讨论低速运动情形（质量 近似为常量）, 就有,合力 : 产生加速度的原因，改变运动状态的原因。,适用条件: 宏观、低速物体；惯性系。,质量 m: 惯性大小的量度，称为惯性质量。,因为在同样外力的作用下，,在直角坐标系中 Fx= m ax
2、,在自然坐标系中 Fn= m an,Ft= m at,Fy= m ay,Fz= m az,作用力与反作用力的性质 也是完全相同的。,牛与牛定律包含于牛定律中。,牛 : 两物体相互作用时,作用力与反作用力的大小相等、方向相反,在同一直线上。,流体阻力 fd :,在没有空气阻力时， 鸡毛和苹果有同样的加速度。,常见的几种力有：,重力、弹力、摩擦力、流体阻力,在相对速率大时,在相对速率小时,万有引力、电磁力、强力、弱力,基本自然力有,2.1.2 力学中常见的几种力,解题思路:,（1）选对象,（2）看运动（轨迹、速度、加速度）,（3）查受力（隔离物体、画示力图）,（4）列方程（注意标明坐标的正方向；有
3、时还要从几个物体的运动关系上补方程）,（5）验结果,（量纲？特例？等）,2.1.3 牛顿运动定律的应用,【例1】 一单摆的小球质量为 m = 0.2kg,摆线 长为 l= 0.5m，,小球从摆线水平时的静止状态往下摆。,求：摆角 =30时,小球的速率和摆线的张力。,（要求用牛顿运动定律解）,【解】,取自然坐标系, 根据牛 列方程:,将（1）式ds:,将其代入式（2）:, =30o时,【例2】质量为 m 的小球在水中受的浮力为常力 F,当它静止开始沉降时,受到水的沾滞阻力为 f = kv（ k为常数 ）, 求小球在水中竖直沉降的速度 v 与时间 t 的关系。,【解】 小球受力如图,根据牛顿第二定
4、律,积分：,得：,惯性系:一个不受力的作用,保持静止或匀速直线运动的参考系。,例如：加速的电梯是非惯性系！,例如：转动的圆盘是非惯性系！, 一个参考系是否是惯性系可通过实验来检验。,牛顿定律仅适用于惯性系； 牛顿定律不成立的就是非惯性系。,地面参考系是个常用的惯性系。,2.1.4 非惯性系 惯性力,地面参考系只是个近似的惯性系（ 710-5 弧度/秒）,（ 210-7 弧度/秒）,（ 810-16 弧度/秒）,地心参考系是个较好的惯性系,银河参考系是个更更好的惯性系 ,太阳参考系是个更加好的惯性系,实验告诉我们：相对于惯性系作匀速直线运动的参考系 必是惯性系；相对于惯性系作加速运动的参考系必是
5、非惯性系。,注意: 有些问题必须要在非惯性系中研究；（比如，在加速的车厢参考系中作实验）,有时非惯性系中研究问题较为简单。,能否作些修改,在非惯性系中形式上 应用牛顿定律?,地面上看行进着的车， 车轮边缘一点的运动- 摆线；,行进着的车厢里看， 车轮边缘一点的运动- 圆。,1. 加速平动参考系中的惯性力,设xoy为地面惯性系, 在加速平动的小车 内有一运动物体。,小车对地面参考系的加速度为,物体对小车参考系的加速度为,物体对地面参考系的加速度为,设物体受合力为, 在地面参考系(惯性系)中,定义：,注意： 不是真实力，它没有施力者，也没有反作用力。,它只是非惯性系的加速度的反映, 或是物体的 惯
6、性在非惯性系中的表现。,在非惯性系中列牛顿方程时，应在受力一侧加上惯性力！,例如，公共汽车突然启动时乘客的感觉。,2 匀角速转动参考系中，静止物体的惯性力,若转动圆盘相对地面作匀速转动，物体 m 在盘上静止。,在非惯性系（盘）,m 仍受向心力，却静止！？,在惯性系（地）,m 受的合力为向心力,在匀角速转动参考系中应用牛， 必须在真实力的一侧加上惯性力：,在S系中列牛,所以惯性离心力为,这个惯性离心力具体是什么？,这个惯性力是离心方向的，称为惯性离心力。 它与向心力二力平衡所以才静止。,即,应,而,重力是物体所受的地球的引力吗?,在地球上谈地面附近物体的重力 （称为视重）, 应该是 物体所受的地
7、球引力 与该处惯性离心力 之和:,将有关常量代入,可得,此比值较小，所以常常不考虑 。,其中,实际问题中有时往往需要研究 一个过程的积累效果。,牛顿定律是瞬时规律。,若对过程的细节不感兴趣，只关心始末两个状态的情况，于是从牛顿定律发展出新的研究课题。,有些过程的细节非常复杂，,如：碰撞问题（宏观），散射问题（微观）。,2.2 动量定理和动量守恒定律,力对时间的积累效应,力对空间的积累效应,研究,- 动量定理,- 动能定理,- 角动量定理,对某质点，由牛II,“力的冲量等于力作用的时间内,质点动量的增量”,质点动量定理的微分形式,若力作用了 t2 - t1一段时间，则有,称为冲量,2.2.1 动
8、量定理,质点动量定理的积分形式,应用举例:,碰撞问题的平均打击力,【例4】 一质量为 0.1kg 的小钢球从 2.5m 处自由下落,与地上水平钢板碰撞后回跳高度为1.6m. 设碰撞时间为 0.01s, 求撞击力。, 动量定理只适用于惯性系。（若要在非惯性系用，应考虑进惯性力）。,【解】,碰前,碰后,(负号表示什么意思?),小球所受的合力,小球所受的撞击力F,质点系: 有相互作用的若干质点组成的系统。,内力: 质点系内质点之间的相互作用力。,外力: 质点系外 其它物体对质点系内质点的作用力。,先讨论由两个质点 组成的质点系的动量,对第1个质点,对第2个质点,由牛III，一对内力抵消,推广到更多质
9、点的系统：,两式相加,质点系动量定理的微分形式,“质点系总动量的增量等于该质点系所受的合外力的冲量”,注意:内力不影响质点系的总动量！, 质点系动量定理是牛III的必然推论。, 用质点系动量定理处理问题可避开复杂的内力。,质点系动量定理的积分形式,但内力可影响质点系内某些质点的动量。,若质点系的合外力为零，则质点系的总动量不变。-质点系的动量守恒定律,若x方向上，合外力F外x=0， 则 Px=常量 尽管总动量可能并不守恒。,说明,2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。,1.当外力内力且作用时间极短时（如碰撞），可近似认为动量守恒。,3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒
10、。,2.2.2 动量守恒定律,求: （1）炮弹刚射出时, 炮车的反冲速度;（2）若炮筒长为 ，发射过程中炮车移动的距离。,【例5】已知:导轨上的炮车仰角为 ,质量为M ; 炮弹质量为m, 炮弹相对炮筒的射出速度为 。 （忽略导轨的摩擦）,水平方向外力为零, 水平方向动量守恒。,【解】（1）求炮车反冲的速度,发射前：,发射过程中：,竖直方向动量不守恒！,地面系： 设 ， 如图,x方向,由伽里略变换,炮弹出口时,-（2）,-（1）,将式（2）代入（1）得,负号代表什么意义？,（2）求发射过程中炮车移动的距离,炮车的移动过程非匀速的，也非匀变速的！,发射过程中的某时刻 t,设发射过程经历时间T，在发
11、射过程中炮车的位移为,负号什么 意义？,【例6】 火箭运动过程中，燃烧气体相对火箭以恒定速度u喷出，火箭的质量m按一定的规律减小，即dm0，求火箭飞行速度与质量之间的关系。,【解】 气体和火箭之间内力很大,认为体系的动量守恒,略去二阶无穷小量，得,分离变量，并积分,得,质心-质点系的质量中心,两个质点的质心 c 的位置，可如下计算,它是物体位置以质量为权重的平均值,对多个质点的质点系,若物体的质量连续分布,2.2.3 质心和质心运动定律,质心的速度 （ 对t 求导）,质点系的总动量,质点系的总动量的变化率,有,即“一个质点系的质心的运动，就如同这样一个 质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的
12、质 量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系 所受的外力之和”,-质心运动定理,它说明质心的运动服从牛。,它也说明系统内力不会影响质心的运动。,【例7】有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。,【解】爆炸前后质心始终只受重力的作用，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc 。,物理学非常注意守恒量的研究。,在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。,例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面,例如：银河系中的
13、每个恒星都有自己 的转动平面。,银河系,在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。,2.3 角动量定理和角动量守恒定律,质点作匀速率圆周运动时,角动量的大小为L = mvR,角动量的方向不变,质点对某一固定点的角动量（动量矩）,2.3.1 角动量定理,这里,称为力矩（对固定点）,质点对固定点角动量的时间变化率等于合力对该点的力矩。,- 质点角动量定理的微分形式（对固定点）,或,对 t1t2 时间过程，有,上式右边为质点角动量的增量 左边称为冲量矩（请对比质点动量定理）。,质点对固定点角动量的增量等于该质点所受的合力的冲量矩,-质点角动量定理的积分形式（对固定点）,一个质点系对一固定点的角
14、动量：为其中各个质点对该固定点的角动量的矢量和。,对第i个质点应用质点的角动量定理,对系统内所有质点求和，得到,为各质点所受的合内力矩的矢量和,式中,得到,为质点系所受的合外力矩,内力矩是成对出现的，对i , j 质点来说，它们相互作用的内力矩之和为0。,- 质点系角动量定理的微分形式（对固定点）,对 t0t 时间过程，有,-质点角动量定理的积分形式（对固定点）,一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率,1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系。,2. 内力矩不影响质点系总角动量，但可影响质点系 内 某些质点的角动量。,说明,2.3.2 角动量守恒定律,无论是一个质点还是由n
15、个质点所组成的质点系,角动量守恒定律: 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。,角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。,始终在同一平面内,(2)经 时间,扫面速度,可以用角动量守恒定律来解释行星运动规律,【例8】彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问彗星的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,【解】彗星只受万有引力作用,角动量守恒,近日点速度大。这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。,【例9】 一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B,杆可绕其中点处的细轴在光滑水平面上转
16、动。初始时杆静止,后另一小球C以速度v0垂直于杆碰A,碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是 m,求:碰后杆转动的角速度 。,答：轴处有水平外力，动量不守恒。,可得,碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？,答：轴处有水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。,碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？,即,设碰后 B 球的速度为v,【解】,研究力在空间的积累效应,注意,1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能、 功能原理、机械能守恒定律”的理解。,2. 搞清规律的内容、来源、 对象、成立条件。,3. 搞清它们与参考系的关系。, 功的计算是否依赖参考系？,例如, 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？, 某
17、一惯性系中机械能守恒，是否在其它惯性系也守恒？,2.4 功和能,功是力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。,(1) 功是过程量；,(2) 功是标量（有正负）；,对微小过程，可当成恒力、直线运动,2.4.1 动能定理,1.功和功率,（3）功的数值依赖于参考系的选择。,【例9】 在地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b，求 重力的功。,【例10】一水平桌面上放置的弹簧振子,小球从A点运动到B点的过程中，求弹性力对小球作的功。,【例11】一质点在力F=2y2i+3x j（SI）的作用下，从原点o出发，分别沿折线路径oab和直线路径ob运动到b点，如图所示。试分别求这两个过程中力所作的功。,沿折线
18、路径oab 时：,沿直线路径ob 时，直线方程为：,【解】,（瞬时）功率,由动力机械驱动时，马达的输出功率 是一定的，速度小、力大，速度大、力小。,若在 t t + dt 内，力 的元功为 dA， 则 t 时刻的功率为,2. 质点的动能定理,合力对质点作的功等于质点动能的增量-质点的动能定理,设合力为 ，由牛II,说明：动能定理只适用于惯性系。,3. 质点系的动能定理,对第 i个质点：合外力的功 ,合内力的功 ,对质点系：,A外 + A内 = Ek2 - Ek1,简记为,A外 + A内 = Ek2 - Ek1,注意：1. 内力是成对出现的，但内力功之和不一定为零。,例如，两个异号点电荷相吸引；
19、,2. 内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能。,所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。-质点系的动能定理,4. 一对力的功 保守力,一对力的功只与“相对路径”有关，与参考系的选取无关。,计算一对力的功时,可以把一个质点作为参考系，计算另一质点在此参考系中运动时它所的受力做的功。,无论大物体怎么运动， 这一对力的功总是零，,因为它们之间没有相对运动。,一对静摩擦力的功恒为零！,一对正压力的功恒为零！,为什么？,一对滑动摩擦力之功恒小于零！,为什么？,一对万有引力的功,以 M为参考系的原点, 计算起来就非常方便， 只要算一个力的功即可。,一对弹性力的功,
20、以固定端为参考系的原点，这一对弹性力的功为,如果一对力的功与质点的始末位置有关，与路径无关，这种性质的力称为保守力。,保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对于 另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间的 保守力做的功必然是零。,若 是保守力，必有,一对保守力的功（过程量）都可以写成两个 状态量之差,这两个状态量称为系统的势能, 用 表示,一对保守力的功等于系统势能的减量。(或势能增量的负值),若选定势能零点为 =0,则,2.4.2 保守力和势能,万有引力势能: 通常选两质点相距无限远时的势能为零,重力势能：实质上是地球表面附近物体的万有引力势能的一个简化。（选地球表面为势能零点）,令 若 hR
21、,式中,弹性势能: 通常选弹簧自然长度时的势能为零, 则,说明：,3. 势能零点的选择可以任意势能零点的选择不同,势能的值不同, 但不影响两势能之差，即不影响一对保守力的功。,2. 势能的差值不依赖于参考系的选择因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。,因为它是与一对保守力的功联系在一起的。,重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质 量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。,1. 势能属于有相互作用的系统,- 功能原理（成立条件为惯性系）,如果在质点系的运动过程中只有保守内力作功(外力和非保守内力都不作功)，那么这过程机械能守恒。,2.4.3 机械能守恒定律,2. 对于一个孤立系统（与外界无相互作用）,若A内非0, 它的机械能就不守恒。,注意:1. 机械能守恒定律也只适用于惯性系。,2. 但是，在一个惯性系中机械能守恒,在另一个惯性系中机械能不见得守恒。,要看机械能守恒条件在该惯性系中是否成立？,其他形式能量与机械能之间互相转化。,说明,1.,【例12】,物体逃离地球引力的逃逸速度（第二宇宙速度）,系统：物体和地球,只有保守内力做功,机械能守恒,刚能逃离地球的速度为逃逸速度， 它相应于v为最小值（零），,【解】,对于在地面上的物体,由上式看到，若星球的质量M 越大、半径R 越小， 则逃逸速度越大，当然其极限为真空中的光速。,逃逸速度达到光速的星球称为黑洞。,
