1、1专题二 角平分线与角的对称性一、教学目标：1、知识与技能：培养学生认识并能运用角平分线所在直线是角的对称轴这一特点,利用角的对称性解决相关题目.2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量变化的技巧.3、情感态度与价值观：指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。二、教学重点、难点：1、教学重点：掌握角的对称性与角平分线的关系.2、教学难点:如何利用这种对称性得到线段和角的等量关系.三、教学方法：引导发现、练习提高四、教学手段：多媒体电脑、黑板五、具体内容：（一）复习引入角平分线的常用使用环境 基本图形当角平分线构成的等量关系和“三角形”结合的时候，可以构造轴对称图
2、形.当角平分线构成的等量关系和“距离”结合的时候,可以利用角平分线的性质.当角平分线构成的等量关系和“等腰三角形”结合的时候,可以利用等腰三角形“三线合一”.（二）例题例 1 已知:如图 1,在ABC 中, AB=AC, A=100,BD 为B 的平分线,求证:BC=BD+AD21AC D BEBCD21A EFG21AB CD AB CD图 12设计思路:这道题要利用角平分线构造轴对称图形 ,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.分析:容易想到在 BC 上截 BE,使 BE=BD,再来证明 AD=EC由已知可得DBC=20 , DCE=40 ,连结 DE,那么 DEB =
3、(180- 20) 2= 80,得 DE=EC.只需证明 DE=AD.观察图形,可以在 BC 上截 BF=BA,便构造出 BDF 与BDA 全等,得 DF =AD,接下来再证明 DF =DE 即可.证明:在 BC 上取 E、 F ,使 BE = BD , BF = BA,连结 DF、 DE.在ABC 中, AB=AC , A=100,ABC =C = (180- 100)2=40.BD 平分ABC , ABD =FBD=20, 又 BD=BD , BA= BF,ABDFBD.DF = AD, BFD =BAD =100 . DFE = 180- 100 = 80.BD=BE,DEF = (18
4、0- 20) 2= 80.DFE = DEF.DE = DF = AD.在DEC 中, EDC = 80- 40 = 40,EDC = C.DE=EC, AD=EC.BC=BE+EC=BD+AD.点拨:这道题需要利用割补法,构造另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应元素相等的性质,证得命题成立.例 2 如图 1,在ABC 中, AD 是BAC 的平分线,从 ABC 两顶点 B、 C 分别向BAC 的平分线作垂线 BE 和 CF,垂足分别是 E、 F ,又 BC 的中点为 P .求证: PEF =PFE.AB CDEFPAB CDFE图 13设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形 .
5、分析:在这道题中,CF 、 BE 分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直”和“角平分线”都是构造轴对称图形的基本元素.因此只要分别延长 CF、延长 BE 都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点 F、 E、 P 分别是所在线段中点,因此再用中位线即可得到平行关系,最后利用平行关系代换等角即可得证.证明:延长 CF 交 AB 于 N,延长 BE 交 AC 延长线于 M.AD 是BAC 的平分线,3=4. 在ANF 和ACF 中,AFCN,得AFN=AFC=90, 又 AF=AF,AN FACF.NF=CF,同理可得 BE=ME.点 P 是 BC 中点,PF 、 PE 分别为C
6、NB 和BCM 的中位线.PFBN,即 PFAB,1=3.同理,PECM,即 PEAC.2=4.1=2,即PEF =PFE.点拨:观察图形中的“垂直” 和“角平分线”,这些都是构造轴对称图形的基本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进行等量代换.例 3 （09 海淀二模）ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180，且PBC 平分线上的一点 D 满足 DB=DA，0（1）当 BP 与 BA 重合时（如图 1），BPD= ；（2）当 BP 在ABC 的内部时（如图 2），求BPD 的度数；（3）当 BP 在ABC 的外部时，请你直接写出BPD 的度数
7、，并画出相应的图形MNP AB CD1243FE4设 计思路:加入旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.分析：由于BPD 并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的BPD 各个角中，只有PBD 由于 BD 是PBC 角平分线的缘故与其它角有等量关系，因此这就是这道题的突破口.当角平分线与“三角形”结合时，可以构造轴对称图形,容易想到连接 CD,接下来再结合边的等量关系证明全等即可.解：（1）BPD=30 . （2）如图 2-1，连结 CD 解法一： 点 D 在PBC 的平分线上， 1=2 A
8、BC 是等边三角形， BA=BC=AC， ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3 DB=DA ，BC=AC，CD=CD ， BCDACD 134302ACB BPD =30 解法二： ABC 是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA ，图 2-14321 DAB CP5 CD 垂直平分 AB 134302ACB BP=BA， BP=BC 点 D 在PBC 的平分线上， PBD 与CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD=3 BPD =30 （3）BPD= 30或 150 图形见图 3-1、图 3-2 点拨:当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况
9、时,需要找到架接等量关系的桥梁,在这道题目中,有三组等量关系:关于等边 ABC 的,关于 BP=BA 的,关于 DA=DB 的,而找到 AB这座“桥”却是很重要的,它是等量代换的重要元素.另外,在第三问画图时,需要注意全面考虑点 P、 点 D 的可能性.有规律的是 ,点 D 一定在线段 AB 的垂直平分线上.例 4 （08 上海）正方形 ABCD 的边长为 2，E 是射线 CD 上的动点（不与点 D 重合），直线 AE 交直线 BC 于点 G，BAE 的平分线交射线 BC 于点 O（1）如图 1，当 CE = 32时，求线段 BG 的长；（2）当点 O 在线段 BC 上时，设 ，BO=y，求
10、y 与 x 的函数解析式；（3）当xEDCCE=2ED 时，求线段 BO 的长图 3-2图 3-1或DAB CP DACBPDAB CPEO 备 用 图A DCB G CBA D图 16设计思路:到了例 4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.分析:在这道题目中, 有这样的字眼: E 是“射线”CD 上的动点，这本身就意味着关于点E 的位置是由两种可能性的,需要依题意探究位置可能性.第(1)问可以直接从 CE 入手,自然得到 DE 的长,用相似得 BG 长度.第(2)问中的 x 就比较不常规,是比值的形式,但线段量的关系一直用比表示,并不便利,因此可以将一条线段长用含
11、x 和另一条线段长的式子来表示.接下来,将 BO 代换到角平分线的另一边 ,就可以把 x、 y 都放到一组相似三角形中去了.第(3)问显然要结合点 E 的位置进行讨论.解：（1）在边长为 2 的正方形 ABCD中， 32E，得 4D，又 /，即 /G，ADEGCE , 12CGEAD，得 C B， 3（2）当点 O在线段 上时，过点 O作 AGF，垂足为点 F， 为 BE的角平分线， 90AB， y 在正方形 CD中， /， xAE 2， G 又 CxED， 2，得 xCE1在 RtABG 中,AB =2,BG=2+2x,B=90, 2Ax FB， 2GxEOA DCB GF7易证FOG BA
12、G, OFABG，即 yFG，得 122xy， )0(x；（3）当 EDC时，当点 O在线段 B上时，如图 3-1,即 2，由（2）得3210y； 当点 在线段 延长线上时 ,如图 3-2，CE=4,ED=DC =2,在 RtADE 中,AE = .设 AO交线段 DC于点 H， 是 BE的平分线，即 AEB，又 /， A 2EH 4C DB/， OA，即 BO22，得 2点拨:找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。（三）练习练习 1.（09 嘉兴中考）如图，等腰ABC 中，底边 aBC， 3
13、6A，ABC的平分线交 AC 于 D， BC的平分线交 BD 于 E，设 215k，则DE（ ）AA ak2 B 3 C 2kaD 3ka练习 2（09 陕西）如图，在锐角 中，AB图 3-2HOGEAB CDEOA DCB GF图 3-1ADCEBA BCDNM8， 的平分线交 于点 分别是 和 上4245ABC， BABCDMN， 、 ADB的动点，则 的最小值是_ 4MN练习 3. 如图, AD 是ABC 的角平分线 , EF 是 AD 的垂直平分线,交 BC 的延长线于点 F ,连接 AF。求证: BAF=ACF.证明:AD 是ABC 的角平分线,BAD=CAD.EF 是 AD 的垂直
14、平分线,FA=FD.FAD=FDA .又ACF= FDA +CAD, BAF=FAD+BAD,ACF= BAF.练习 4.已知,如图,ABC 中，ABC= 3C, AE 平分BAC, BEAE 于 E.求证：AC-AB=2BE.证明: 延长 BE 交 AC 于点 F.AE 平分BAC1=2.又AEB = AEF= 90,AE=AE.ABE AFE.AB=AF, 3=4 , BE=FE.ABC=3C,又ABC=3+5=4+ 5=C+5+ C=2C+5.3C=2C+5.C=5.BF=FC.AC- AB=AF+FC-AB =FC=BF=2BE.AC-AB= 2BE.练习 5.（09 宣武二模）如图，
15、在ABC 中，CAB 、ABC 的平分线交于点 D，DEACFE AB CDE CBA 5 4321 FE CBA9交 BC 于点 E，DFBC 交 AC 于点 F求证：四边形 DECF 为菱形证明：证法一：连结 CD. DEAC，DF BC， 四边形 DECF 为平行四边形. CAB、ABC 的平分线交于点 D,点 D 是 ABC 的内心. CD 平分ACB，即FCD ECD，DFBC,FDCECD， FCDFDC FCFD， 平行四边形 DECF 为菱形证法二：过 D 分别作 DGAB 于 G，DHBC 于 H，DIAC 于 IAD、BD 分别平分CAB 、ABC，DI=DG，DG=DHDH=DIDEAC，DF BC，四边形 DECF 为平行四边形，SDECF=CEDH =CFDI，CE=CF平行四边形 DECF 为菱形 （四）总结角平分线所在直线是角的对称轴,利用这个特点构造和利用轴对称图形是我们的常用思路,本节课通过一系列提升例题、练习题可以培养学生观察图形，构造对称的能力.（五）反思虽然本节课列举了一些轴对称图形的构造情况以及基本方法,但仍不可能盖全,应该让学生从根本的图形关系上掌握这种构造技巧.HGIF EDCBAF EDCBA
