1、最 简 二 次 根 式 及 分 母 有 理 化龙泉九中 黄智艳（一）教材分析最简二次根式及分母有理化是北师大版八年级数学上册第二章实数部分的内容之一。教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。最简二次根式及分母有理化是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，为此我区导学案就此内容作了深入细致的研究。学案中将它放在二次根式 的化简及二次2a根式的乘除法之后，为本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习二次根式的加减法 、 二次根式的混合运算的根本。从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题
2、，也是提高学生运算能力的好时机。这里培养起来的实数的运算能力不光会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。从中考角度来看，历届中考几乎从未错失过该考点。（二）学情分析a) 知识方面：学生会分解质因数，能对 、 进行化简，已经掌握的二次根式的乘除法及2a2)(二次根式的性质都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫。就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉较抽象，运用起来还不太熟练。b) 能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳能力和较强的合作交流能力。c) 心理方面：初二的学生经过一年的培养，对 DJP 教学模式已经充分认同和接受了，能够有序地
3、进行小组合作学习。初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。（三）教学目标知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式；2.能把所给的二次根式化为最简二次根式；3.能进行分母有理化。过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。通过一题多解使学生体会数学中的最优、最简思想，感受数学计算的魅力。情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对学习的信心。（四）教学重、难点教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。理由是：能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用，又
4、是后面学习二次根式的加减之根本；在实数的计算中起着至关重要的作用。教学难点：化二次根式化简为最简二次根式及分母为两项式的分母有理化。理由是：化二次根式化简为最简二次根式难找完全平方因数或因式；分母有理化难就难在形式上较复杂，并且还要求学生运用乘法公式及 ；这些都是学生知识不易过手的知识点。)0()(2a（五）教学策略1. 小组学习法采用理由：我区导学案非常适合学生自主学习；在教学过程中有多处必须利用学习小组完成的学习。同时通过利用组内“高手”的影响力和约束力可以使学困生多学一点，这也适合初二逐渐增多的不自觉学习的学生。2. 练习法采用理由：本节内容属代数中的运算，必要的练习一定少不了。在教学中
5、，教师还可将学生的解题中出现的多种方法予以展示，这样做不但可以拓宽学生的解题视野，也可以潜移默化的影响学生寻求最简、最优解法的数学解题意识。3. 自主阅读法采用理由：初二学生已经有足够的理解力，能理解“最简二次根式” 、 “分母有理化” 、 “互为有理化因式”等概念。因此，在概念的学习时，我主要采用此法。4. 谈话法采用理由：课堂上，我通过设计一连串循序渐进的问题，给师、生搭建好交流的平台，可以促使学生展开充分的思考，使学生在谈话的过程中获取新知，这也可帮助我突破重、难点。（六）教学过程设计【候课朗读】1. 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。)0,(baab2.商 的 算 术 平
6、 方 根 ， 等 于 被 除 式 算 术 平 方 根 除 以 除 式算 术 平 方 根 ： 。,3. )0(2a修改依据与设计意图原学案侯课朗读是：1.积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；2.商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。修改的目的：想让学生能更直观的体会公式本身的含义。【学习准备】1.填空： _10_972_)3(2_)52(增加依据与设计意图 原学案并没有该部分内容，之所以想到增加目的是：既复习公式又检测学生已有知识的掌握情况，为本节课的学习作知识铺垫。教学流程：1、小组同学在课前将题目完成在黑板上；2、小组长检查组内完成情况 ；教师上课后就板书作
7、适当的强调。2.学生活动：先计算，再比较左、右式子有何不同。_53 _317 1被开方数不同：左边 ；右边 。结果不同： 边不能“甩掉”根号； 边可以“甩掉”根号，理由是： 增加依据与设计意图增设此环节的目的是：为学生能将二次根式化为最简二次根式作方法上的铺垫。教学流程 ：1、学生已经在课前完成，上课时先在组内核对结果；2、教师巡视并收集意见，待小组讨论完成后教师可有倾向性的派学生讲解。【学习过程】一、解读教材3.问题情境学生活动 1： 能“甩掉”根号吗？8 示成哪几个数相乘的形式？ 这些因数中有没有可以“甩掉”根号的？修改依据与设计意图原学案是：在 中， ， ，求 。ABCRt904,2ba
8、c因为 ，所以 ，说明 不是最简二次根式。那么，什么样的根式是最简二次20c 52420c2根式？我的修改是基于前面的学习准备，根据我班的实际情况，基于学生对学案的预习，考虑到学生接受知识的能力，以问题串的形式由浅入深，层层递进，围绕将要给出的“最简二次根式”的概念及其本质，激发学生去思考，去探究。通过师生、生生的交流使学生达到掌握知识的目的。学生活动 2：8 还可以表示成“4+4” ，4 是完全平方数，可以“甩掉”根号。即： 对吗？为什么？2修改依据与设计意图在学生活动 1 完成后，紧接着是学生活动 2。此处设计了一道判断是非题，实践表明它是引导学生正确认知的一种有效方法。安排这一活动我就是
9、想暗示学生二次根式的化简和已学过的二次根式的乘除运算是密切关联的。只有学生把单个概念和方法纳入到认知系统中，学生对新知识的掌握才会更牢固、更长久。这也可以化解学生心理的疑问：化简二次根式时为什么是将被开方数拆成几个数相乘的形式。通过活动 1、2 教师已经抛出教学重点：“化简二次根式为最简二次根式的方法” 。教学流程1.学生先独立思考后再小组交流；2.教师待巡视后，再请学生上台讲解；方案一 248（学生会发现因数 4 是完全平方数，可以直接开方） ；方案二： 2（学生会发现 22 是两个相同的数相乘可以开方） 。3.最后再方法小结（师生合作）：能从根号里开出来的数有两大类： 完全平方数，如：4、
10、9、16 等； 成对相乘出现的数，如：22；33 等4.最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 即时练习：判断下列各式是否是最简二次根式5.321cba2123ba修改依据与设计意图：我们都知道，只有让学生清楚地知道知识的发生、生长的过程，才更有利于学生掌握和运用知识。经过教师在前面的精心安排和学生的充分讨论，教师就可以水到渠成的给出“最简二次根式”的概念了。原学案并没有即时练习，增加的作用是：文字的叙述配以具体的数字、式子可以帮助学生更好的理解概念。同时这又可为后面的习题教学作好必
11、要的铺垫。教学流程1学生利用学案进行阅读“最简二次根式的概念” ，并完成即时练习后；2小组长组织交流；3. 全班交流：怎么理解“因数” ，它出现在什么运算中？怎样才能知道被开方数是否包含有开得尽方的因数？（分解质因数） （这一点可视学生具体掌握情况适当举一例子介绍短除法。 ）4.最后教师让全班齐读概念，以读促记。例 1 把下列各式化为最简二次根式22475108ba245即时练习 1：把下列各式化为最简二次根式 373ba设计意图通过练习促使学生掌握被开方数是整数（整式）的二次根式的化简方法。教学流程1.学生先独立解答（在学案上） ，教师巡视后安排学生讲解教师巡视全班在学生中收集到以下解法：（
12、生展示）解法一： ；3212（成对相乘出现的数可开出根号）解法二： ；4（完全平方数可开出根号）2、由 1.3.5.7.9 组的 4.5 号依次上台板演；3.学生板演完后，教师再派 2.4.6.8 组的 3 号同学用彩色粉笔进行修改（教师监督） ；4.待全班同学完成后，先自行核对，并可在组内小声交流，如有问题的话教师就点评一下；5.教师组织学生阅读云朵里的化简步骤。（实践表明此处有些学生掌握起来有一定难度。我就想了个办法：将根号比作皇宫。里面的数要想逃跑就要化成积的形式，完全平方数胆子大，一个人就可以逃掉；非完全平方数胆子小，要结伴才敢逃，但是在“逃亡”中“死一个活一个” 。 ） 例 2 把下
13、列各式化为最简二次根式3112214xy2即时练习 2：把下列各式化为最简二次根式5.13983281x注意：（1）化简二次根式时，往往需要先把被开方数分解因数；（2）当二次根式的被开方数含有分母时，化简后要保证根号内没有分母。设计意图掌握被开方数是分数（分式）的二次根式的化简方法。教学流程1.教师通过设计一连串循序渐进的问题，给师、生搭建好交流的平台，促使学生展开充分的思考，使学生在谈话的过程中获取新知：（师： 是最简二次根式吗？ 生：不是。被开方数是分数312步骤：分（被开方数分解质因数）开（一对开出是一个）留（不成对就留下）越来越熟悉之后你有更快的方法吗？步骤：分（分母分解质因数）补（补
14、队）开（分母开出是分母，分子开出是分子）师：分数与整数有什么区别？ 生：分数有分母师：能让 的分母“3”消失吗？ 生：不能，改变了原数的大小31师：能从根式里消失吗？ 生：补对。2 31师：根号里的 3 开出根号后要碰到 2， “争位子”要打架，怎么办？教学中我会在此处让学生尽情的发表意见，常见错误有： , , 。这个地方的教学不可怠慢，2635新知识不过关，学生在以后的计算中往往难以纠正。教学中可视学生的掌握情况再结合例子 来说明。3294）2.师生共同归纳：从根号里开出来的数与根号外的数彼此间是相乘的关系；由分母开出的仍是分母，分子开出的是分子。3.学生独立解答例 2，同时由 1.3.5.
15、7.9 组的 4.5 号依次上台板演；4.学生板演完后，教师再派 2.4.6.8 组的 3 号同学用彩色粉笔进行修改（教师监督） ；同时教师巡视全班在学生中收集到以下解法：（生展示）解法一： 623412（4 是完全平方数，可直接开出根号；3 非完全平方数，需补对才能开出根号）解法二： （学生的常见解法）631234115.教师可让学生对比两种方法的优劣，找出最简解法。6.最后教师再组织学生阅读学案上云朵中的内容。二、拓展教材5.分母有理化：二次根式进行除法运算时，当被开方数不能恰好开尽时，常采用分母有理化的方法进行化简。如： 像这样把分母中的根号化去的方法，36232叫做分母有理化。分母有理
16、化的依据：分数的基本性质和公式 )0()(2a例 3 把下列各式中的分母有理化 513282481设计意图让学生掌握分母是单个带根号的数的分母有理化的方法。该知识点与例 2 有很多相似之处，基本上能交给学生利用学习小组完成。只是学生对“分母有理化”这个概念还比较陌生，可以通过学生自主阅读及学生在小组间的交流中熟练掌握这个概念。教学流程1.学生先独立阅读学案 19、20 页； 2.学生分学习小组完成例 3；3.教师巡视后安排学生板演； 4.较原学案我增加了一个小题 我会安排学生将不同的解法写在黑板上：82解法一： 248282 缺啥补啥解法二： （凑成完全平方数）2416282解法三： （先将分
17、母分解质因数）24（这个环节应视学生掌握情况安排在例 3 快结束时，可用于帮助学生提炼解题方法）4.教师组织学生阅读并理解学案中的”注意” 。注意：（1）化简二次根式时，往往需要先把被开方数分解因数；（2）当二次根式的被开方数含有分母时，化简后要保证根号内没有分母。6.互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们就把这两个代数式叫做互为有理化因式。形如： 与 我xbaxba们称作互为有理化因式。例 4 先说出下列各式中分母的有理化因式，再 把下列各式中的分母有理化。121323132ba即时练习 3：把下列各式中的分母有理化 21351修改依据与设计意图原学案中只
18、在例 4 之后注意中提到了“有理化因式” 。我将这个概念的得来写在例 4 之前，这样可以使学生明白该知识的“来龙去脉” ，便于学生自学及小组讨论，使学生做起题来有理可依；同时我在原学案例 4的题干中多增加了一个任务：“先说出下列各式中分母的有理化因式” 。我的目的是：借以提示学生往“互为有理化因式”上思考，以降低学习难度；同时又可以考查学生是否掌握了该知识。我想利用此点来突破教学难点：当分母不再是单个带根号的数，而是一个式子（有理数、无理数的代数和）的分母有理化。教学流程1、学生先独立阅读学案再分组完成任务：“说出下列各式中分母的有理化因式” ； 2、教师安排学生上台完成题目： ；)23)(。
19、)23)(3.教师利用学生的结果，让学生自由发表意见：这两个式子有何不同？师： 为什么不能用公式 将根号去掉？)( 2)(a2)(生： 中括号内没有其它运算，平方直接作用于根号； 括号中还有加法运算，平方是作用2a 2)3于和并非直接作用于根号。师生小结：分母有理化的方法当分母是单个带根号的数时， “缺啥补啥” ；当分母是二项式时，将分母配成平方差公式。4学生完成例 4 并交流。三、反思与小结本节课你主要学到了些什么？你认为有哪些地方应特别注意？把它与大家分享。设计意图 配成平方差公式才行哦！学生对本节课的主要内容和易错点进行回顾与梳理，并对比学习目标，检测目标是否达成。四、 【星级达标】1.
20、 下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由。3.0ba28322ba2.把下列各式化为最简二次根式8154216yx)4()8(22315yx3. 把下列各式分母有理化62408375323ba4. 计算 + + +2141109设计意图 1 题是考查最简二次根式的概念 2 题是检查学生化简二次根式掌握的情况 3 题是分母有理化，4 题则是供学有余力的学生完成。五、布置作业 完成学案未完成部分并预习下一课时（七）教学评价1.诊断性评价：本课时教学开始时，通过学习准备，弄清学生对开方运算的掌握情况，同时，考虑不同学生的个体差异和发展层次，对教学内容和教法进行调整与优化，体现因材施教。2.形成性评价：在教学过程中，通过巡视提问、小组学习、练习反馈等方式对学生的知识掌握和能力发展进行即时的评价，根据获得的反馈信息，调控教学节奏，组织好师生活动，提高课堂效益。3.终结性评价：在课时结束前，通过学生归纳总结和星级达标，对本课时的教学进行终结性评价，考查学生是否初步达到教学目标，并为后续教学是否进行调整提供依据，从而达到教学优化的目的。附：板书设计第九课时 最简二次根式及分母有理化学习目标：1、2、3、基础知识：1、2、3、例 1： 例 3：例 2： 例 4：
