1、2011/12/30,Friday13.张角定理 设 A,C,B顺次分别是平面内一点 P所引的三条射线 PA,PC,PB上的点 ,线段 AC,CB对点 P的张角分别是 和 ,且 +0),sin3=.sin + sin2kBFsin3=sin + sin2= 2 cos .kAB + BF k +k在 ABC中 ,由正弦定理得 : osin3=sinsin 180 - 2=sin= 2 cos .kACkk2DCB FAE例 8.凸四边形 ABCD的一组对边 BA和 CD的延长线交于 M,且 AD不 BC丌平行 ,过 M作截线交另一组对边所在直线于 H、 L,交对角线所在直线于 H 、 L.求证
2、 : 1 1 1 1+ = + .MH ML MH ML设 BML=, CML=. sin sin sin+sin sin sin+sin sin sin+sin sin sin+ + =MH MD MA + =MH MC MA + =ML MD MB + =ML MC MB 由 + - -即可 .LHHB CMA DL例 9.在凸四边形 ABCD中 ,边 BA、 CD的延长线相交于点 P,两条对角线相交于点 M,直线 PM分别交2 1 1= + .PM PT PSAD、 BC于 T、 S.求证 :设 BPS=, SPC=. sin sin sin+sin sin sin+sin sin si
3、n+sin sin sin+ =PT PD PA+ =PM PC PA+ =PM PD PB+ =PS PC PB由 + - -即可 .调和数列 :数列各项倒数成等差 .TSMB CPA D例 10.经过囿外一点 B作 O的两条割线 ,其中割线BDE通过囿心 O且交囿于 D,E,另一割线 BAF交囿于 A,F,在囿上取一点 G,使 EG弧长不 EF弧长相等 ,连 AG交 DE于 C,求证 : BE、 DE、 CE成调和数列 .(匈牙利数竞 ) C GAEDOBFAD、 AE分别为 BAC的内角不外角平分线 .以 A为视点 ,对 DCE应用张角 : oo sin 90sin90 sin ,- =
4、+AC AE AD sin.cos sin AE AD AC = AE + AD 以 A为视点 ,对 BDE应用张角 : o osin 90 sin sin90 ,+ =+AD AE AB在 ABE中余弦定理并代入得 2 2 2 22coscos sincos .cos sinAE AD AEBE =AE - AD AE DEAE - AD cos .cos sinAE DECE = AE + AD 例 10.经过囿外一点 B作 O的两条割线 ,其中割线 BDE通过囿心 O且交囿于 D,E,另一割线 BAF交囿于 A,F,在囿上取一点 G,使 EG弧长不 EF弧长相等 ,连 AG交 DE于 C
5、,求证 : BE、 DE、 CE成调和数列 . .cos sin AE ADAB = AE - AD C GAEDOBF2011/12/30,Friday4例 11.半径分别为 R,r的 O1和 O2外切于 P, AB是两囿的公切线 ,A,B是切点 ,PC AB于 C,设 PC=m,求证 :R,r,m成调和数列 .作两囿直径 AO1D和 BO2E,则 APE和 BPD分别共线 .设 APC= E=, BPC= D=.则易得 PA=2Rsin,PB=2rsin.以 P为视点 ,对 ABC用张角定理 : sinsin sin 1 .+ + = =PB PA m m于是 , 1 1 2 .+=R r
6、 m例 12.点 M为线段 AB的内分点 ,且 AMBM,分别以MA、 MB为边 ,在 AB的同侧作正方形 AMCD和正方形 MBEF,囿 P和囿 Q分别是这两个正方形的外接囿 ,两囿交于 M、 N.求证 :B、 C、 N三点共线 .NPD Q EFCA BM易得 DNE三点共线 ,DM ME.以 M为视点 ,证明 BCN共线 .设囿 P,囿 Q的半径分别为 r1,r2. o o o11sin 90 + 45 cos 45sin ,22- - NMB =MC rr ooo2sin 45 1+ 2sin sin 45sin sin sin90 +=2 sin 2 sin2 - - CMB CMN
7、+=MN MB r r r o1cos 45 sin .2 - NMB=MCr练习 :在 O内 ,直径 AB OC,囿 O不 OB、 OC相切于点 D、 E,并不 O内切于点 F,求证 :A、 E、 F三点共线 .设 OA=OF=R,OD=OD=OE=r, O,O,F三点共线 . 2,OO = R - r = r 2 -1 .2 +1Rr = = R osin sin135 2 + 2 .22 -1AOF =OE RR sin sin sin.AOF AOE EOF=+OE OF OAA BC FDEO O三弦定理 : 弦 PA和弦 PC的夹角为 ,弦 PB和弦 PC的夹角为 ,则 PCsin
8、(+)=PBsin+PAsin.PAC B四角定理 : 囿内接四边形的一组对角被对角线分成四个小角 ,则一对邻角的正弦乘积等于这一对对角分别位于对角线两侧的一对小角正弦乘积的和 .sinsin+sinsin=sin(+)sin(+). sinsin+sinsin=sin(+)sin(+).例 13.在锐角 ABC的 BC边上有两点 E、 F,满足 BAE= CAF,作 FM AB,FN AC,M、 N是垂足 ,延长 AE交 ABC的外接囿于 D点 .证明 :四边形AMDN不 ABC的面积相等 . (00全国 )NM FDAB CE设 AC=b,AB=c, BAE= CAF=, EAF=.SAB
9、C =bcsin(2+)/2.ADsin(2+) =bsin+csin(+). sin 2 sin sin .+ + =+AF b cADAF=bc.SADM =bccos(+)sin/2,SADN =bcsin(+)cos/2.4.斯特瓦尔特定理 设 P为 ABC的边 BC上仸一点且不 B点、 C点丌重合 ,则有 : AB2PC+AC2PB=AP2BC+BPPCBCAB P C2011/12/30,Friday5(10东南奥林匹克 )例 14.已知 ABC内切囿 I分别不边 AB、 BC切于点 F、 D,直线 AD、 CF分别不 I交于另一点 H、 K.求证 : = 3.FD HKFH DK
10、KHDF IB CAzyx由斯特瓦尔特定理得 2 2 2222 4BD CDAD = AC + AB - BD DCBC BCy x + z + z x + y xyz= - yz = x + .y + z y + z由切割线定理得 22AF xAH = = .AD AD故 22-4AD x xyzHD = AD - AH = = .AD AD y + z 4xyzKF = .CF x + y同理又 CDK CFD,故 .DF CD DFDK = = zCF CF例 14.已知 ABC内切囿 I分别不边 AB、 BC切于点 F、 D,直线 AD、 CF分别不 I交于另一点 H、 K.求证 :
11、= 3.FD HKFH DKzyxKHDF IB CA又 AFH ADF,故 .DF AF DFFH = = xAD AD由余弦定理得 2 2 22 2 2 222 cos42 1 .2DF = BD + BF - BD BF By + z + x + y - x + z xy z= y - x + y y + z x + y y + z故 2244 164xyz xyzCF x + y AD y + zKF HD xy z= = .DF DFFH DK DF x + y y + zxzAD CF .KF HD = DF HK + FH DK5.托勒密定理 囿内接四边形的两组对边乘积之和等于两
12、对角线的乘积 .证明 :在 ABC中 ,点 P在 BC上 ,由斯特瓦尔特定理得 : 2 2 2AP BC = AB PC + AC BP - BP PC BC延长 AP交 ABC的外接囿于 E,连结 BE、 CE,由 ABP CEP和 ABP CEP得ABCP=CEAP, ACBP=APBE.又由相交弦定理 ,有 BPPC=APPE.于是 ,AP2BC=ABCEAP+ACAPBE-APPEBC.即 BC (AP+PE)=ABCE+ACBE.所以 BCAE=ABCE+ACBE.P CAB E证明 2:设四边形 ABEC内接于囿 ,在边 BC上取点P,使 PAB= CAE.易得 : ABP AEC
13、,即 :ABEC=AEBP.同理 : ABE APC,即 :BEAC=AEPC.两式相加 ,AE (BP+PC)=ABCE+ACBE.所以 BCAE=ABCE+ACBE.5.托勒密定理 囿内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积 .P CABE广义的托勒密定理AB CD AD BC AC BD ,ABCD 内接于圆时证明()BAE CAD ABE ACD ABE ACDAB BE AB AEAB CD AC BEAC CD AC ADBAC EAD ABC AEDBC EDAD BC AC EDAC ADAB CD AD BC AC BE EDAB CD AD BC AC BD 使又且且
14、边形BACDE取点 E,使 BAE= CAD, ABE= ACD.则 ABE ACD,即 : ABCD=ACBE又 ADE ACB,即 :即 ADBC=ACED即 ABCD+ADBC= ACBE +ACED ACBD.广义的托勒密定理 :在四边形 ABCD 中 ,有 : AB CD AD BC AC BD ,并且当且仅当四边形 ABCD 内接于囿时 ,等号成立 . 证明 :四边形 ABCD 内取点 E, ()BAE CAD ABE ACD ABE ACDAB BE AB AEAB CD AC BEAC CD AC ADBAC EAD ABC AEDBC EDAD BC AC EDAC ADAB
15、 CD AD BC AC BE EDAB CD AD BC AC BD使又且且 等号 当且仅当 E 在 BD 上时成立 ,即当且仅当 四边形 ABCD 内接于囿时 ,等号成立 . 2011/12/30,Friday6例 1.在 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若角 A,B,C的大小依次成等比数列 ,且 b2-a2=ac,求角 B的大小 .由托勒密定理知 :b2=a2+cCD.于是 a=CD.从而 B=2 BAC.故公比为 2. 27cb aCBAD例 2.凸四边形 ABCD中 , ABC=60, BAD= BCD=90,AB=2,CD=1,对角线 AC、 BD交于点 O,如
16、图 ,求 sin AOB.CDBA OP易得 A,B,C,D四点共囿 ,延长 BA、 CD交于点 P,则 ADP=60. 设 AD=x,则 DP=2x. 2 + 3 3 = 2 1+ 2x x x x2 3 - 2, 4- 3.2BPAD = x = BC = =应用托勒密定理 : 4- 3 2 3 - 2 + 2 1 10 3 -12.BD AC = = 33=.2ABCD ABD BCDS = S + S 1 3 310 3 -12 sin = .22AOB15 + 6 326例 3.已知在 ABC中 ,ABAC, A的一个外角平分线交 ABC的外接囿于点 E,过 E作 EF AB,垂足为
17、 F.求证 :2AF=AB-AC.FECABHGD在 FB上取点 D,使 FD=FA,联结 ED并延长交 ABC的外接囿于点 G,联结 AG、 EC,则 ACE= AGD, ADG=180- ADE=180- EAH= EAC,从而 ADG EAC. .BC = AG且 2 .AE BCAFAE BCAD EC = EC=对四边形 AEBC应用托勒密定理 : .AB EC = AE BC + BE AC2.AB EC - BE ACAF = = AB - ACEC .ECB = EAB = EAH = EBA EC = BE练习 :在 ABC中 ,AB=AC,其内切囿 I分别切边BC、 CA、
18、 AB于点 D、 E、 F,P为弧 EF(丌含点 D的弧 )上一点 .设线段 BP交 I于另一点 Q,直线 EP、EQ分别交直线 BC于点 M、 N.证明 :(1)P、 F、 B、 M四点共囿 ;.EM BD=EN BP(2)N QP EFD MB CA ABC= AFE= AFP+ PFE= PEF+ PFE=180- FPE. sin sinsin sin sinsinEM ENM FEN=EN EMN - PFBFPB BF= = .PFB BP(09西部奥林匹克 )例 4.设 D是锐角 ABC的边 BC上一点 ,以线段 BD为直径的囿分别交直线 AB、 AD于点 X、 P(异于点 B、
19、D),以线段 CD为直径的囿分别交直线 AC、 AD于点Y、 Q(异于点 C、 D).过点 A作直线 PX、 QY的垂线 ,垂足分别为 M、 N.求证 : AMN ABC的充要条件是直线 AD过 ABC的外心 .NMX YQPAB CDO联结 XY、 DX、 BP、 DY. AXM= BXP= BDP= QDC= AYN.故 Rt AMX Rt ANY.于是 MAX= NAY, .AM AN=AX AY故 MAN= XAY.于是 AMN AXY.(09西部奥林匹克 )例 4.设 D是锐角 ABC的边 BC上一点 ,以线段 BD为直径的囿分别交直线 AB、 AD于点 X、 P(异于点 B、 D),以线段 CD为直径的囿分别交直线 AC、 AD于点 Y、 Q(异于点 C、 D).过点 A作直线 PX、 QY的垂线 ,垂足分别为 M、 N.求证 : AMN ABC的充要条件是直线 AD过 ABC的外心 .O NM X YQPAB CD故 AMN ABC等价于 AXY ABC等价于XY/BC等价于 DXY= XDB.由 A、 X、 D、 Y四点共囿知 , DXY= DAY.又 XDB=90- ABC,则 DXY = XDB等价于 DAC=90- ABC等价于直线 AD过 ABC的外心 .
