1、专题 抽象函数 的导数 问题 所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：（1） 根据条件设法确定函数的单调性；（2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面要和已知条件含有 的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函fx数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则 1 . ()()fxgfxg法则 2 .()fx法则 3 .2()()fxfxfgg例 1、 （2006 江西卷）对
2、于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有R()fx(1)0xf（ ）A. B. (0)2(1)ff(0)2()ffC. D . f1f分析：这个题目的条件 ，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个()xf函数的单调性，具体来说：由 得：(1)0xf（1） 且 ，于是在 上 单调递增；()fx(1,)(fx（2） 且 ，于是 上 单调递减； 综上可知的最小值为 ， ， ，得 ，选 C(1)f0()f2(1)f(0)2(1)ff【典型构造】若条件是 ，可构造 ，则 单调递()()fxgxf()()Fxfgx()F增；若条件是 ，可构造 ，则 单调递增；()0ff()()xef()若条件是 ，可构
3、造 ，则 单调递增；()0xff()Fxf()Fx若条件是 ，可构造 ，则nxn，若 ，则 单调递增；1()()nFxff10n()x例 2、 是 R 上的可导函数，且 ， ，求 的值f ()+fx21,()ffe()f分析：构造 ，则 ，所以 单调递增或为()()xef()0xFeffxFx常函数，而 ， ，所以 ，故01F2()()11，得1()ef()fe例 3、 （07 陕西理） 是定义在 上的非负可导函数，且满fx(0)，足 对任意正数 ，若 ，则必有（ ）()0xff ab， A B C ()ab ()ff ()afbf()ff分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能， 或，
4、1()fxg2()gxf下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：，因为 ，112()()()fxxffgg()0fx，得 ，则 ，故()0()0ffff f()0fxf，于是由 得 ，即 ，选 A1gxabb()afbf例 3、定义在 上的函数 ，导数为 ，且 ，则下式恒成(0,)2()fx()fx()tanffx立的是（ ）A. B. ()()43ff(1)2)si16ffC. D. 2()64ff3()6ff解：因为 ，所以 ，即 ，()tanfxfxsin()coxff()sin()cos0fxfx构造 ，则 ，所以 单调递增，因()sinfFx2()si()s 0nfxfxFx(
5、)Fx，所以 ，即 ，即 ，选 D63()63()63siiff()63ff练习1、已知函数 满足 ，且在 上， ，则不等式()fx2()ffx(0,)()fx的解集为（ ）(22faaA. B. C. D. ,)(,1(,22,)解析：构造 ，则 ，2g()xfx11g)(0xfxfx故 为奇函数，且在 上， ，故 是增函数，)(0,(0fg)而 ，2211(2)2)(fafafafa()(ga故只需 ，得 ，选 B12、设 在 上可导，且 ，则当 有（ ）(),fxg,b()fxgxb时 ，.A.()()Cfxaxfa()()Dfxbxf解析：构造函数 Fg，则易知 F单调递增，于是 ()
6、()Faxb，()()fxgf，选 C3、 （2011 高考辽宁）函数的定义域为 , ，对任意 ， ，则R(1)2fxR()2fx的解集为（ ）()24fxA. B. C. D. 1,(1,)(,1)(,)解析：构造函数 ，则 ，所以 在24Fxfx)20Fxf()FxR 上单调递增，又因为 ，则()()0f，于是的 ，选 B()240fxfxx1x4、已知函数 满足 ，导函数 ，则不等式 的解集为（ ()f(1)f1()2f()fx）A. B. C. D. (1,)(,)(,)(,)(1,)解析：构造函数 ，则 ，所以函数21Fxfx2102FxfA单调递减，而 ， 等价于 ，得 ，选 D;
7、()x()0()f()x5、 是定义在 R 上的可导函数，且满足 对任意正数 ，若f 0xff ab，则必有（ ）abA B C D()ffa()fabf()afbf()ff解析：构造 ，可知 递增，故选 B；FxFx6. (2009 天津) 设 在 R 上的导函数为 ，且 ，则下面的不()f ()f22()fxfx等式在 R 上恒成立的有 （ ） A B C D ()0fx()0fx()fx()fx解析：构造函数 ，则 ，2F2()Ff当 时，由 ，得 ；x2()fxfx(0)f当 时， ，得 ，于是02 2()0xffxA在 上单调递增，故 ，则 ；()Fx,)2()0FfF()当 时，
8、，得 ，则0x22()fxfx2()2()0FxffxA在 上单调递减，故 ，则 ；()F,0ff综上可知 选 A0fx7、 在 R 上的导函数为 ，且 ，且 ，则下面的不等式成立的()()fx()ffxa有 （ ） A B C D ()(0)afef()(0)afef()0ff()0fa解析：构造 ， ，则 单调递增，则xFxFx，即 ，故选 A0()()0affae()(0)afef8、函数 的导函数为 ，对任意的实数 ，都有 成立，则（ fx()fxx2()fxf）A B C D()afbf()afbf()afbf()afbf解析：构造 ， ，12()xfFe112212() 0xxxf
9、efeffe则 单调递增，则 ，即()x(ln)(l3)F，故选 Bln2ln3()2n(2ln)(l3)ffffffe9、 设函数 满足 ， ，则当 时， （ fx2xefxf8ef0x()fx）A有极大值,无极小值 B有极小值 ,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值解析：由已知得 ，设 ，23()xeff=2()()xgef求导得 ，易得 在2()()4()xx xgff ()g20且 是恒成立，因此 在 且 是恒成立，而0x223() 0xeff=x2，说明 在 时没有极大值也没有极小值 选 D()f()fx010、若定义在 R上的函数 满足 1f ，其导函数 fx
10、满足 1fxk ，则下列结论中一定错误的是（ ）A 1fk B 1fk C f D f【解析】由已知条件，构造函数 ()gxfkx，则 ()0gfxk，故函数()gx在 R上单调递增，且 10k，故 1()0，所以 1()1f，1()fk，所以结论中一定错误的是 C，选项 D 无法判断；构造函数()hxf，则 ()10hxf，所以函数 ()hx在 R上单调递增，且 10k，所以 1()0k，即 ()fk， ()1fk，选项 A,B 无法判断，故选 C11、设函数 fx是奇函数 fxR的导函数， )0f，当 x时，()0，则使得 ()0成立的 x的取值范围是（ ）A ,1(,) B (1,),)C ( D
