1、导数专题 抽象函数的导数问题 专题 抽象函数 的导数 问题 基础知识 2【类型一 根据条件确定函数的单调性】 3练习 1.3【类型二 构造积函数】 3【类型三 构造商函数】 4【类型四 构造和差函数】 5【类型五 与奇偶性结合构造函数】 5命题方式与解题规律总结 5构造型的抽象函数导数问题解题要领 6练习 2.6练习题解答 10导数专题 抽象函数的导数问题 基础知识1、求导的四则运算法则 1 . （可推广到多个函数）()()fxgfxg法则 2 .()fx法则 3 .2()()fxfxfgg2、比较重要的导数： ， ，1(ln)()xe1()nx3、单调性的逆用：单调递增，则 ；()fx121
2、2()fxfx单调递减，则 ；4、奇偶性两个奇函数的乘积、商是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数；两个偶函数的乘积、商是偶函数；两个偶函数的和、差是偶函数导数专题 抽象函数的导数问题 1 根据条件确定函数的单调性例 （2006 江西卷）对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ R()fx(1)0xf）A. B. (0)2(1)ff(0)2()ffC. D . f1总结：根据导数确定原函数的单调性，关键是确定导数的符号变化规律，要注意题目条件是否提供了与此有关的信息。练习 11、定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，若 ，R()fx(4)(fxf2)(0xf12x且 ，则有（ ）24xA. B.
3、 C. D.以上都不对1()ff12()fxf12()fxf2、设定义在 上的函数 ，函数 的图像如图所示，则下列结论成立R(y的是（ ）A、函数 有极大值 和极小值()fx(2)f(1)fB、函数 有极大值 和极小值C、函数 有极大值 和极小值()fx()f(2)fD、函数 有极大值 和极小值22 类型二 构造积函数【典型构造】若条件是 形式的 ，可构造 ，则 单()()0fxgxf()()Fxfgx()F导数专题 抽象函数的导数问题 调递增；在实际问题中，出题人往往会隐藏部分结构，如：因为 ()()()xxfefefxg所以，题目可能会只出现 ，可构造 ，则 单调0()()xFef()Fx
4、递增；类似的还有：（1 ） 若条件是 ，可构造 ，则 单调递增；()0xff()xf()x原型： ()()Fxf（2 ） 若条件是 ，可构造 ，则 单调递增；()xfnf()()nFxf()Fx原型： ， （此类型要注意 的符号） 1()()0nx1例 设 分别是定义在 R 上的可导函数， ，且,fxg()()0fxgxf，求不等式 的解集(3)0g()fx解：构造函数 ，易知 单调递增，而 ，则()Fxgf()Fx(3)F的解集为()fx3例 设 是 R 上的可导函数，且 ， ，求 的值()fxf21(0),)ffe()f分析：构造 ，则 ，所以 单调递增或为()()xFefFexFx常函数
5、，而 ， ，所以 ，故012()()1f()1，得1()ef()fe【类型三 构造商函数】【典型构造】若条件是 ，则构造 ，则()()0fxgfx()fxFg导数专题 抽象函数的导数问题 ，说明 单调递增2()() 0fxgfxF()Fx若条件是 ，可构造 ，则 单调递增；()ff xfe()例 1 （07 陕西理） 是定义在 上的非负可导函数，且满足()f(0)，对任意正数 ，若 ，则必有（ ）()0xff ab， A B ()ab ()ffC Dff)a例 2 定义在 上的函数 ，导数为 ，且 ，则下式恒成(0,)2()fx()fx()tanfx立的是（ ）A. B. 3()()43ff(
6、1)2)sin16ffC. D. 263(【类型四 构造和差函数】此类型相对简单，见练习 2 第 2 题【类型五 与奇偶性结合构造函数】例 (2014.11 呼市阶段考文 12) 已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时，有()fx0,)x恒成立，则满足 的实数 的取值范围是（ ()xffx321()f）A B C D1(,)2(1,2)(,)(,)导数专题 抽象函数的导数问题 命题方法总结此类题型一般命题方式是，给出一个函数的导数或者导数的一部分（例如，在 上导数小R于 0） ，然后考察：（1 ） 解一个不等式，需要我们构造出左右形式相同的代数式，一定是这样的不等式：，当然，要写成什么形式的，
7、要参考构造的函数的形式，对于选填12()fxf题，问题的结构可能会给我们这方面的暗示，然后根据单调性解出 （若函12x数单调递增） ；如 1，10，12（2 ） 根据函数的单调性，判断一个命题“ （ 是两个确定的实数）否成()fab,立，如 2，5，6，7，11，15（3 ） 给出一个函数值，然后解与此有关的不等式，如：函数在 上单调递增，R，求 的解集。如 3,4，13，14。(1)0f()0fx打个比方，假设“人的身高随年龄增大而增大” ，即身高是年龄的增函数，那么上述三种题型就是这三个意思：（1） 甲比乙高，谁的年龄大？（2） 甲的年龄比乙大，是甲高还是乙高？（3） 甲高 1.7 米，1
8、6 岁，乙比甲高，问乙的年龄的范围？构造型的抽象函数导数问题解题要领（1）一方面要认真观察已知条件中含有 的式子，关注表达式的结构特征，联想相关fx求导公式，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式，迅速确定构造函数的类型（是和差还是乘积还是商？） ；（2）由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结合问题的，猜想函数的结构，尝试验证；（3）将已知条件中含有 的式子都移到左边化为 的形式，左边的表达式一定是某fx 0个函数的导数或者导数的一部分导数专题 抽象函数的导数问题 练习 21、已知函数 满足 ，且在 上， ，则不等式()fx2()ffx(0,)()
9、fx的解集为（ ）(22faaA. B. C. D. ,)(,1(,22,)2、设 在 上可导，且 ，则当 有（ ）(fxg,b()fxgaxb时 ，.)A.B()Cfxaxfa()()Dfxbxf3、 （2011 高考辽宁）函数的定义域为 , ，对任意 ， ，则R12R()2fx的解集为（ ）()24fxA. B. C. D. 1,(1,)(,1)(,)4、已知函数 满足 ，导函数 ，则不等式 的解集为（ )fxf2fx1fx）A. B. C. D. (1,)(,1)(,1)(,)(,)5、 是定义在 R 上的可导函数，且满足 对任意正数 ，若fx 0xffab，则必有（ ）abA B C
10、D()ffa()fabf()afbf()ff6. (2009 天津 ) 设 在 上的导函数为 ，且 ，则下面的不(xx22x等式在 上恒成立的有（ ） RA B C D (0fx()0f()f()f7、 在 R 上的导函数为 ，且 ，且 ，则下面的不等式成立的)xx0a有（ ） A B C D ()(0)afef()(0)afef()ff()0fa8、函数 的导函数为 ，对任意的实数 ，都有 成立，则（ xxx2()x）导数专题 抽象函数的导数问题 A B 2(ln)3(2l)ff3(2ln)(l3)ffC D 2n9、 （2013 辽宁理） 函数 满足 ， ，则当 时，()fx2xefxf2
11、8ef0x（ ）()fxA有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值10、 （2014 唐山一模 16） 定义在 上的函数 满足 ，当Rfx2()ffx时， ，则不等式 的解集为 .0x()fx1()()2fxf11、 是定义在 R 上的可导函数，且满足 ，则下列不等式成2()ln0xxff立的是（ ）A B C D2()1ff2()f4()ff012、 是定义在 上的可导函数，且 ，则不等式()fx(0,)()()fxf的解集是（ ）211fxA. B. C. D. (0,)(,)(1,2)(2,)13、 是定义在 上的可导函数，且 ， ，则不等
12、式fxRfx(0)15f的解集是（ ）()214eA. B. C. D. 0,(,0)(214,)(,)(,)(,)14、 是定义在 上的可导函数，且 ， ，且 为偶函数，()fxRfxf41f2fx则不等式 的解集是（ ）xeA. B. C. D. (2,)(0,)(1,)(,)15、 是定义在 上的可导函数，且 ， 为锐角三角形内两个不等fxR()xff的内角，则( )导数专题 抽象函数的导数问题 A. B. cos(in)si(co)ffcos(in)si(co)ffC. D. 16、 是定义在 上的可导函数，且 ，()fxR(1)()0xffx，则下列一定正确的是（ ）22xeA B
13、C D(1)0f()0fef3()0)fef4()(0)fef导数专题 抽象函数的导数问题 导数专题 抽象函数的导数问题练习题解答练习 1 答案1、B 解析：由题设中条件 可得出函数关于 对称，(4)(fxf2x由 可得出 时， ， 时 ，即函数在(2)(0xf20()0f上是增函数，在 上是减函数,(,)又 ，且 ，可知二者中至少有一个大于 2 等于，下进行讨论:12x124x若 ，显然有 ；12()ffx若 ，则因为 可得 ，故有 ，12x124x122()4)(fxffx综上讨论知，在所给的题设条件下总有 ，故选 （本题画图定性判断亦可）()ffB2、D 根据图像判断，当 时，得 ；当
14、时，得 ；2x()0fx21x()0fx当 ，得 ；当 ，得 ，1x()0f 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是减函数，在()f,2(,1)(,)上是增函数，函数 有极大值 和极小值 2,fx(2f2f练习 2 解答1、 构造 ，则 ，故21g()xf2211g()()()0fxfx为奇函数，且在 上， ，故 是增函数，0,0g而 ，221(2)(2()()()fafafafa ()(ga故只需 ，得 ，选 B12、解析：构造函数 )Fxgx，则易知 Fx单调递增，于是()(Fb， ()()ff，选 C3、解答：构造函数 ，则 ，所以)24()20f导数专题 抽象函数的导数问题 在 R
15、上单调递增，又因为 ，则()Fx(1)2(1)40Ff，于是的 ，选 B24()240ffxxx4.构造函数 ，则 ，所以函数()()2fA单调递减，而 ， 等价于 ，得 ，选 D;()Fx(1)F1fx0Fx15. ，可知 递增，故选 B；()f6、构造函数 ，则 ，2()xf()2()xfxf当 时，由 ，得 ；0x20当 时， ，得 ，于是2()fxfx 2()()0FxffxA在 上单调递增，故 ，则 ；()Fx,20f()当 时， ，得 ，则02()ff2()()ff在 上单调递减，故 ，则 ；()x, 2Fxffx综上可知 0f7、解析：构造 ， ，则 单调递增，则()xfFe2(
16、) 0xffe()Fx，即 ，故选 A0()aaaff8、选 B 解析：构造 ，12()xfe，112212()()() 0xxxfefeffFxe则 单调递增，则 ，()(ln)(l3)F即 ，故选 Bln2ln3n(2ln)(l3)2ffffffe9、选 D 解析：由已知得23()xeff=，设2()()xgef，导数专题 抽象函数的导数问题 求导得22()()4()e()xxx egefxf，易得 ()g20在0x且 恒成立，因此23) 0xff=在 x且 恒成立，而(2)f，说明 ()fx在 0时没有极大值也没有极小值10 解析：构造方式与第一题类似，好像原题是自主招生试题1,11、答
17、案 A选 A 解析：构造 ， ，又()2xfF2()() 0xxff，则 ，于是 单调递增，则 ，即2()()ln20xxff()0()(1)F，故选 A112、答案 D构造函数 ，于是该函数递减， 变()()0xffxf 2(1)(1)fxfx形为 ，于是 ，得 ，选 D22(1)(1)()ff210x13、答案 D， ，故()()xxgef()()e()()10xxxgffefx单调递增， ，即 ，又 ，2014fe2014g0()24gfe于是 ，故 ，选 D()0xx14、答案 B 构造 ， ，则 单调递减，又()xfFe()()0xffe()Fx， ，即 的解集为 ，故选 B(0)41f 0()1fg()1xfge(0,)15. B ， ，故选 B2()()()fxxffgcosin导数专题 抽象函数的导数问题 16、选 C 构造函数，则 ，()xfFe1)()0(1)(0fxfxF则易知函数在单调递增，在单调递减，
