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1、 斜 抛 运 动【 知 识 解 析 】知 识 点 1 斜 抛 运 动 及 其 特 点1、 斜 抛 运 动 的 概 念 及 特 点将 物 体 以 一 定 的 初 速 度 斜 向 上 方 抛 出 后 ， 物 体 所 做 的 运 动 叫 做 斜 抛运 动 。做 斜 抛 运 动 的 物 体 ， 在 忽 略 空 气 阻 力 的 情 况 下 由 于 只 受 重 力 的 作 用 ，因 此 ， 斜 抛 运 动 是 匀 变 速 曲 线 运 动 。轨 迹 特 点 ： 做 斜 抛 运 动 的 物 体 ， 先 是 沿 着 曲 线 上 升 ， 到 达 最 高 点 后 ，又 沿 着 曲 线 下 降 。 图 1 中 的 曲

2、 线 OAB就 是 斜 抛 物 体 的 运 动 轨 迹 。 图 1 【 例 1 】 以 相 同 的 初 速 度 ， 不 同 的 抛 射 角 同 时 抛 出 三 个 小 球 A、 B、 C，A、 B、 C三 球 在 空 中 的 运 动 轨 迹 如 图 所 示 ， 下 列 说 法 中 错 误 的 是 （ ）A. A、 B、 C三 球 在 运 动 过 程 中 ， 加 速 度 都 相 同B. B球 的 射 程 最 远 ， 所 以 最 迟 落 地C. A球 的 射 程 最 大 ， 所 以 最 迟 落 地D. A、 C两 球 的 射 程 相 等 ， 两 球 的 抛 射 角 互 为 余 角 ， 即点 拨 ：

3、 用 运 动 的 合 成 与 分 解 的 方 法 来 讨 论 斜 抛 运 动 ， 理 解 斜 抛 运 动 的 处理 方 法 。【 借 题 发 挥 】 在 塔 顶 上 分 别 以 跟 水 平 线 成 4 5 角 斜 向 上 的 、 水 平 的 ， 跟水 平 线 成 4 5 角 斜 向 下 的 三 个 方 向 开 枪 ， 子 弹 射 到 地 面 时 的 速 度 大 小 分别 为和（ 设 三 种 方 向 射 出 的 子 弹 的 初 速 度 的 大 小 都 一 样 ， 不 计 空 气 阻 力 ） ， 那么 （ D）A.B.C.D.2 、 斜 抛 运 动 的 研 究 方 法 利 用 运 动 的 合 成

4、与 分 解 。由 于 斜 抛 运 动 在 不 考 虑 空 气 阻 力 的 情 况 下 ， 只 受 重 力 作 用 ， 因 此 ， 对 斜抛 运 动 也 有 多 种 分 解 方 法 。方 法 一 ： 类 似 于 研 究 平 抛 运 动 ， 我 们 以 抛 出 点 为 坐 标 原 点 ， 建 立 直 角坐 标 系 ， 把 初 速 度 分 解 为 沿 水 平 方 向 的 分 量和 竖 直 方 向 的 分 量， 这 样 ， 就 可 以 将 斜 抛 运 动 分 解 为 水 平 方 向 上 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直向 上 的 匀 减 速 直 线 运 动 ， 如 图 2 所 示 。图 2 图

5、3 方 法 二 ： 分 解 为 沿 初 速 度 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 自 由 落体 运 动 。 如 图 3 所 示 ， 每 经 过 1 s物 体 沿 初 速 度 方 向 走 过 相 等 的 距 离 ； 而在 竖 直 方 向 上 ， 物 体 按 自 由 落 体 运 动 的 规 律 ， 在 1 s内 、 2 s内 、 3 s内 的 下 落 距 离 之 比 为 1 ： 4 ： 9 根 据 以 上 分 析 ， 我 们 可 以 画 出 物 体 做 斜 抛 运 动 时 的 轨 迹 （ 如 图 3 所示 ）【 例 2 】 如 图 2 所 示 ， 从 距 离 墙 壁 为

6、l的 水 平 地 面 上 的 A点 ， 以 初 速 度、 抛 射 角， 斜 向 上 抛 一 球 ， 球 恰 在 上 升 到 最 高 点 时 与 墙 相 碰 ， 碰 后 被 水 平 反 弹 回来 ， 落 到 地 面 上 的 C点 ， 且 OC 1 /2 。 则 小 球 被 反 弹 的 速 度的 大 小 与 初 速 度的 大 小 之 比 为 （ ） 图 2A. 1 ： 2 B.C.D.点 拨 ： 物 体 以 速 度 v 斜 向 上 （ 或 斜 向 下 ） 抛 出 ， 与 水 平 方 向 的 夹 角 为， 则 水 平 方 向 的 速 度， 竖 直 方 向 的 初 速 度。 斜 上 抛 运 动 分 解

7、 为 水 平 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 竖 直 上抛 运 动 ： 斜 上 抛 运 动 还 可 分 解 为 ： 沿 初 速 度 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方向 上 的 自 由 落 体 运 动 。 斜 下 抛 运 动 通 常 分 解 为 ： 水 平 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 上的 竖 直 下 抛 运 动 ：。 知 识 点 2 斜 抛 运 动 的 规 律(2 )斜 抛 运 动 的 规 律 以 抛 出 点 为 坐 标 原 点 ， 以 抛 出 时 刻 为 计 时 时 刻 ， 以 x 、 y 轴 的 正 方 向为 研 究

8、 的 正 方 向 ， 斜 抛 运 动 的 规 律 可 由 下 列 方 程 表 示 ， 两 组 基 本 方 程 ： 、 速 度 关 系 ： 、 位 移 关 系 ：当 然 在 竖 直 方 向 ， 其 它 匀 变 速 直 线 运 动 的 公 式 同 样 能 使 用 。 合 速 度 即 实 际 速 度 ， 大 小 为 ：经 t时 间 位 移 大 小 为 ：(3 )运 动 方 程 和 轨 迹 特 点 ： 因 ， 代 入 下 面 式 子 中 ： 得 ： 由 上 面 的 方 程 可 知 ， 物 体 的 运 动 轨 迹 应 为 抛 物 线 。 (4 )三 个 特 征 参 量 ： 射 程 ： 在 斜 抛 运 动

9、 中 ， 从 物 体 初 抛 出 的 地 点 到 落 地 点 的 水 平 距 离 ， 用X表 示 。 射 高 ： 从 抛 出 点 的 水 平 面 到 物 体 运 动 轨 迹 最 高 点 的 高 度 ， 用 Y表 示 。 飞 行 时 间 ： 从 物 体 被 抛 出 到 落 地 所 用 的 时 间 ， 用 T表 示 。【 例 3 】 如 图 有 一 门 迫 击 炮 射 击 一 个 在 山 坡 上 的 目 标 。 假 设 迫 击 炮 弹 的初 速 度 是 v0 ， 山 坡 的 倾 斜 角 为 ， 射 击 方 向 跟 水 平 方 向 所 成 的 角 为 ， 试求 炮 弹 将 落 在 l为 多 远 的

10、地 方 ？ 其 中 l AB， 空 气 阻 力 不 计 。解 析 ： 因 空 气 阻 力 不 计 ， 可 将 炮 弹 的 抛 物 运 动 分 解 为 沿 水 平 方 向 的 匀 速直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 竖 直 上 抛 运 动 ， 故 从 A到 B时 间 为 t。 则 其 在 水 平 方 向 与 竖 直 方 向 上 相 应 的 位 移 为 ： x v0 co st y v0 sin t 而 炮 弹 落 在 B点 ， 由 几 何 关 系 ： x lco s y lsin 解 上 四 式 ， 得 ：推 导 ： 对 做 斜 抛 运 动 的 物 体 ， 它 完 成 一 个 运 动 过

11、程 在 竖 直 方 向 上 的 位 移 为零 ， 即 y 0 。 根 据 y (v0 sin )t则 0 (v 0 sin )T因 为 ， 飞 行 时 间 T不 能 为 零 ， 解 上 面 的 方 程 ， 得 到 物 体 的 飞 行 时间 ： 由 中 物 体 的 飞 行 时 间 ， 再 据 x (v0 co s)t得 ： X (v0 co s)T (v 0 co s)(其 中 sin 2 2 co ssin ) 所 以 ， 水 平 射 程 ： 设 ， 物 体 从 被 抛 出 到 上 升 到 最 高 点 时 间 为 t， 物 体 到 达 最 高 点 时 的竖 直 分 速 度 应 该 为 0 。

12、即 ， 0 (v0 sin ) g t 得 物 体 上 升 到 最 大 高 度 的 时 间 ：代 入中 得 物 体 的 射 高 ： 由 、 、 式 可 知 ， X、 Y、 T这 三 个 物 理 量 都 只 与 抛 体 的 初 速 度v 0 和 抛 射 角 有 关 。【 例 4 】 如 图 4 所 示 ， 一 架 飞 机 距 地 面 的 高 度 为 h ， 以 匀 速水 平 飞 行 。 今 有 一 高 射 炮 要 击 中 飞 机 ， 设 高 射 炮 炮 弹 的 初 速 度 为， 与 水 平 方 向 的 夹 角 为， 并 设 发 射 时 飞 机 在 高 射 炮 的 正 上 方 ， 空 气 的 阻

13、力 可 不 计 ， 那 么 要 击 中飞 机 ，必 须 满 足 什 么 条 件 ？ 并 讨 论和的 关 系 。解 析 ： 炮 弹 击 中 飞 机 必 须 满 足 的 第 一 个 条 件即 在 同 一 时 刻 炮 弹 和 飞 机 的 横 坐 标 相 等 。炮 弹 击 中 飞 机 的 第 二 个 条 件 是 飞 行 的 最 大 高 度。 由 两 个 条 件 得所 以所 以 ， 击 中 条 件 是和不 同 ，就 不 同 ， 但 是 整 体 要 满 足 上 面 两 个 推 论 结 果 。方 法 点 拨 ： 画 出 运 动 示 意 图 ， 明 确 相 关 物 体 的 运 动 位 移 和 速 度 的 关系

14、 ， 寻 找 相 关 的 几 何 关 系 ， 是 解 决 这 类 问 题 的 关 键 所 在 。三 . 易 错 点 透 析（ 1 ） 注 意 斜 抛 的 对 称 性 。（ 2 ） 对 速 度 进 行 分 解 时 要 注 意 。 一 般 沿 竖 直 方 向 与 水 平 方 向 分 解 。例 ： 如 图 5 所 示 ， 斜 上 抛 ， 分 解 成 竖 直 方 向 上 的 竖 直 上 抛 运 动 与 水 平方 向 的 匀 速 直 线 运 动 。图 5 图 6如 图 6 所 示 ， 斜 下 抛 ， 可 分 解 成 竖 直 方 向 上 的 竖 直 下 抛 运 动 与 水 平 方向 的 匀 速 直 线 运

15、 动 。这 样 便 于 用 已 学 知 识 找 出 斜 抛 运 动 的 规 律 。【 典 例 讲 解 】 ： 斜 抛 运 动 的 处 理 方 法 1 、 把 斜 抛 运 动 分 解 成 水 平 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 竖 直 上 抛运 动 ， 这 是 解 决 斜 抛 运 动 的 基 本 方 法 ， 也 是 最 重 要 的 方 法 。 解 决 斜 抛 运动 的 关 键 要 记 住 两 组 基 本 方 程 ： 速 度 方 程 ：位 移 方 程 ：【 例 5 】 一 枪 口 对 着 一 竖 直 靶 瞄 准 ， 子 弹 恰 可 垂 直 射 入 靶 中 。 假 设 枪

16、 口离 靶 的 水 平 距 离 为 a， 子 弹 的 出 口 速 度 为 v0 ， 如 图 所 示 ， 且 可 认 为 子 弹做 斜 抛 运 动 。 求 ： (1 )若 枪 口 的 倾 角 为 ， 则 sin 2 ？ (用 v 0 、 a、 g 表 示 ， 其 中 sin 2 2 sin co s) (2 )子 弹 击 中 靶 处 的 高 度 h 与 瞄 准 点 高 度 H的 关 系 ？2 、 斜 抛 运 动 具 有 对 称 性 。 因 竖 直 上 抛 运 动 具 有 对 称 性 ， 因 此 斜 抛 运 动 也 具 有 对 称 性 ， 对 称 轴是 通 过 最 高 点 垂 直 于 水 平 的

17、直 线 。 又 因 最 高 点 仅 有 水 平 速 度 ， 故 ab 段 应为 平 抛 运 动 ， 且 o a段 与 ab 段 对 称 ， 故 to a tab ， 其 中 to a是 从 o a的 时 间 ，tab 是 从 ab 的 时 间 ， 同 时 o 点 和 b 点 速 率 也 应 相 同 ， 在 处 理 问 题 时 ， 可 直接 应 用 。【 例 6 】 从 高 H处 的 一 点 O先 后 平 抛 小 球 1 和 2 ， 球 1 恰 好 直 接 越 过 竖 直 档板 落 到 水 平 地 面 上 B点 ， 球 2 则 与 地 面 A点 碰 撞 一 次 后 ， 也 恰 好 越 过 竖 直

18、档 板 ， 而 后 也 落 到 B点 ， 如 下 图 示 ， 设 球 2 与 地 面 碰 撞 遵 循 类 似 光 的 反 射定 律 ， 且 反 弹 速 度 大 小 与 碰 撞 前 相 同 ， 求 竖 直 档 板 高 度 h 。解 析 ： 本 题 要 从 运 动 的 独 立 性 为 切 入 点 考 虑 ， 由 斜 抛 运 动 的 对 称 性特 点 ， 可 得 2 的 运 动 时 间 是 1 球 的 3 倍 ， 设 1 、 2 球 运 动 时 间 分 别 为 t1 、 t2 则 水 平 方 向 有 ： v2 t2 v 1 t1 ， t2 3 t1 v1 3 v 2 又 因 两 球 飞 过 竖 直

19、档 板 的 水 平 位 移 相 同 ， 故 它 们 过 档 板 前 的 飞 行 时间 应 满 足 ： t2 3 t1 设 2 球 从 第 一 次 落 地 到 飞 至 档 板 顶 端 所 用 时 间 为 t， 则 有 ：故 球 2 落 地 时 ， 竖 直 分 量 为 球 2 达 到 档 板 顶 端 时 ， 竖 直 分 量 为 且 v2 v 2 g t 由 、 、 、 式 ， 解 得 ：【 巩 固 练 习 】1 、 关 于 做 斜 抛 运 动 （ 不 计 空 气 阻 力 ） 的 物 体 ， 下 列 说 法 中 正 确 的 是 （ ）A. 初 速 度 越 大 ， 射 程 越 大 B. 抛 射 角 越

20、 大 ， 射 程 越 小C. 初 速 度 一 定 时 ， 抛 射 角 越 大 ， 射 程 越 小 D. 抛 射 角 一 定 时 ， 初 速 度 越 大 ， 射 程 越 大2 、 A、 B两 物 体 初 速 度 相 同 ， A沿 与 水 平 方 向 成角 的 光 滑 斜 面 上 滑 ； B与 水 平 方 向 成角 斜 上 抛 。 它 们 所 能 达 到 的 最 大 高 度 分 别 为和， 则 （ ） A.B.C.D. 无 法 确 定3 、 做 斜 上 抛 运 动 的 物 体 （ ）A. 水 平 分 速 度 不 变 B. 加 速 度 不 变 C. 在 相 同 的 高 度 处 有 相 同 的 速 度

21、 D. 经 过 最 高 点 时 ， 瞬 时 速度 为 零4 、 如 图 1 所 示 ， 已 知 炮 弹 的 初 速 度 是， 今 把 大 炮 置 于 高 度 为 8 0 0 m的 山 上 ， 要 使 炮 弹 命 中 水 平 距 离 是 9 .6 k m的地 面 上 的 目 标 。 求 ： 图 1（ 1 ） 发 射 时 炮 筒 的 仰 角 ；（ 2 ） 炮 弹 落 地 时 的 速 度 （ g 取） 5 、 对 做 斜 抛 运 动 的 物 体 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A、 它 是 匀 变 速 曲 线 运 动 B、 它 到 达 最 高 点 时 速 度 为 零 C、 它 可 分 解

22、 为 沿 初 速 度 方 向 的 匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向 的 自 由 落体 运 动 D、 若 抛 出 点 和 落 地 点 在 同 一 水 平 面 上 ， 则 抛 出 点 的 速 度 与 落 地 点速 度 一 定 相 同 6 、 在 高 空 中 有 a、 b 、 c、 d 四 个 小 球 ， 在 同 一 位 置 、 同 一 竖 直 面 内 、 同时 、 以 相 同 的 速 率 抛 出 ， 抛 出 时 抛 射 角 都 为 4 5 ， 见 图 示 ， 那 么 1 s 后 四个 小 球 在 空 中 的 位 置 构 成 的 正 确 图 形 是 ( )7 、 地 面 上 的 水 龙 头

23、 按 下 图 示 的 方 式 向 上 喷 水 ， 所 有 水 珠 喷 出 的 初 速 度大 小 均 为 v0 ， 都 可 认 为 它 们 做 斜 抛 运 动 ， 假 设 喷 出 后 水 束 的 最 高 位 置 距地 面 5 m， 试 求 水 束 落 地 时 的 圆 半 径 。8 、 斜 向 上 抛 一 球 ， 抛 射 角， 当时 ， 球 仍 斜 向 上 上 升 ， 但 方 向 已 跟 水 平 成角 。 求 ： （ 1 ） 球 的 初 速 度是 多 少 ？（ 2 ） 球 将 在 什 么 时 候 达 到 最 高 点 ？ （ g 取） 答 案 （ 1 ）（ 2 ）9 、 如 图 2 所 示 ， 从

24、A点 以 某 一 初 速 度 抛 出 一 个 小 球 ， 在 离 A点 水 平 距 离为 s处 有 一 堵 高 度 为 h 的 墙 BC， 要 求 小 球 能 越 过 B点 。 问 小 球 以 怎 样 的 速度 抛 出 ， 才 能 使 小 球 恰 好 越 过 墙 壁 ？图 2 【 课 后 作 业 】1 、 一 个 小 球 做 斜 抛 运 动 ， 空 气 阻 力 不 计 ， 它 经 2 s返 回 与 抛 出 点 同 一 高度 处 ， 则 小 球 的 射 高 是 ( A )A、 5 m B、 1 0 m C、 2 0 m D、 因 抛 出 时 ， 抛 射 角 和 初 速 度 不 知 ， 故上 升 高 度 不 能 确 定 2 、 在 掷 铅 球 时 ， 铅 球 出 手 时 离 地 面 高 度 为 h ， 若 出 手 时 速 度 为 v0 ， 求 以何 角 度 掷 球 时 ， 铅 球 水 平 射 程 最 远 ， 最 远 射 程 多 少 ？ (假 设 空 气 对 铝 球的 阻 力 不 计 )