正方形难题组卷.doc

1、1正方形中考培优题一选择题（共 6 小题）1 （2014宜宾）如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A 2，A n分别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）An Bn1 C （ ） n1 D n第 1 题 第 2 题2 （2008贵港）如图所示，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分ODC 交 OC 于点 E，若AB=2，则线段 OE 的长为（ ）A B C 2 D 13 （2005吉林）一块边长为 a 的正方形桌布，平辅在直径为 b（ab）的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ）A B C D4 （

2、2005陕西）用边长为 1 的正方形纸板，制成一幅七巧板（如图） ，将它拼成“小天鹅”图案（如图） ，其中阴影部分的面积为（ ）第 4 题 第 5 题A B C D5 （2005三明）如图，在方格纸中，r 这三个角的大小关系是（ ）A =r B r C r D =r6 （2003镇江）如图，将矩形 ABCD 分成 15 个大小相等的正方形，E、F、G、H 分别在 AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形 EFGH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积为（ ）第 6 题 第 7 题2A 2 B C D二填空题（共 30 小题）1 （2009荆门）如图，正方形 ABCD 边长

3、为 1，动点 P 从 A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为 2009 时，点 P 所在位置为 _ ；当点 P 所在位置为 D 点时，点 P 的运动路程为 _ （用含自然数 n 的式子表示） 2 （2008安顺）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 OE、F 分别是边 AB、BC 上的点，若 AE=4cm，CF=3cm，且 OEOF，则 EF 的长为 _ cm第 1 题 第 2 题 第 3 题3 （2008大庆）如图，把边长是 3 的正方形等分成 9 个小正方形，在有阴影的两个小正方形 ABCD 和EFGH 内（包括边界）分别取两个动点 P、R

4、，与已有格点 Q（每个小正方形的顶点叫格点）构成三角形，则当PQR 的面积取得最大值 2 时，点 P 和点 R 所在位置是 _ 4 （2007贵阳）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，MNBC 分别交 AB，CD 于点 M、N，在 MN 上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 _ 5 （2007柳州）如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间阴影为正方形已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为 _ cm第 4 题 第 5 题 第 6 题6 （2007太原）如图，正方形 ABCD 的

5、边长为 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，过 O 作 OD1AB 于D1，过 D1作 D1D2BD 于点 D2，过 D2作 D2D3AB 于 D3，依此类推其中的 OD1+D2D3+D4D5+D6D7= _ cm7 （2006杭州）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，BPC 是等边三角形，则CDP 的面积是 _ ；BPD 的面积是 _ 第 7 题 第 8 题38 （2006张家界）用边长为 1 的正方形材料制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部占整个身体面积的 _ 9 （2006山西）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，且 BE：EC=2：1，AE

6、与 BD 交于点 F，则AFD 与四边形 DEFC 的面积之比是 _ 第 9 题 第 10 题10 （2006临汾）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去若第一个正方形边长为 1，则第 n 个正方形的面积是 _ 11 （2006济南）现有若干张边长不相等但都大于 4cm 的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点 2cm 处，沿 45角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则中间阴影部分的面积是 _ cm 2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律： _ 第 1

7、1 题 第 12 题12 （2004淄博）过边长为 1 的正方形的中心 O 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A，B 两点，则线段 AB 长的取值范围是 _ 13 （2004杭州）给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为 n 个小正方形那么，通过实验与思考，你认为这样的自然数 n 可以取的所有值应该是 _ 14 （2000河南）在正方形 ABCD 所在的平面内，到正方形三边所在直线距离相等的点有 _ 个15 （2013武汉）如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则

8、线段 DH 长度的最小值是 _ 第 9 题 416 （2013桂林）如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O 2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段O1O2中点 G 的运动路径的长是 _ 17 （2013嘉兴）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AE=BF=1，小球 P 从点 E出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球 P 第一次碰到点 E 时，小球 P 与正方形的边碰撞的

9、次数为 _ ，小球 P 所经过的路程为 _ 第 16 题 第 17 题 第 18 题18 （2012湛江）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去若正方形 ABCD 的边长记为 a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a 3，a 4，a n，则 an= _ 19 （2012铜仁地区）以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、B 两点，则线段 AB 的最小值 _ 第 19 题 第 20 题20 （2012黑河）如图，在平面直角坐标

10、系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2012的坐标为 _ 21 （2012葫芦岛）如图，正三角形和正方形的面积分别为 10，6，两阴影部分的面积分别为a，b（ab） ，则（ab）等于 _ 22 （2012锦州）如图，正方形 A1B1B2C1，A 2B2B3C2，A 3B3B4C3，A nBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1、A 2、A 3、A 4、 、A n在射线 OA 上，点 B1、B 2、B 3、B 4、 、

11、B n在射线 OB 上若AOB=45，OB 1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作 S1，S 2，S 3，S n，则 Sn= _ 5第 21 题 第 22 题 第 23 题23 （2011烟台）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 _ 24 （2011泰州）如图，平面内 4 条直线 l1、l 2、l 3、l 4是一组平行线，相邻 2 条平行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点 A、C 分别在直线 l1、l 4上，该正方形的面积是 _ 平方单位第 24 题

12、 第 25 题 第 26 题25 （2011辽阳）如图，以正六边形 ABCDEF 的边 AB 为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC，则BCM 的大小为 _ 26 （2010东莞）如图，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2；以此下去，则正方形 A4B4C4D4的面积为 _ 27 （2010铁岭）如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B、D 作 DEa 于点E、BFa 于点 F，若 DE=4，BF=3，则 EF 的长为 _ 28 （2010河

13、北）把三张大小相同的正方形卡片 A，B，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示若按图 1 摆放时，阴影部分的面积为 S1；若按图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 _ S 2（填“” 、 “”或“=” ） 第 27 题 第 28 题 29 （2009青岛）如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这两个正方形重叠部分的面积是 _ 6第 29 题 第 30 题30 （2009贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影部分的面积是 _

14、 cm 2二解答题（共 15 小题）1 （2012崇左）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 长相等，问在 E、F 移动过程中：（1）EAF 的大小是否有变化？请说明理由（2）ECF 的周长是否有变化？请说明理由2 （2011泰州）在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数）的正方形 ABCD 的对角线AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O） ，顶点 C、D 都在第一象限（1）当BAO=45

15、时，求点 P 的坐标；（2）求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在AOB 的平分线上；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由3 （2011衢州）ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C=90，AC=BC=2，（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1） ，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由（2）图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得正方形面积为 s1；按照甲种剪法，在余下的ADE 和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这

16、两个正方形面积和为 s2（如图 2） ，则 s2= _ ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形面积和为 s3，继续操作下去，则第 10 次剪取时，s10= _ ；7（3）求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和4 （2010宁德）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值

17、最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长5 （2010绍兴） （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AE、BF 交于点O，AOF=90求证：BE=CF（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E、H、F、G 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，EF、GH 交于点 O，FOH=90，EF=4求 GH 的长（3）已知点 E、H、F、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，EF、GH 交于点 O，FOH=90，EF=4直接写出下列两题的答案：如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成，则 G

18、H= _ ；如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，则 GH= _ （用 n 的代数式表示） 86 （2009十堰）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上任意一点，DEAG 于点 E，BFAG 于点F（1）求证：DEBF=EF；（2）当点 G 为 BC 边中点时，试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时 DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明） 7 （2009宁德）如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一

19、点，以 AE为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD，求证：ADGABE；（2）连接 FC，观察并猜测FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b 为常数） ，E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小是否总保持不变？若FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示 tanFCN 的值；若FCN 的大小发生改变，请举例说明98 （2009湘西州）如图，

20、等腰直角ABC 腰长为 a，现分别按图 1，图 2 方式在ABC 内内接一个正方形ADFE 和正方形 PMNQ设ABC 的面积为 S，正方形 ADFE 的面积为 S1，正方形 PMNQ 的面积为 S2（1）在图 1 中，求 AD：AB 的值；在图 2 中，求 AP：AB 的值；（2）比较 S1+S2与 S 的大小9 （2008江西改编）如图 1，正方形 ABCD 和正三角形 EFG 的边长都为 1，点 E，F 分别在线段 AB，AD 上滑动，设点 G 到 CD 的距离为 x，到 BC 的距离为 y，记HEF 为 （当点 E，F 分别与 B，A 重合时，记 =0） （1）当 =0时（如图 2 所

21、示） ，求 x，y 的值（结果保留根号） ；（2）当 为何值时，点 G 落在对角形 AC 上？请说出你的理由，并求出此时 x，y 的值（结果保留根号） ；（3）请你补充完成下表（结果保留根号）： 0 30 45 60 90xy1010 （2008淄博）正方形 ABCD 的对角线交点为 O，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形（1）平行四边形 ABCD 的两条对角线交点为 O，若AOB，BOC，COD，DOA 面积分别为S1，S 2，S 3，S 4，试判断 S1，S 2，S 3，S 4的关系，并加以证明；（2）四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直，交点为 O，若AOB，BOC，COD，DO

22、A 面积分别为S1，S 2，S 3，S 4，试判断 S1，S 2，S 3，S 4的关系，并加以证明；（3）四边形 ABCD 的两条对角线交点为 O，若AOB，BOC，COD，DOA 面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4，试判断 S1，S 2，S 3，S 4的关系，并加以证明；（4）四边形 ABCD 的两条对角线相等，交点为 O，BAC=BDC，若AOB，BOC，COD，DOA 面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4，试只用 S1，S 3或只用 S2，S 4表示四边形 ABCD 的面积 S11 （2007玉溪）正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的边长分别为 2 和 ，对角线 BD 和

23、FH 都在直线 l 上，O1、O 2分别是正方形的中心，线段 O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心 O2在直线 l 上平移时，正方形 EFGH 也随之平移（其形状大小没有变化） （所谓正方形的中心，是指正方形两条对角线的交点；两个正方形的公共点，是指两个正方形边的公共点）（1）当中心 O2在直线 l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距 O1O2= _ ；（2）设计表格完成问题：随着中心 O2在直线 l 上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围12 （2007海南）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD 于点 E，交

24、 BC 的延长线于点G（1）求证：ADECDE；（2）过点 C 作 CHCE，交 FG 于点 H，求证：FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使ECG 为等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由1113 （2005无锡）已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数） ，正PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1将PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置（1）如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上，那么这

25、一翻转过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动图 2 是 k=1 时，PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图请你探索：若 k=1，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n= _ 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；（2）若 k=2，则 n= _ 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若 k=3，则 n= _ 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系（请用含 k 的代数式表示n） 14 （2004泉州）用一块边长为 60cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，

26、可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图 1） ，然后把四边折合起来（如图 2） ；求做成的盒子底面积 y（cm 2）与截去小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式；当做成的盒子的底面积为 900cm2时，试求该盒子的容积（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件：必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形；（其余部分不能裁截）折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面请你画出符合上述制作方案的一种草图（不必说明画法与根据） ；并求当底面积为 800cm2时，该盒子的高1215 （1997河北改编）命题：如图 1，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过点 A 作 AGEB，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F。（1）证明 OE=OF（2）问题：对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB，交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线交 DB的延长线于点 F，其它条件不变（如图 2） ，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明现由