1、2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.1 第八讲 幻方与数阵图 一、幻方基本概念 1、幻方 ：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 33 的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55 的称作五阶幻方 2、幻和 ：幻方中每行/列/对角线的数的和 幻和=总和阶数 二、幻方的构造方法 1、杨辉口诀法（三阶） 九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 具体操作如下： 九子斜排 上下对易，左右相更 四维挺出 2、连续摆数法（罗伯法） 适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。 要点：1、首数填在第一行的正中间 2、连续往右上方摆数 3、出
2、格了怎么办？卷纸筒，上面出格就卷到下面，右面出格就卷到左面。 4、格子中已有数了怎么办？右上没路了就往下拐弯嘛。 如，构造三阶具体操作： 一居上行正中央 上出框时往下填 右出框时往左填 排重便在下格填 （注意是原数 3 的下格） 注意：6 的右上方经过卷纸筒应该对应的是左下方“4”的位置，已经有数“4”了，7 就要在原数 6 的下方写。 同学们自己试试 5 阶、7阶： ） 5639874 215639874 215639874212132134 215634 21563 74 21563874 215639874 2112010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8
3、.2 3、楼梯法（适合奇数阶） 要点：1、构造楼梯 2、数字按顺序斜排 3、把幻方外的数字平移进幻方上到下，下到上，左到右，右到左 如，构造五阶具体操作： 5 4 10 3 9 15 2 8 14 201 7 13 19 256 12 18 2411 17 2316 22 21 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 在四边都构造楼梯 按顺序排好数 把幻方外的数字平移进幻方上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就 OK 啦 2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下
4、） 8.3 4、四阶（对角线法） 总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。但因为四阶阶数不大，作为拓展，程老师也给大家补充一下四阶的一种简单构造方法对角线法。 要点：1、按顺序写数 2、对角互换（注意有大对角和小对角） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 大对角互换 小对角互换 小知识：幻方数量知多少？ 三阶幻方只有一种基本形式（经过旋转、反射，有 8 种变形） 四阶幻方有 880 种基本形式 五阶幻方有 275305224 种基本形式！ 三、幻方拓展 如：三阶幻方基本型（从 1-9） 每个数都加 1 仍然是一个幻方，幻和增 加了 3 幻方的基本型可
5、以拓展为更多的幻方！ 那么我们记住基本型，遇到很多题就简单多啦！ 例 2 请编出一个三阶幻方，使幻和为 24。 解析：基本型三阶幻方幻和是 15, 幻和增加了 24-15=9 每个数应增加 93=3 每个数加3 先写出基本型 OK 啦 当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？ 拓展： 请用11.13.15 .17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好 11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 231356789 1011124 14 15
6、116 23135 11 10 89 76124 14 15 149235781651034689274923578167125681011 4 92010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.4 abcdefghi对应的数填在对应的位置 先写出基本型 OK 啦 四、三阶幻方小窍门 1、中心数=幻和3 证明： 对于这一个三阶的幻方，我们只看红色的四条线，每条线三个数的和都=幻和 四条红线的总和：4 个幻和。 四条红线的总和也是 9 个数再多加 3 遍中心数 那么就有 9 个数+3中心数=4个幻和 而 9 个数的总和也是幻方中三行的和，等于 3个幻和 那么就有 3
7、个幻和+3中心数=4 个幻和 3中心数=1 个幻和 中心数=幻和3 反过来， 幻和=中间数3 2、角块等于对角两棱块之和的一半 c=（a+b）2 证明：设中心数为 d，那么幻和为 3d 则第一行中间的数为 3d-d-a=2d-a 第三行最右的数为 3d-c-d=2d-c 因为 c+(2d-a)+ = b+(2b-c)+ 所以 c+(2d-a) = b+(2b-c) c-a = b-c 2c=a+b c=（a+b）2 例 3 在下图的 A、B、C、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方 49235781617 27 1315 19 2325 11 21cbac 2d-a dba 2d-cA1
8、2DB152016C112010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.5 1234c e a d b 21234341243212143解析 ：已知中心数，先求幻和=153=45 那么就容易填啦！同学们自己算算吧。 A=19，B=10，C=18，D=14 （提高）学案 1 在下图空格中填入 7 个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为 90 解析：告诉了幻和，先求中间数=903=30 告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块= （23+57）2=40，得到右图 接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！ （尖子）学案 1 按要求完成幻方 （1）只求x （2 ）如果中
9、间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。 解析：想想窍门 2，95=（x+19）2，那么可算出 x=117 中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！ 最后答案： 你填对了吗？ 五、数独 要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。 例 4 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是 1,2,3,4。 解析：先看对角线，a 处只能填 1，b处就只能填 3。以此类推，c 填3，d填 4，e 填 4 最终填完为 23574023 3057x199524 117 105181 100 1995
10、29 176123422010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.6 六、数阵图 关键点：找特殊重叠部分 （一）计算法 线和 - 数和 = 重叠部分 重叠部分就是 多算的部分 例：把 17这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都等于 12。 解析：计算法 线和：123=36 数和：1234567 = 28 线和-数和：36-28=8 重叠部分是 8 中间的那个重叠数被计算了 3 次（3条线） ， 多计算了2 次！ 所以重叠数应该是 8 2 = 4 多算的次数 中间数填 4，其余 6 个数两两组合，都应该等于 8，故 1、7 一组，2、6
11、 一组,3、5 一组。 （二）试算法 适用范围： 除开重叠数， 每条线还有 2 个数 的辐射型数阵图 重叠数选择： 最小、最大、正中间 例：把 17这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都相等。 解析：除开中间的重叠数，每条线还有 2 个数。中间数一定只能选择 1,4,7。 中间数选 1时，其余的小的找大的，配组为 2-7,3-6,4-5 中间数选 4时，其余的小的找大的，配组为 1-7,2-6,3-5 中间数选 7时，其余的小的找大的，配组为 1-6,2-5,3-4 2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.7 学案 2 把 17
12、这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的 3 个数的和都相等。 解析： 先不看圆周，那么本题就与上题一样了，那么中间数只能选择 1,4,7。 增加了圆周的限制条件，会怎样呢？只看圆周，除了最中间的数，其余六个数平均分成 2 个圆，1234567 = 28，设每个圆之和为 k，则有 28-中间数=2k ，那么中间数必须是偶数。所以只能是 4。剩下的数平分成两个圆，应是 1,5,6 与2,3,7。同学们可以先填入一个圆周，再结合每条直线上的配组应是 1-7,2-6,3-5，那么得到答案如右上图。 例 5 能否将数 0,1,2，9 分别填入下图的各个圆中，使得各阴影三角形的 3
13、个顶点上的数之和相等？ 解析 ：先找到突破口，同学们都容易想到最中间的那个圆。在这个题中，它有什么特殊的地方呢？一是它连接的阴影三角形最多，还有一点，当你把这个圆去掉，发现只有三个独立的阴影三角形了。 设一个阴影三角形的和为 k， 那么就有 0129= 45， 45-中间数=3k ，那么中间数必须是 3 的倍数，只能是 0,3,6,9。我们逐一试验。 当中间数填0 时 ，每个阴影三角形的和 k=453=15， 那么 a+b+0 = c+d+0 = e+f+0 = 15, 即 a+b=c+d=e+f= 15，但 1-9 中，只有 6+9=7+8=15，找不出第 3 对等于15的， 所以中间数不能
14、填 0。 同理可分析，中间数也不能填 9，具体过程 同学们自己试试吧。 中间数只能填 3 和6。 接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍， 填 6 的情况同学们就自己试试啦。 4 1 5 6 2 3 7 0a bc def2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 四年级秋季班（七级下） 8.8 中间数填3 ，每个阴影三角形的和 k=（45-3）3=14， 那么 a+b+3 = c+d+3 = e+f+3 = 14, 即 a+b=c+d=e+f=11， 剩下的数中，2+9 = 4+7 = 5+6 = 11， 同时，0+ 9+5 = 1+6+7 = 2+4+8 = 14 结合这两个条件，
15、将 2,9,4,7,5,6 填进去，得到 后面的三个数就好填啦！自己试试吧。 例6 将 1-9 分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数） ，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填才能使五个数的和尽可能大？cba解析 ： 129= 45， 把每条边的五个数之和设为 k， 那么三条边之和等于 452- （a+b+c） ,即 90-（a+b+c）=3k。要使 k 最大，那么（a+b+c）应该最小，同时还要保证是 3 的倍数。取a+b+c=1+2+3=6，于是3k=90-6=84，k=28。 关键是怎么填呢？发现剩下的 6 个三角形是两个两个组合在一起的， 那么我们把它们合在一起看， 易知：A 比C大 1，B 比A大 1， 那么 C,A, B构成一个公差是 1 的等差数列。剩下的数中 4+8=12,6+7=13,5+9=14，即满足条件。 当然，还可以 5+7=12,4+9=13，6+8=14，给出一种填法如下 95768432132 95 674
