1、第五节 定积分,一、引例,二、定积分的定义,三、存在定理,五、定积分的性质,四、定积分的几何意义,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、引例,曲边梯形 由连续曲线,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2
2、）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,设函数 在 上有界，,在 中任意插入,若干个分点,把区间 分成 个小区间，,各小区间的长度依次为,在各小区间上任取,作乘积,并作和 ，,如果,怎样的分法，,也不论在小区间 上,点 怎样的取法,确定的极限 ，,我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分 .,记为,极限存在，即不论对,我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分.,记为,积分上限,积分下限,积分和,积分号,注意,(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.,(2) 定义中区间的分法和 的取法是任意的.,(3)
3、当函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分存在时,称 f(x)在区间 a,b 上(黎曼)可积 .,定理1,三、存在定理,若函数 f(x) 在区间 a,b 上连续 ,则 f(x) 在区间 a,b 上可积 .（证明参考数学分析）,定理2,若函数 f(x) 在区间 a,b 上有界 ,且只有有限个第一类间断点，则 f(x) 在 a,b 上可积 .,定理1和定理2均为函数 f(x) 可积的充分条件.,可积的必要条件:可积函数在积分区间上必有界,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,例2 利用定义计算定积分,解,例3 利用定积分表示下列极限,
4、解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五、定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,( 为常数),( 为常数),定积分的线性性质,证: 当,时,因,在,上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,其他情形,证,性质4,性质5,如果在区间 上，,则有,性质5的推论：,证,（1）,解,例1 (1) 比较积分值 和 的大小.,(2) 比较积分值 和 的大小
5、.,解,解,令,于是,例2 比较积分值 和 的大小.,证,说明：,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,例3 估计积分 的值.,解,例4 估计积分 的值.,解,令,例5 证明,由,得,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,函数f(x)在a,b上的平均值,积分中值公式的推广 .,解,由积分中值定理知有,使,例6 求,解,由积分中值定理知有,使,解,由积分中值定理知有,使,例8 设 在 内连续，,求,证明,由积分中值定理知有,使,六、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法
6、：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,(1) 估计积分值；,(2) 不计算定积分比较积分大小,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,解答,例,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲
7、边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
