1、第11章 动量矩定理,11.1 质点和质点系的动量矩,11.2 动量矩定理,11.3 刚体绕定轴转动的微分方程,11.4 质点系相对于质心的动量矩定理,11.5 刚体平面运动微分方程,11.1.1 质点的动量矩,设有质点M，其质量为m，速度为v，动量为mv，点M的矢径为r，如图所示。把质点M 的动量mv 对O点的矩，即,定义为质点的动量对于点O的动量矩。由式可以看出，质点的动量对于点O的动量矩是矢量。,质点动量mv 在Oxy平面上的投影 mvxy 对于点O 的动量矩，定义为质点的动量对z 轴的矩。即,11.1 质点和质点系的动量矩,质点的动量对于 z 轴的动量矩是代数量。,由投影关系可知,即质
2、点的动量对于某点 O 的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩的单位为kgm2/s。,11.1.2 质点系的动量矩,质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点O 的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对点O 的主矩，即,质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩的代数和，即,11.1.3 刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩,工程中，常需计算作定轴转动的刚体对固定轴的动量矩。刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩可表示为,从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个因素，一是它的质量大小，另一个因素具体反映在刚体的形状及其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为kgm2。,结
3、论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,引入 ，称为刚体对z轴的转动惯量，它表明了刚绕定轴z 转动时的惯性大小。则上式可写为,11.1.4 常见物体的转动惯量,若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量公式又可改写成如下形式,利用上式可将几种常见的形状规则、质量均匀刚体的转动惯量计算出来。,(1) 长为l，质量为m的均质直杆,均质直杆对过端点O的z 轴的转动惯量为,均质直杆对过中点O的z 轴的转动惯量为,(2) 半径为r，质量为m的均质薄圆环对中心轴的转动惯量为,(3) 半径为R，质量为m的均质圆板对中心轴的转动惯量为,11.1.5 回转半径,在工程实际中有时
4、也把转动惯量写成刚体的总质量m与当量长度z的平方的乘积形式，即,上式中，z为刚体对于z轴的回转半径，又称惯性半径。于是,表1 简单形状均质物体的转动惯量,工程中几种常用简单形状均质物体的转动惯量的计算可查下表。,11.1.6 平行移轴公式,刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与z1轴到质心轴zC的距离d平方的乘积。,【例11-1】钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d。求钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。,解：分别计算杆和圆盘对于水平轴O的转动惯量,钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量
5、为,11.2 动量矩定理,11.2.1 质点的动量矩定理,如图所示的质点M，其动量为mv，则质点M对点O的动量矩用矢积可表示为,上式两边分别对时间求导数，可得,即,上式称为质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的矩。,11.2.2 质点系的动量矩定理,设有n个质点组成的质点系，每个质点的力分成内力 和外力 ，根据质点的动量矩定理有,对于n个质点组成的质点系，共有n个这样的方程，将这n个方程相加，可得,由于内力总是成对出现，故 ，上式可写为,即,上式就是质点系的动量矩定理。可表述为：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同
6、一点的矩的矢量和(外力对点O的主矩)。,上式写成投影形式为,11.2.3 动量矩守恒定律,若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶系的主矩)为零，则质点系的总动量矩保持不变。即如果 ，则LO=常矢量。若作用在质点系上的外力对某固定轴之矩的代数和等于零，如果 ，则Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。,【例11-2】 如图所示提升装置中，已知滚筒直径d，它对转轴的转动惯量为J。求重物上升的加速度。,解：取滚筒和重物组成的质点系为研究对象，受力分析如图所示。设某瞬时滚筒转动的角速度为，则重物上升的速度为v=d /2。整个系统对转轴O的动量矩为,由质点系的动量矩定理，有,于是滚筒角加速度为
7、,重物上升的加速度等于滚筒边缘上任意一点的切向加速度，可表示为,【例11-3】 均质滑轮半径分别为r1和r2，两轮固连在一起并安装在同一转轴O上，两轮共重为mg，对轮心O 的转动惯量为JO ，如图所示。重物A、B的质量分别为m1、m2。求重物A向下运动的加速度。,解：取整体为研究对象，其受力分析和运动分析如图所示。应用质点系的动量矩定理，有,而质点系对点O 的动量矩为,质点系所有外力对O点的矩的代数和为,由质点系的动量矩定理，有,这样，重物A向下运动的加速度为,11.3 刚体绕定轴转动的微分方程,设定轴转动刚体上作用有主动力F1、F2、Fn和轴承的约束反力FN1和FN2，如图所示。刚体对 z
8、轴的转动惯量为Jz，角速度为，刚体绕固定轴 z 转动时刚体的动量矩为,如果不计轴承中摩擦，根据质点系对z 轴的动量矩定理，有,上式称为刚体绕定轴的转动微分方程。即刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。,上式也可以写为,即,【例11-5】均质直杆AB和OD,长度都是l，质量均为m，垂直地固接成丁字形,且D为AB的中点，如图所示。此丁字杆可绕过点O的固定轴转动，开始时OD段静止于水平位置。求杆转过 角时的角速度和角加速度。,解：选丁字杆为研究对象，进行受力分析。当杆OD与水平直线的夹角为 时,丁字杆转动的角速度为，如图所示。应用刚体定轴转动微分方程，有,
9、由平行移轴定理，有,通过计算，可知质心C到转轴O的距离为OC=3l/4。故有,将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得,解得杆的角加速度为,由于,刚体定轴转动微分方程可写为,两边积分，并利用初始条件，可得,解得杆的角速度为,11.4 质点系相对于质心的动量矩定理,如果质点系(如做平面运动的刚体)的运动可分解为随质心的平动和相对于质心的转动，前者可用动量定理或质心运动定理描述，后者能否用动量矩定理来描述呢？,以质心C为原点，取一平动坐标系Cxyz，如图所示。在此平动坐标系中，质点mi相对矢径为 ，相对速度为vir。质点系对于质心C 的动量矩为,根据点的速度合成定理，有,质点系对于C点的动量矩可表示为
10、,由质心坐标公式，有,由于rC=0，故有,故质点系对于质心点C的动量矩为,质点系对于点O的动量矩为,于是,这样，质点系对于点O的动量矩可表示为,上式表明，质点系对任一点O 的动量矩等于集中于系统质心的动量mvC对于点O的动量矩与此系统对于质心C 的动量矩LC 的矢量和。,由质点系对定点的动量矩定理,可得,即,上式右端是外力对于质心的主矩，于是得,上式可写为,即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于质心的主矩。这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全相同。,11.5 刚体平面运动微分方程,如图所示的刚做作平面运动，结合质心
11、运动定理和质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程可写为,写成投影形式为,【例11-6】试证明质点系对于某定点O的动量矩等于总质量集中于质心时的动量矩，加上各质点的动量对于质心矩的矢量和。即,证明：设质点 Mi的质量为mi，该质点的速度为vi。质点Mi的矢径为ri，质点Mi相对质心C的矢径为ri，质心C矢径为rC，质心C的速度为vC。原点O为定点,如图所示。故有,【例11-7】半径为r，质量为m 的均质圆轮沿水平直线做纯滚动，如图所示。设圆轮的惯性半径为C, 作用在圆轮上的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静摩擦系数为 fs，问力偶矩M 必须符合什么条件才能不致使圆轮滑动。
12、,解：取圆轮为研究对象。作用在圆轮上的外力有重物的重量mg，地面对圆轮的正压力FN，滑动摩擦力F，以及作用在圆轮上的力偶矩M，如图所示。根据刚体平面运动的微分方程可列出如下三个方程,因为 ，根据圆轮滚动而不滑动的条件，有,联立求解，可得,欲使圆轮滚而不滑，必须有,于是圆轮滚而不滑的条件为,【例11-9】均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱体A上，绳的另一端绕在圆柱体B上，如图所示。不计摩擦及绳子自重。求：(1) 圆柱体B下降时质心的加速度；(2) 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱体B的质心将上升。,解：分别取轮A和B为研究对象，受力
13、如图所示。轮A做定轴转动，轮B做平面运动。对轮A应用刚体定轴转动微分方程，有,对轮B应用平面运动微分方程，有,由轮的运动学分析可知,代入后求解可得到圆柱体B下降时质心的加速度,若在A轮上作用一逆时针转矩M，取轮A和B为研究对象，受力如图所示。同上面的分析相似，分别列两轮的动力学微分方程。,对于A轮有,对轮B应用平面运动微分方程，有,由轮的运动学分析可知,代入后求解可得到圆柱体B下降时质心的加速度,当aB0时，即M2Pr 时，圆柱体B的质心将上升。,【例11-10】 一均质滚子质量为m，半径为r，放在粗糙的水平地面上，如图所示。在滚子的鼓轮上绕以绳子，其上作用有常力T，方向与水平线成角。鼓轮的半径为a，滚子对轴C的回转半径为，做只滚不滑的运动，试求滚子C的加速度。,解：滚子做平面运动。可应用平面运动微分方程进行求解。 选滚子为研究对象，受力分析如图所示。应用平面运动微分方程，可得,轮子只滚不滑，其角速度和轮心的加速度的关系为,联立求解以上方程，可得滚子C的加速度,谢 谢！,
