1、第三节 不定积分的分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,再次使用分部积分法,例3 求积分,解,分部积分法的关键是正确选择 和 .,选择 和 的原则是:,例4 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结:,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例5 求积分,解,令,例6 求积分,解,令,例7 求积分,解,总结:,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对
2、数函数或反三角函数为 .,例8 求积分,解,注意循环形式,总结:,若被积函数是正(余)弦函数和指数函数的乘积,在接连几次应用分部积分公式时, 应注意:,前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,说明:,例9 求积分,解,例10 求积分,解,例11 求积分,解,令,解,两边同时对 求导, 得,例13 求积分,解,例14 求积分,解,例15 求积分,解,利用分部积分法可得求不定积分的递推公式,解,例16 求积分,例17 求积分,解,合理选择 ，正确使用分部积分公式,二、小结,练 习 题,练习题答案,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函
3、数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 混合法,机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,原式 =,例2. 求,解: 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 P209 例9 .,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,注,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束,1. 三角函数有理式的积分,则,例7. 求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.
6、,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例11. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P218 3 , 6 , 13 , 18 , 21,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则, 故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
