1、定积分,不定积分微积分的区别不定积分设 F(x)为函数 f(x)的一个原函数，我们把函数 f(x)的所有原函数 F(x)+C（C为任意常数）叫做函数 f(x)的不定积分。记作f(x)dx。 其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式，C 叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知：求函数 f(x)的不定积分，就是要求出 f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数 f(x)的一个原函数，再加上任意的常数 C，就得到函数 f(x)的不定积分。也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.定积分众所周知
2、，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若 F(x)的导数是 f(x)，那么 F(x)+C（ C 是常数）的导数也是 f(x)，也就是说，把 f(x)积分，不一定能得到 F(x)，因为 F(x)+C 的导数也是 f(x)，C是无穷无尽的常数，所以 f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C 代替，这就称为不定积分。而相对于不定积分，就是定积分。所谓定积分，其形式为f(x) dx (上限 a 写在上面，下限 b 写
3、在下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于 y 轴的直线和 x 轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点 a、b。我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的
4、密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：若 F(x)=f(x)那么f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b)但是这里 x 出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如 t，这样意义就非常清楚了：(x)= x(上限)a（下限）f(t)dt牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正这个理
5、论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。微积分积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：F(x) + C = f(x)一个实变函数在区间a,b上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在 b 的值减去在 a 的值。积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的
6、统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间 I 上的函数 f（x)，求一条曲线 yF（x），xI，使得它在每一点的切线斜率为 F（x） f（x）。函数 f（x）的不定积分是 f（x）的全体原函数（见原函数），记作 。如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 ，其中 C 为任意常数。例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。yf（x）为定义在a，b上的函数，为求由 xa，xb ，y0 和 yf（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出 S 的近似值，再取极限得到所求面积 S，为此，先将a，b分成 n 等分：ax0x1xnb，取 ixi-1，xi，记 xixixi-1，则 pn 为 S 的近似值，当n时，pn 的极限应可作为面积 S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在a，b上的函数 yf（x），作分划ax0x1xnb，若存在一个与分划及 ixi-1，xi的取法都无关的常数 I，使得,其中则称 I 为 f（x）在a，b上的定积分，表为即 称a，b为积分区间，f（x）为被积函数，a，b 分别称为积分的上限和下限。当 f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求 f（x）的不定积分：这是c 牛顿莱布尼兹公式。
